大学物理电磁学静电场经典习题详细讲解docxWord文件下载.docx
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由上述分析可得电子的动能为
E
1mv2
k
8
0r
电子旋转角速度为
2e2
40mr3
由上述两式消去
r，得
320Ek
42
题7.3：
在氯化铯晶体中，一价氯离于
Cl与其最邻近的八个一价格离子
Cs+构成如图所示
的立方晶格结构。
（1）求氯离子所受的库仑力；
（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子
（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。
题7.3分析：
铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。
为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。
解：
（l）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故
F10
（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合
力F2的值为
.
F2
q1q2
1.92109N
30a2
F2方向如图所示。
题7.4：
若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。
求证：
（1）在棒的延长线，且离棒中心为
r处的电场强度为
Q
4r2
L2
（2）在棒的垂直平分线上，离棒为
r处的电场强度为
若棒为无限长（即L
），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。
题7.4分析：
这是计算连续分布电荷的电场强度。
此时棒的长度不能忽略，
因而不能将棒当
作点电荷处理。
但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。
如图所示，在长直
线上任意取一线元，其电荷为
dq=Qdx/L，它在点P的电场强度为
dq
dE
r2er
整个带电体在点
P的电场强度
EdE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分。
（1）若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，
dEi
L
（2）
若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度
E沿x轴方向的分量因对称性叠加为
零，因此，点
P的电场强度就是
dEy
j
sindEj
（1）延长线上一点P的电场强度E
，利用几何关系r
rx统一积分变量，
L40r
则
EP
Qdx
1Q
-L24
0L（rx）2
0LrL2rL2
04r2
电场强度的方向沿x轴。
（3）
根据以上分析，中垂线上一点
P的电场强度E的方向沿y轴，大小为
sin
利用几何关系
rr,r
r2
x2统一积分变量，则
rQdx
-L24
L（x2
r2）32
当棒长L
时，若棒单位长度所带电荷为
常量，则P点电场强度
lim
QL
14r2L2
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。
这说明只要满足
r2L2
1，带电长直
细棒可视为无限长带电直线。
题7.5：
一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷
Q，求环心处的电场强度
题7.5
分析：
在求环心处的电场强度时，
不能将带电半圆环视作点电荷。
现将其抽象为带电
半圆弧线。
在弧线上取线元
dl
dl，它在点O的电场
，其电荷此电荷元可视为点电荷dq
R
强度dE
。
因圆环上电荷对
y
轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有
dEx
0，点O的合电场强度E
j，统一积分变量可求得
E。
由上述分析，点
O的电场强度
EO
R2
dl
由几何关系dl
Rd
，统一积分变量后，有
d
0R2
方向沿y轴负方向。
题7.6：
用电场强度叠加原理求证：
无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为
E（提
20
示：
把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）
题7.6分析：
求点P的电场强度可采用两种方法处理，
将无限大平板分别视为由无数同心的
细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为
2rdr或d
dy
求出它们在轴线上一点
P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。
证1：
如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由
于带电平面上同心圆环在点
P激发的电场强度
dE的方
向均相同，因而
P处的电场强度
xdq
2xrdr
0（r2
x2）32i
x2）32i
i
电场强度E的方向为带电平板外法线方向。
证2：
如图所示，取无限长带电细线为微元，
各微元在点P激发的电场强度
dE在Oxy平面
内且对x轴对称，因此，电场在
y轴和z轴方向上的分
量之和，即
y、z均为零，则点
P
的电场强度应为
EExi
dEcos
xdy
2i
x
积分得E
上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。
题7.7：
水分子H2O中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示。
假设氧原子和氢原子等效
电荷中心间距为r0。
试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度。
题7.7分析：
水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为p0er0，
而夹角为2。
叠加后水分子的电偶极矩大小为p2er0cos，方向沿对称轴线。
由于点O
到场点A的距离x>
>
r0，利用教材中电偶极子在延长线上的电场强度
12pE40x3
可求得电场的分布。
也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布。
解1：
水分子的电偶极矩
p
2p0
cos
2er0cos
在电偶极矩延长线上
2p
4er0cos
er0cos
0x3
40
x3
解2：
在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度
EEE
2E
2ecos
2e
40x2
2xr0cos
由于r
r0
r0cos
代入得E
（x2
r02
2xr0
）32
x2
测量分子的电场时，总有
0，因此，
2r0
32
2r0cos
式中（x
2xr0cos）
，将上式化简并略去
微小量后，得
1r0ecos
E0x3
题7.8：
无两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。
（1）
求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；
（2）求每
一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
题7.8分析：
（1）在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加。
（2）由F=qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来
乘以单位长度导线所带电的量，
即：
F=
E应该注意：
式中的电场强度
E是除去自身电荷外
其它电荷的合电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力。
题7.8解：
（1）设点P在导线构成的平面上，
E、E分别表示正、负带电导线在
P点的电
场强度，则有
EE
E-
0xr0
0x（r0
x）
（2）设F、F分别表示正、负带电导线单位长度所受
的电场力，则有
0r0
20r0
显然有FF，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
题7.9：
如图所示，电荷Q分别均匀分布在两个半径为R的半细圆环上。
求：
（1）带电圆
环偶极矩的大小和方向；
（2）等效正、负电荷中心的位置。
题7.9分析：
（1）电荷分布呈轴对称，将细环分割成长度均为ds的线元，带正电荷的上半
圆环线元与带负电荷的下半圆环对称位置上的线元构成一元电偶极子，细圆环总的偶极矩等
于各元电偶极矩之和，有
pdpj
（2）由于正、负电荷分别对称分布在y轴两侧，我们设想在y轴上能找到一对假想点，
如果该带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上等量的点电荷所激发的电场代替，这对
假想点就分别称作正、负等效电荷中心。
等效正负电荷中心一定在y轴上并对中心O对称。
由电偶极矩p可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。
（1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电
Qds
Qd
dp
2Rcosdqj
2Q
Rcosdj
则带电圆环的电偶极矩
4QRj
（2）等效正、负电荷中心间距为
4R
lpQ
根据对称性正、负电荷中心在
y轴上，所以其坐标分别为
0,2R和0,2R。
也可以借助几何中心的定义，得
Rθ
Rsin
Rdθ
2R
即正、负电荷中心分别在
y轴上距中心
O为2R处
题7.10：
设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。
题7.10分析方法1：
由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即ΦSEdS。
S
方法2：
作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
EdS
q0
这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面
S的电场强度通量在数值上等于穿出半
球面S的电场强度通量。
因而
Φ
取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
E（cos
e
er）
dS
R2
der
ER2
dd
ER2sin2d
sind
R2E
解2：
由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
ΦEdSEdS
SS
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
ΦER2cosR2E
题7.11：
边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一
个顶点为坐标原点。
现将立方体置于电场强度E（E1kx）iE2j的非均匀电场中，求电场对
立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
题7.11解：
参见图。
由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。
电场强度的通量为零。
即ΦOABCΦDEFG0。
而
ΦABGFEdS[（E1kx）iE2j][dSj]
E2a2
考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，
且该两面的电场分布相同，故有
ΦCDEO
ΦABGF
E2a2
同理ΦAOEF
[E1i
E2j]（
dSi）
E1a2
ΦBCDG
[（E1
ka）i
E2j]
（dSi）
（E1ka）a2
因此，整个立方体表面的电场强度通量
ΦΦka3
题7.12：
地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，
大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷。
晴天大气电场平均电场强度约为120Vm，方向指向地面。
试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘
米的电子数表示）。
题7.11分析：
考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。
在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径
RRE（RE为地
球平均半径）。
由高斯定理
E4RE2
q
地球表面电荷面密度
q4RE2
0E
1.06109Cm2
单位面积额外电子数w
n（e）6.63105cm2
题7.13：
设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为
kr0rR
0rR
k为一常量。
试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。
（你能用电场强度叠加原理求解
这个问题吗?
）
题7.13分析：
通常有两种处理方法：
（1）利用高斯定理求球内外的电场分布。
由题意知电
荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有
SEdSE4r
根据高斯定律
dV
，可解得电场强度的分布
（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。
将带电球分割成无数个同心
带电球壳，球壳带电荷为
r2dr，每个带电球壳在壳内激发的电场
dE=0，而在球
壳外激发的电场
0r2er
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
E（r）
因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律
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