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这条曲线近似于正态分布曲线（Normaldistributioncurve），多年来林学家曾利用正态分布函数（Normaldistributionfunction）拟合、描述同龄纯林直径分布，并取得了较好的拟合效果。

因此，可认为同龄纯林直径结构近似遵从正态分布。

图3—1直径分布图3—2截尾正态分布示意图

直径正态分布曲线的形状随着林分年龄的增加而变化，即幼龄林平均直径较小，直径正态分布曲线的偏度（skewness）为左偏（亦称正偏，即偏度值大于零）；

其峰度（亦称峭度，kurtosis）为正值；

这种左偏直径分布属于截尾正态分布（truncatednormaldistribution）（如图３－２所示）。

随着林分年龄的增加，林分算术平均直径（

）逐渐增大，直径正态分布曲线的偏度由大变小，峰度也由大变小（由正值到负值），林分直径分布逐渐接近于正态分布曲线（正态分布曲线的偏度值及峰度值均为零）。

金利希（GingrichS.F.,1967）曾利用正态分布函数研究美国中部山地硬阔叶林的直径分布时也证实了这一规律，即在年龄较小（直径较小）的林分中，偏度为正，但随着平均直径的加大，其偏度逐渐变小。

当平均直径（

，在表中３－１中以Ｄ表示）达到８in以上时，直径分布接近正态。

在平均直径较小的林分中（如表３－１中Ｄ＝３in），峰态较显著（如图３－３），随着平均直径的加大，峰度从正到负（表３－１），在年龄较大（平均直径较大）时，形成宽而平的分布曲线（图３－３），这些变化规律具有一定的普遍性。

图３－３不同年龄栎树林的直径分布

3.1.2.2直径变动幅度

林分中各株林木胸径（di）与林分平均胸径（Dg）的比值，称作相对直径（Ri），即

Ri＝di／Dg　　　　　　　　　　　　　（3--1）

这样，林分平均直径（Dg）的Ｒ＝1.0，而林分内最粗林木的相对直径Ｒmax=1.7～1.8，最细林木的相对Ｒmin=0.4～0.5。

即林分中最粗林木直径一般为平均直径的1.7～1.8倍，最细林木直径为0.4～0.5倍。

当然，林分直径变动幅度与林龄有关，一般幼龄林的直径变幅大些，而成过熟林的直径变幅略小些。

根据这一特征，在同龄林调查中，可目测选定林分内最小或最大树木，然后可依据最小或最大胸径实测值，利用上述分别与林分平均直径（Dg）的关系估测林分平均直径（Dg）；

另外，也可依据目测林分平均直径（Dg），利用0.45Dg（或1.75Dg），确定林分内最小（或最大）直径值，进而确定林分调查起测径阶及相应的径阶距。

3.1.2.3累积分布曲线

采用相对直径表示林木直径时，若把各径阶内林木株数同时也换算为相对值，并计算出各径阶株数累积百分数，这样，便于将不同林分平均直径、不同林木株数的林分置于相同尺度上进行分析比较。

经过对各树种不同条件的林分分析结果表明，不论树种、年龄、密度和立地条件如何，其林分平均直径（Dg）在株数累积分布曲线上所对应的株数累积百分数的位置在55%～64%，一般近于60%处。

现以河南农业大学森林经理教研室收集的伏牛山小叶青冈的资料说明株数累积分布曲线（表3—2，图3—4），从这个资料中可以看出，相对直径等于1.0（即林分平均直径）所对应的株数累积百分数在55.9%处。

　　　表3—2　小叶青冈一个林分的相对直径与株数累积（Dg＝28.9cm）

径阶（cm）

径阶上下限（cm）

上下限相对值（R）

株数（Ｎ）

Ｎ（％）

株数累积（％）

合计

0.346

0.484

0.623

0.761

0.900

1.038

1.177

1.315

1.453

1.592

1.730

315

1.9

3.5

9.8

21.6

26.4

21.3

7.6

5.7

0.3

100.0

5.4

15.2

36.8

63.2

84.5

92.1

97.8

99.7

　　　　　　图3—4　株数累积（%）曲线

　　表3—3　自然径阶的分布

自然径阶

株数（％）

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

9.5

16.1

18.4

18.1

13.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

8.9

6.3

3.3

0.1

前苏联林学家久林（1931）教授将相对直径按0.1的间距划分的径阶称为自然径阶，依此求得的各自然径阶的株数百分比（如表3—3），当Ｒ＝1.0时株数累积百分数为66.3%，并得出如下结论：

“林木按自然径阶分布的情况，并不依树种、地位级和疏密度而变，仅在某种程度上随林分年龄而改变，但在很大程度上随着抚育采伐的特点而改变。

”

采用相对直径法研究林分直径结构，在林学中有着重要的生物学意义。

在同一密度的林分中，林木胸径的大小在一定程度上可以反映出该林木在林分中相对竞争力的大小，因此，相对直径可以表示出该林木在林分中相对竞争力的大小。

所以，近年来，在研建单木生长模型中经常采用相对直径作为林木竞争指标。

3.1.2.4相对直径与直径正态分布特征统计量之间的关系

以相对直径表示林分直径分布，与采用正态分布函数描述林分直径分布的结果是一致的，并且彼此之间存在着一定的关系。

现以林分中最大和最小直径为例：

林分平均直径（Dg）与林分算术平均直径（

）之间的关系为：

又因变动系数（c）为：

所以　　　　　　　　

或　　　　　　　　　

当林分直径分布遵从正态分布时，则林木总株数的99.7%位于

范围之内，即

换算为相对直径时：

　　　　　　（3—2）

（3—3）

由（3—2）、（3—3）两式可知。

林分中最大与最小相对直径是林分直径变动系数的函数，而且当

时，Ｒmin出现负值，成截尾正态分布。

　　　　　　　林分直径正态分布规律一般呈现在正常生长条件下的同龄纯林中（未遭严重灾害及人为干扰的林分）。

若林分经过强度抚育间伐或择伐，在短期内难以恢复其固有的林分结构，其林分直径结构也将发生变化。

经强度择伐的林分，其林分直径结构已不为正态分布，实践中，一般择伐蓄积量不超过原林分蓄积量的20%时，该林分可视为未择伐林分，林分直径结构仍近似正态分布。

3.1.3异龄林直径结构

在林分总体特征上，同龄林与异龄林有着明显的不同，正如T.W.Daniel（1979）指出的那样，同龄林与异龄林在林分结构上有着明显的区别，就林相和直径结构来说，同龄林具有一个匀称齐一的林冠，在同龄林分中，最小的林木尽管生长落后于其他林木，生长得很细，但树高仍达到同一林冠层；

而异龄林分的林冠则是不整齐的和不匀称的；

异龄林分中较常见的情况是最小径阶的林木株数最多，随着直径的增大，林木株数开始时急剧减少，达到一定直径后，株数减少幅度渐趋平缓，而呈现为近似双曲线形式的反Ｊ形曲线（inverseJ—shapedcurve），如图3—5所示。

图3—5　山毛榉－桦－槭－铁杉异龄原始图3—6　冷杉异龄林直径分布

　　　　　　林内每英亩的直径分布

在同龄林分和异龄林分这两种典型的直径结构之间，存在着许多中间型，且林分直径分布曲线的形状与林相类型有些关系。

但是，由于异龄林的直径结构规律受林分自身的演替过程、树种组成及树种特性、立地条件、更新过程以及自然灾害、采伐方式及强度等因素的影响，使其直径结构曲线类型多样而复杂。

例如，T.W.Daniel（1979）从森林经营角度对异龄林分直径结构进行了深入研究后认为保留林（reserve—formstands）（指一定面积上由于人为或灾害原因仅保留了少数林木加上后来更新生长起来的林木所形成的林分）及群状同龄林（even—agedgroupstands）（指经过三次或三次以上连续更新高潮所形成的，如同几个同龄林交叠起来的林分）的林分直径分布呈间断的或波纹状的反Ｊ型曲线；

具有明显层次的复层异龄林分，直径分布呈双峰山状曲线；

林冠层次不齐整的异龄林分，则呈不规则的山状曲线。

3.2林分直径分布拟合方法

3.2.1同龄纯林直径分布拟合方法

3.2.1.1相对直径法

采用相对直径法（methodofrelativediameter）表示林分直径结构规律便于不同平均直径、不同株数的林分置于同一尺度上进行比较，同时，其方法简单易行。

具体方法步骤为：

1．计算相对直径及株数累积百分数

根据一个林分每木调查的结果，以径阶为单位，列示出各径阶的林木株数，利用林分平均直径（Dg）及各径阶上、下限值由（3—1）式计算出相应的相对直径值，并计算出至各径阶上限的株数累积百分数（如表3—2）。

2．绘制株数累积百分数曲线

株数累积百分数曲线，亦称肩形曲线，其绘制方法为：

以相对直径（Ｒ）为横坐标、株数累积百分数（ΣＮ％）为纵坐标绘制散点图，将各点逐个连接起来即为株数累积百分数折线图，然后，可根据折线趋势，采用手绘曲线技术绘制出一条均匀圆滑的曲线，即肩形曲线（图3—4）。

肩形曲线近于三次抛物线，可用（3—4）式或选择曲线类型相似的方程拟合肩形曲线。

　　　　　　　（3—4）

根据肩形曲线，只要已知林分中任一林木的直径，就能求出小于这一直径的林木占林分总株数的百分数。

相反，若已知株数累积百分数值，从肩形曲线上也能查出它所对应的相对直径，再根据林分平均直径就可计算出所对应的林木直径。

*3.2.1.2概率分布函数法

随着电算技术的普及和计算方法的发展，近些年来，许多学者采用概率分布函数描述、拟合林分直径分布。

可根据林分直径分布的具体形状特征和变化规律，选用不同的概率分布函数，一般常用的分布形式有：

正态分布、对数正态分布、Weibull分布、Γ分布、β分布、Sb分布以及查利―Ａ型分布等。

根据各国学者的研究表明，以Weibull分布及β分布在拟合林分直径分布中具有较大的灵活性和适应性。

特别是近年来，在森林生长、收获预估模型、林分直径动态预测模型中，Weibull分布应用相当广泛。

根据同龄纯林直径分布的形状、特点及变化规律，这里主要介绍正态分布函数及Weibull分布函数。

[1]正态分布（Normaldistribution）

⑴正态分布概率密度：

标准正态分布的概率密度为：

　　　　　　　　（3--5）

式中：

；

d——林木实测直径值；

——林分算术平均直径（

）；

——林分直径标准差（

）。

⑵正态分布函数：

标准正态分布函数为：

　　　　　　Ｆ（u）＝

　　　　　（3—6）

在正态分布中，以数学期望及方差为分布参数，所以，只要林分算术平均直径（

）及标准差（σ）计算出来之后，就可以借助已有的正态分布函数表计算出林分直径正态分布中各径阶株数理论值。

⑶林分直径分布检验

假设林分直径分布遵从正态分布，则统计量

遵从χ2分布

根据假设条件，使用了两个统计量（

），所以其自由度f=m-2-1，按α=0.05查出

值。

若

值，则可接受林分直径分布遵从正态分布的假设，否则，则推翻假设。

2.Weibull分布

⑴Weibull分布密度函数：

三参数Weibull分布密度函数为：

x≤a

a,b>

0,c<

（（（3-7）

a—位置参数（直径分布最小径阶下限值）；

b—尺度参数；

c—形状参数。

在（3—7）式中，当参数a=0时，则为两参数Weibull分布密度函数。

当a=0，c=1时，（3—7）式则为负指数分布函数，

即　

　　　x≥0,b>

0　　　　（3—8）

当a=0，c<

1时，（3—7）式为反Ｊ型分布函数；

3.6时，（3—7）式为具有正偏的山状曲线的密度函数；

c≈3.6时，Weibull分布近于正态分布；

3.6时，分布曲线由正偏逐渐移向左偏（如图3—8中所示）。

c=2时，（3—7）式则为χ2分布的特殊情况，即Ｒayleigh分布；

当c→∽时，变为单点分布。

在Weibull分布密度函数的参数中，其形状参数c尤为重要，c取不同的数值其分布曲线形状类型即不同（如图3—8），由此可看出，Weibull分布密度函数具有较大的灵活性和适应性，即能较好地拟合不同偏度、峰度的单峰山状曲线，又能拟合反Ｊ型递减曲线。

因此，自Bailey（1973）引用Weibull分布密度函数描述林分直径分布以来，在林业中逐步得到广泛应用，并取得良好的效果。

⑵Weibull分布函数：

由Weibull分布密度函数（3—7）式经积分可得到其分布函数，即

　　　　　　　＝

　　　（3—9）

由（3--9）式可求解出x值：

　　　　　　　　　　　（3—10）

式中ln表示自然对数。

在（3—9）式中，当x=b>

0时，

　　　　（3—11）

它表示林分中直径小于b值的林木株数占林分总株数的63%。

⑶Weibull分布参数的求解：

在利用三参数Weibull分布密度函数拟合林分直径分布时，一般参数a定为林分直径最小径阶的下限值（即a=dmin），对于b、c两参数的求解方法有多种，如最大似然估计法、百分位数法、线性求解法及近似估计法等等。

其中最大似然估计法最精确，但求解过程较繁；

近似估计法最简单，但拟合效果不如前者。

实践中以采用最大似然估计法为多。

（4）各径阶理论株数计算：

可按（3—16）式计算出直径Weibull分布的各径阶理论株数值。

（3—16）

ni—第i径阶内理论株数值；

Ｎ－林木总株数；

Ｗ－径阶距；

xi—第i径阶中值。

（其它符号同前）

3.2.2异龄林直径分布拟合方法

在研究结构复杂的异龄林直径结构规律时，应视其林分直径结构特征，可选择相对直径、概率分布函数等方法。

针对异龄林直径分布曲线类型多样、变化复杂的特点，选择适应性强、灵活性大的分布函数。

佐勒尔（Zö

hrerF.,1969、1970），寇文正（1982）、孟宪宇（1988）等人的研究证明，不论近似正态的直径分布、或左偏、右偏乃至反Ｊ型的递减直径分布，使用β分布函数及Weibull分布函数都可以取得十分良好的拟合结果，这两个分布函数表现了很大的灵活性和良好的适应性（图3—9）。

由于Weibull分布函数中的3个参数与林分特征因子具有较大的相关性及求解方法多而简单，已得到广泛应用。

株数／hm2N/hm2

（a）（b）

　　　　图3—9　用β分布拟合的不同林木直径分布图

（a）反Ｊ型　　（b）左偏

美国迈耶（H.A.Meyer,1953）研究了称做均衡异龄林的结构，均衡异龄林的定义为“可以定期伐掉连年生长量而仍保持直径分布和起始材积的森林”。

迈耶指出，一片均衡异龄林趋于有一个可用指数方程表达的直径分布：

　　　　　　　　（3－18）

Ｙ——每个径阶的林木株数；

Ｘ——径阶；

e——自然对数的底；

a、K——表示直径分布特征的常数。

该研究指出，典型的异龄分布可通过确定上述方程（３—23）中的常数a和Ｋ值来表示。

a值表示林木株数在连续的径阶中减小的速率，Ｋ值表示林分的相对密度。

迈耶的文章表明，两个常数有很好的相关关系。

a值大，说明林木株数随直径的增加而迅速下降；

当a值和Ｋ值都大时，表明小树的密度较高。

莫塞（Mose,1976）介绍了一种用断面积、树木——面积比率或树冠竞争因子来表示反Ｊ型直径分布的方法。

米尔菲和法尔伦（Murphy、Farran,1982）介绍了以双截尾指数概率密度函数表示异龄林结构的方法。

3.3林分树高结构

树高与直径、材积的相关紧密，也较容易测定，而且树高生长受林分密度的影响较小，在很大程度上决定于立地条件的优劣。

因此，在森林经营管理中，常常利用树高对立地条件反映比较灵敏的特点，而采用林分优势木高或林分条件平均高与林分年龄或林分平均直径（异龄林）的关系作为评价立地质量的依据。

在森林调查中，也利用树高与直径、材积的关系编制树高表，借此确定林分高及林分蓄积量。

另外，在编制林分密度控制图时，也把树高作为一个控制因子。

所有上述经营技术之所以可行、都是直接或间接地利用了林分树高结构规律，所以，林分树高结构规律在营林技术中有着重要意义。

3.3.1林分树高结构规律概述

在林分中，不同树高的林木按树高组的分配状态，称作林分树高结构（standheightstructure），亦称林分树高分布（standheightdistribution）。

在林相整齐的林分中，仍有林木高矮之别，并且形成一定的树高结构规律。

在同龄纯林中林木株数按树高分布也具有明显的结构及变化规律，一般呈现出接近于该林分平均高的林木株数最多的非对称性的山状曲线（图3—10）。

在研究林分树高结构中，也常采用相对树高（Ｒh）值表示各林木在林冠层中的位置，相对树高Rh为林木高（h）与林分平均高（HD）的比值（表3—6）。

　　　　　表3—6　落叶松相对树高与株数累积百分数　　（ＨＤ＝24.8m）

树高

（m）

树高上下限

上下限相对值

株数

N（%）

株数累积百分数

（%）

16.5

17.5

18.5

19.5

20.5

21.5

22.5

23.5

24.5

25.5

26.5

27.5

28.5

29.5

0.67

0.71

0.75

0.79

0.83

0.87

0.91

0.95

0.99

1.03

1.07

1.11

1.15

1.19

0.25

0.49

1.47

3.92

6.86

11.03

16.42

19.36

20.59

12.75

4.90

0.74

2.21

3.68

7.60

14.46

25.49

41.91

61.37

81.86

94.61

99.51

100.00

408

由表3—6中可以看出，林分树高结构规律特征类同于林分直径结构规律，即相对树高Rh=1.0时，相应株数累积％近似为61%，林分中Rmin=0.67，Rmax=1.19，与直径相比，树高变幅较小。

因此，对于同龄纯林，一般可以把超过林分平均高（HD）15％的林木当作林分中的最大树高，而把低于林分平均高（HD）30％的林木当作林分最小的树高。

这些数值在研究、分析林分树高结构规律中有一定的意义。

3.3.2林木高与胸径的关系

3.3.2.1林木高随胸径的变化规律

一般说，在林分中林木胸径

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