序列傅里叶变换课程设计文档格式.docx
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为任意整数
DTFT[ej°
nx(n)]=X(e"
_o))
3.时域卷积定理
若DTFT[x(n)]=X(ej'
DTFT[y(n)]二Y(ej)
DTFT[x(n)y(n)]二X(ej)Y(ejJ
4.频域卷积定理
DTFT[y(n)]=Y(ej'
DTFT[x(n)y(n)]=
X(ej)Y(ej)=*_-X(ejr)Y(ej2)dd
5.帕斯维尔(Parseval)定理
1.3序列傅里叶变换的对称性质
序列傅里叶变换的对称性质对于简化运算与求解很有帮助,在下一章(离散傅里叶变换,
DFT)中,将这些对称性加以扩展,对DFT的计算可起很大作用。
1.共轭对称序列与共轭反对称序列
(1)共轭对称序列
设序列xe(n)满足下式:
Xe(n)=Xe(-n)
则称Xe(n)为共轭对称序列。
特殊地,如果Xe(n)是实序列,上式变成:
Xe(n)二Xe(-n)
即此时的共轭对称序列就是偶对称序列(偶函数)。
为研究共轭对称序列具有什么性质,将Xe(n)用其实部与虚部表示:
Xe(n)二Xer(n)jXei(n)
对等式两边取共轭,得:
Xe(n)=Xer(n)-jXei(n)
再将-n代入,得:
Xe(-n)=Xer(-n)-jXei(~n)
根据共轭对称序列的定义式Xe(n)二Xe(-n),有:
Xer(n)=Xer(一门)
Xei(n)二-Xei(-n)
说明共轭对称序列的实部是偶函数,而虚部是奇函数。
(2)共轭反对称序列
设序列Xo(n)满足下式:
x°
(n)「-x°
(-n)
则称Xo(n)为共轭反对称序列。
特殊地,如果Xo(n)是实序列,上式变成:
Xo(n)—x°
(-n)
即此时的共轭反对称序列就是奇对称序列(奇函数)。
将Xo(n)用其实部与虚部表示:
x°
(n)=x°
r(n)jx°
i(n)
(nHXor(n)-jXoi(n)
(-n)二x°
r(-n)-jXoi(-n)
根据共轭反对称序列的定义式Xo(n)=-x°
(-n),有:
r(n)--Xor(-n)
Xoi(n)=Xoi(-n)
说明共轭反对称序列的实部是奇函数,而虚部是偶函数。
2•任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=Xe(n)Xo(n)
将上式两边取共轭,并用-n代替n,得:
X(-n)二Xe(-n)Xo(-n)二Xe(n)—x°
(n)
上面两式相加,得:
1
Xe(n)^[x(n)X(-n)]
上面两式相减,得:
(n)=?
[x(n)-x气-n)]
很容易看出,这样得到的Xe(n)和Xo(n)分别满足共轭对称定义式和共轭反对
称定义式。
3.序列的傅里叶变换可表示为共轭对称分量与共轭反对称分量之和
X(e?
'
HXe(eb)-X°
(e「)
其中,
Xe(ej)[X(ej)X(e"
)]
X°
(ej'
)=?
[X(e」‘)-X(e"
显然,Xe(e八)是共轭对称的,即满足Xe(ejrXe(e4);
Xo(ej'
是共轭反对称的,即满足X°
(e八)=-Xo(e」J;
4.三个基本性质
(1)若DTFT[x(n)]=X(ej'
),贝UDTFT[x(n)]=X(e」'
证明:
CO
DTFT[x(n)]二、x(n)e_n八[x(n)ejn]
n二•:
:
=r'
[x(n)ejn])-
n二二:
二X“(e」'
(2)若DTFT[x(n)]=X(ej),贝UDTFT[x(-n)^X(<
?
证明:
O0
DTFT[x(-n)]二x(-n)e」n
n^joo
QO
八x(n)ejn
nn"
=X(e」'
(3)若DTFT[x(n)]=X(e"
),贝UDTFT[x(-n)]=X(ej,)
oO
DTFT[x(-n)]二x(-n)e」n
八x(n)ejn八[x(n)e」n]=0[x(n)e^n])-
n=-:
=x”(ej'
5•序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量
DTFT[Re[x(n)]]二Xe(ej'
•••Re[x(n)]二£
[x(n)x(n)]
•-DTFT[Re[x(n)]]=?
[X(e^)+X"
eT约]=Xe(ejC°
6•序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量
DTFT[jIm[x(n)]]=X°
(ej)
•••jlm[x(n)]=2【x(n)-x(n)]
•••DTFT[jlm[x(n)]][X(ej'
)-X(e_j'
)]=X。
7•序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部
DTFT[xe(n)]=Re[X(ej)]
vXe(n)=1【x(n)X(-n)]
•••DTFT[Xe(n)][X(ej)X(ej'
)]=Re[X(ej)]
8•序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部乘
DTFT[x°
(n)]=jlm[X(ejJ]
•••x°
(n)=尹(门)-x(_n)]
二DTFT[xo(n)]=3以@)-X(ej)]=jlm[X(ej'
9•序列为实序列的情况
(1)x(n)=Xe(n)x°
(n)
xe(n)为偶对称序列、偶函数:
Xe(n)=f[x(n)十x(—n)]
xo(n)为奇对称序列、奇函数:
[x(n)-x(-n)]
(2)
即实序列的傅里叶变换满足共轭对称性,证明提示:
x(n)=x“(n)
(3)由
(2)得出:
Re[X(ej'
)]=Re[X(ej'
lm[X(ej'
)]二「lm[X(e='
所以,实序列的傅里叶变换的实部是■的偶函数,而虚部是的奇函数
(4)表示成极坐标形式:
X(e血)=X(j)ejarg[X(网
对实序列x(n)来说,必有:
X(e血――幅度是国的偶函数
arg[X(er)^-arg[X(^j)]——幅角是「的奇函数
(5)实序列x(n)的偶对称分量和奇对称分量的傅里叶变换分别为序列傅里叶变
换的实部和虚部乘j,即:
(n)]=jlm[X(ej)]
(6)若x(n)为实因果序列
根据:
Xe(n)=尹(n)x(—n)]
Xo(n)二尹(n)-x(—n)]
xe(n)和xo(n)可表示为:
x(0)
-x(n)
2
1x(-n)
2仿真程序与仿真波形图
正弦序列
X3n计sin-Rnn
2.1仿真1
分别对N=16和N=8计算以上序列的N点DFT并绘出幅频特性曲线,最后用DFT理论解释为何两种N值下的DFT结果差别如此之大。
N=15;
n=O:
N;
x1=exp((j*pi/8).*n);
x2=[(n>
=0)&
(nv=N)];
x1n=x1.*x2;
X1k=fft(x1n,16);
%
subplot(3,1,1);
stem(n,real(x1n),'
.'
);
xlabel('
n'
grid;
title('
复正弦序列x1(n)'
holdon;
subplot(3,1,2);
stem(n,abs(X1k),'
k'
ylabel('
abs(x1k)'
序列x1(n)的16点DFT'
i=0:
7;
x3=exp((j*pi/8).*i);
x4=[(i>
(i<
=7)];
x1i=x3.*x4;
X1i=fft(x1i,8);
subplot(3,1,3);
stem(i,abs(X1i),'
abs(x1i)'
序列x1(n)的8点DFT'
计算x1(n)的16点DFT
绘制复正弦序列x1(n)
实部与虚部在同一坐标上显示出
绘制x1(n)的16点DFT
计算x1(n)的8点DFT
绘制x1(n)的8点DFT
复正弦序列对in)
20
10
序列小口)的16点DFT
5
15
°
序列的8点DFT
5-
;
n=0:
34
k
图2.1复正弦序列及其16点与8点DFT
计算x2(n)的16点DFT
绘制余弦序列x2(n)
绘制x2n)的16点DFT
计算x2(n)的8点DFT
绘制x2(n)的8点DFT
x2n=cos((pi/8).*n).*x2;
X2k=fft(x2n,16);
stem(n,x2n,'
余弦序列x2(n)'
subplot(3,1,2);
stem(n,abs(X2k),'
abs(x2k)'
序列x2(n)的16点DFT'
x2i=cos((pi/8).*i).*x4;
X2i=fft(x2i,8);
stem(i,abs(X2i),'
abs(x2i)'
序列x2(n)的8点DFT'
n
序列x2何的16点DFT
051015
序列x2(n)的&
旦DFT
计算x3(n)的16点DFT
绘正弦序列x3(n)
绘制x3(n)的16点DFT
图2.2余弦序列及其16点与8点DFT
n=0:
x3n=sin((pi/8).*n).*x2;
X3k=fft(x3n,16);
stem(n,x3n,'
正弦序列x3(n)'
stem(n,abs(X3k),'
abs(x3k)'
序列x3(n)的16点DFT'
x3i=sin((pi/8).*i).*x4;
计算x3(n)的8点DFT
绘制x3(n)的8点DFT
X3i=fft(x3i,8);
stem(i,abs(X3i),'
abs(x3i)'
序列x3(n)的8点DFT'
正弦序列x3(n)
o
1-
51015
序列何的16点DFT
■-*o050wgtnqnl
序列x3何的8点DFT
||
■
01234567
图2.3正弦序列及其16点与8点DFT
2.2仿真2
验证N点DFT的物理意义
1-i4CO
⑴xn=R4n,Xe^=FT||xn=,绘出幅频曲线和相频曲线
1e
N=7;
I=15;
%设置两种DFT的长度n=0:
abs(xk2)'
序列x(n)的16点DFT'
序列x(n)的8点DFT
序列x何的花点DFT
图2.4序列的幅频曲线及其8点与16点DFT
3结果分析
如上图,第一行分别为复正弦序列XinRnn,余弦序列
x2(n)=cos—n|RN(n)x3(n)=sin—n|RN(n)
l8丿,正弦序列疋丿N=16时的DFT幅频
特性曲线;
第二行分别为三个序列N=8时的DFT幅频特性曲线。
两种N值下的DFT结果差别如此之大是因为:
X(n)的DFT结果与变换区间长度N的取值有关,变换区间长度N不同,表示对X(ejw)在[0,2n]区间上的采样间隔和采样点不同。
N=16时,X1(n),X2(n),X3(n)正好是三个序列的一个周期,X1(n),X2(n),X3(n)的周期延拓序列就是这三个单一频率的正弦序列。
N=8时,X1(n),X2(n),X3(n)是三个序列的半个周期。
X1(n),X2(n),X3(n)以N为周期的周期延拓序列不再是单一频率的正弦序列,其中含有丰富的谐波成
分,其DFT结果与N=16时差别很大。
因此,对周其信号进行谱分析时,一定要截取整数个周期。
否则,得到的将是错误的频谱。
4心得体会
5参考文献
[1]姚天任,江太辉•《数字信号处理(第二版)》•武汉:
华中理工大学出版社,2000
[2]王世一•《数字信号处理(修订版)》•北京:
北京理工大学出版社,1997
[3]高西全,丁玉美•《数字信号处理一原理、实现与应用》.北京:
电子工业出版社,2006
[4]张立材,王民•《数字信号处理》.北京:
人民邮电出版社,2008