序列傅里叶变换课程设计文档格式.docx
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为任意整数
DTFT[ej°
nx（n）]=X（e"
_o））
3.时域卷积定理
若DTFT[x（n）]=X（ej'
DTFT[y（n）]二Y（ej）
DTFT[x（n）y（n）]二X（ej）Y（ejJ
4.频域卷积定理
DTFT[y（n）]=Y（ej'
DTFT[x（n）y（n）]=
X（ej）Y（ej）=*_-X（ejr）Y（ej2）dd
5.帕斯维尔（Parseval）定理
1.3序列傅里叶变换的对称性质
序列傅里叶变换的对称性质对于简化运算与求解很有帮助，在下一章（离散傅里叶变换,
DFT）中，将这些对称性加以扩展，对DFT的计算可起很大作用。
1.共轭对称序列与共轭反对称序列
（1）共轭对称序列
设序列xe（n）满足下式:
Xe（n）=Xe（-n）
则称Xe（n）为共轭对称序列。
特殊地，如果Xe（n）是实序列，上式变成：
Xe（n）二Xe（-n）
即此时的共轭对称序列就是偶对称序列（偶函数）。
为研究共轭对称序列具有什么性质，将Xe（n）用其实部与虚部表示:
Xe（n）二Xer（n）jXei（n）
对等式两边取共轭，得：
Xe（n）=Xer（n）-jXei（n）
再将-n代入，得：
Xe（-n）=Xer（-n）-jXei（~n）
根据共轭对称序列的定义式Xe（n）二Xe（-n），有：
Xer（n）=Xer（一门）
Xei（n）二-Xei（-n）
说明共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。
（2）共轭反对称序列
设序列Xo（n）满足下式：
x°
（n）「-x°
（-n）
则称Xo（n）为共轭反对称序列。
特殊地，如果Xo（n）是实序列，上式变成:
Xo（n）—x°
（-n）
即此时的共轭反对称序列就是奇对称序列（奇函数）。
将Xo（n）用其实部与虚部表示：
x°
（n）=x°
r（n）jx°
i（n）
（nHXor（n）-jXoi（n）
（-n）二x°
r（-n）-jXoi（-n）
根据共轭反对称序列的定义式Xo（n）=-x°
（-n），有:
r（n）--Xor（-n）
Xoi（n）=Xoi（-n）
说明共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
2•任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x（n）=Xe（n）Xo（n）
将上式两边取共轭，并用-n代替n，得：
X（-n）二Xe（-n）Xo（-n）二Xe（n）—x°
（n）
上面两式相加，得：
1
Xe（n）^[x（n）X（-n）]
上面两式相减，得：
（n）=?
[x（n）-x气-n）]
很容易看出，这样得到的Xe（n）和Xo（n）分别满足共轭对称定义式和共轭反对
称定义式。
3.序列的傅里叶变换可表示为共轭对称分量与共轭反对称分量之和
X（e?
'
HXe（eb）-X°
（e「）
其中，
Xe（ej）[X（ej）X（e"
）]
X°
（ej'
）=?
[X（e」‘）-X（e"
显然，Xe（e八）是共轭对称的，即满足Xe（ejrXe（e4）；
Xo（ej'
是共轭反对称的，即满足X°
（e八）=-Xo（e」J；
4.三个基本性质
（1）若DTFT[x（n）]=X（ej'
），贝UDTFT[x（n）]=X（e」'
证明：
CO
DTFT[x（n）]二、x（n）e_n八[x（n）ejn]
n二•：
:
=r'
[x（n）ejn]）-
n二二:
二X“（e」'
（2）若DTFT[x（n）]=X（ej），贝UDTFT[x（-n）^X（<
?
证明:
O0
DTFT[x（-n）]二x（-n）e」n
n^joo
QO
八x（n）ejn
nn"
=X（e」'
（3）若DTFT[x（n）]=X（e"
），贝UDTFT[x（-n）]=X（ej,）
oO
DTFT[x（-n）]二x（-n）e」n
八x（n）ejn八[x（n）e」n]=0[x（n）e^n]）-
n=-：
=x”（ej'
5•序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量
DTFT[Re[x（n）]]二Xe（ej'
•••Re[x（n）]二£
[x（n）x（n）]
•-DTFT[Re[x（n）]]=?
[X（e^）+X"
eT约]=Xe（ejC°
6•序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量
DTFT[jIm[x（n）]]=X°
（ej）
•••jlm[x（n）]=2【x（n）-x（n）]
•••DTFT[jlm[x（n）]][X（ej'
）-X（e_j'
）]=X。
7•序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部
DTFT[xe（n）]=Re[X（ej）]
vXe（n）=1【x（n）X（-n）]
•••DTFT[Xe（n）][X（ej）X（ej'
）]=Re[X（ej）]
8•序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部乘
DTFT[x°
（n）]=jlm[X（ejJ]
•••x°
（n）=尹（门）-x（_n）]
二DTFT[xo（n）]=3以@）-X（ej）]=jlm[X（ej'
9•序列为实序列的情况
（1）x（n）=Xe（n）x°
（n）
xe（n）为偶对称序列、偶函数:
Xe（n）=f[x（n）十x（—n）]
xo（n）为奇对称序列、奇函数:
[x（n）-x（-n）]
（2）
即实序列的傅里叶变换满足共轭对称性，证明提示：
x（n）=x“（n）
（3）由
（2）得出：
Re[X（ej'
）]=Re[X（ej'
lm[X（ej'
）]二「lm[X（e='
所以，实序列的傅里叶变换的实部是■的偶函数，而虚部是的奇函数
（4）表示成极坐标形式：
X（e血）=X（j）ejarg[X（网
对实序列x（n）来说，必有：
X（e血――幅度是国的偶函数
arg[X（er）^-arg[X（^j）]——幅角是「的奇函数
（5）实序列x（n）的偶对称分量和奇对称分量的傅里叶变换分别为序列傅里叶变
换的实部和虚部乘j，即：
（n）]=jlm[X（ej）]
（6）若x（n）为实因果序列
根据：
Xe（n）=尹（n）x（—n）]
Xo（n）二尹（n）-x（—n）]
xe（n）和xo（n）可表示为:
x（0）
-x（n）
2
1x（-n）
2仿真程序与仿真波形图
正弦序列
X3n计sin-Rnn
2.1仿真1
分别对N=16和N=8计算以上序列的N点DFT并绘出幅频特性曲线，最后用DFT理论解释为何两种N值下的DFT结果差别如此之大。
N=15;
n=O:
N;
x1=exp（（j*pi/8）.*n）;
x2=[（n>
=0）&
（nv=N）];
x1n=x1.*x2;
X1k=fft（x1n,16）;
%
subplot（3,1,1）;
stem（n,real（x1n）,'
.'
）;
xlabel（'
n'
grid;
title（'
复正弦序列x1（n）'
holdon;
subplot（3,1,2）;
stem（n,abs（X1k）,'
k'
ylabel（'
abs（x1k）'
序列x1（n）的16点DFT'
i=0:
7;
x3=exp（（j*pi/8）.*i）;
x4=[（i>
（i<
=7）];
x1i=x3.*x4;
X1i=fft（x1i,8）;
subplot（3,1,3）;
stem（i,abs（X1i）,'
abs（x1i）'
序列x1（n）的8点DFT'
计算x1（n）的16点DFT
绘制复正弦序列x1（n）
实部与虚部在同一坐标上显示出
绘制x1（n）的16点DFT
计算x1（n）的8点DFT
绘制x1（n）的8点DFT
复正弦序列对in）
20
10
序列小口）的16点DFT
5
15
°
序列的8点DFT
5-
;
n=0:
34
k
图2.1复正弦序列及其16点与8点DFT
计算x2（n）的16点DFT
绘制余弦序列x2（n）
绘制x2n）的16点DFT
计算x2（n）的8点DFT
绘制x2（n）的8点DFT
x2n=cos（（pi/8）.*n）.*x2;
X2k=fft（x2n,16）;
stem（n,x2n,'
余弦序列x2（n）'
subplot（3,1,2）;
stem（n,abs（X2k）,'
abs（x2k）'
序列x2（n）的16点DFT'
x2i=cos（（pi/8）.*i）.*x4;
X2i=fft（x2i,8）;
stem（i,abs（X2i）,'
abs（x2i）'
序列x2（n）的8点DFT'
n
序列x2何的16点DFT
051015
序列x2（n）的&
旦DFT
计算x3（n）的16点DFT
绘正弦序列x3（n）
绘制x3（n）的16点DFT
图2.2余弦序列及其16点与8点DFT
n=0:
x3n=sin（（pi/8）.*n）.*x2;
X3k=fft（x3n,16）;
stem（n,x3n,'
正弦序列x3（n）'
stem（n,abs（X3k）,'
abs（x3k）'
序列x3（n）的16点DFT'
x3i=sin（（pi/8）.*i）.*x4;
计算x3（n）的8点DFT
绘制x3（n）的8点DFT
X3i=fft（x3i,8）;
stem（i,abs（X3i）,'
abs（x3i）'
序列x3（n）的8点DFT'
正弦序列x3（n）
o
1-
51015
序列何的16点DFT
■-*o050wgtnqnl
序列x3何的8点DFT
||
■
01234567
图2.3正弦序列及其16点与8点DFT
2.2仿真2
验证N点DFT的物理意义
1-i4CO
⑴xn=R4n,Xe^=FT||xn=，绘出幅频曲线和相频曲线
1e
N=7;
I=15;
%设置两种DFT的长度n=0:
abs（xk2）'
序列x（n）的16点DFT'
序列x（n）的8点DFT
序列x何的花点DFT
图2.4序列的幅频曲线及其8点与16点DFT
3结果分析
如上图，第一行分别为复正弦序列XinRnn，余弦序列
x2（n）=cos—n|RN（n）x3（n）=sin—n|RN（n）
l8丿，正弦序列疋丿N=16时的DFT幅频
特性曲线；
第二行分别为三个序列N=8时的DFT幅频特性曲线。
两种N值下的DFT结果差别如此之大是因为：
X（n）的DFT结果与变换区间长度N的取值有关，变换区间长度N不同，表示对X（ejw）在［0,2n］区间上的采样间隔和采样点不同。
N=16时，X1（n）,X2（n）,X3（n）正好是三个序列的一个周期，X1（n）,X2（n）,X3（n）的周期延拓序列就是这三个单一频率的正弦序列。
N=8时，X1（n）,X2（n）,X3（n）是三个序列的半个周期。
X1（n）,X2（n）,X3（n）以N为周期的周期延拓序列不再是单一频率的正弦序列，其中含有丰富的谐波成
分，其DFT结果与N=16时差别很大。
因此，对周其信号进行谱分析时，一定要截取整数个周期。
否则，得到的将是错误的频谱。
4心得体会
5参考文献
[1]姚天任，江太辉•《数字信号处理（第二版）》•武汉：
华中理工大学出版社，2000
[2]王世一•《数字信号处理（修订版）》•北京：
北京理工大学出版社，1997
[3]高西全，丁玉美•《数字信号处理一原理、实现与应用》.北京：
电子工业出版社，2006
[4]张立材，王民•《数字信号处理》.北京：
人民邮电出版社，2008
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