数学建模古塔地变形Word文件下载.docx
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1、问题重述
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
2、问题分析
（1）、对问题一的分析
问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。
因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。
然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。
根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。
（2）、对问题二的分析
问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。
对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。
对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差
，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。
再根据每层出现高程绝对差
的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。
对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。
（3）、对问题三的分析
问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。
对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。
3、模型假设
1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；
2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；
3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；
4.假设古塔的变形是连续的；
四、符号说明
观测点
古塔层数
时间，并以1986年为第一年，即t=1
古塔同一层测点的最大高程差
古塔相邻两层h值的差
两对角线的夹角
古塔的倾斜角
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解：
为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：
图1-1
图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。
根据正八边形图形特征，古塔各层测量点坐标（
，
）的平均值作为各层中心点坐标。
即：
，
，
算出的各层中心坐标如下：
表1-1.所测年数各层中心坐标表
1986年
1996年
楼层i
X
Y
Z
1
566.6648
522.7105
1.7874
566.665
522.7102
1.7102
2
566.7196
522.6684
7.3203
566.7205
522.6674
7.3146
3
566.7735
522.6273
12.7553
566.7751
522.6256
12.7508
4
566.8161
522.5944
17.0783
566.8183
522.5922
17.0751
5
566.8621
522.5591
21.7205
566.8649
522.5563
21.716
6
566.9084
522.5244
26.2351
566.9118
522.521
26.2295
7
566.9468
522.5081
29.8369
566.9506
522.5042
29.8323
8
566.9843
522.4924
33.3509
566.9884
522.4881
33.3454
9
567.0218
522.4764
36.8549
567.0265
522.4714
36.8483
10
567.0569
522.4624
40.1721
567.062
522.4572
40.1676
11
567.1045
522.423
44.4088
567.1102
522.4173
44.4354
12
567.1518
522.3836
48.7119
567.1578
522.3775
48.7074
13
567.085
522.7403
52.8343
567.0912
522.734
52.83
塔尖
567.2473
522.2438
55.1233
567.2544
522.2367
55.11975
2009年
2011年
566.7268
522.7015
1.7645
566.727
522.7014
1.76325
566.764
522.6693
7.309
522.669
7.2905
566.8001
522.6384
12.7323
566.8004
522.6387
12.7269
566.8293
522.6132
17.0698
566.8297
522.6127
17.052
566.8604
522.5866
21.7094
566.861
522.586
21.7039
566.947
522.5342
26.211
566.9478
522.5335
26.2045
566.9792
522.5123
29.8246
566.98
522.5115
29.817
567.0305
522.4797
33.3399
567.0313
522.4788
33.3366
567.0816
522.4466
36.8438
567.0825
522.4457
36.8223
567.137
522.3937
40.1611
567.1381
522.3926
40.1441
567.1799
522.3547
44.4326
567.181
522.3535
44.4249
567.2225
522.316
48.6998
567.2238
522.3147
48.6839
567.2712
522.2715
52.8184
567.2725
522.2701
52.8131
567.336
522.2148
55.091
567.3375
522.2135
55.087
用上表得到的数据，把每层中心点的X，Y，Z坐标分别对时间t（设1986年为第一年，即t=1）做回归，得到下表的一系列回归方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一层的中心坐标,即为确定古塔各层中心位置的通用方法。
表1-2.各层坐标与时间的回归表
中心点
坐标
层数i
Xi
Yi
Zi
X=566.65164+0.00286t
Y=522.71231-0.00041t
Z=1.76325-0.00024t
X=566.71052+0.00203t
Y=522.66783+0.00044t
Z=7.322956-0.00093t
X=566.7685+0.001214t
Y=522.62418+0.00054t
Z=12.75904-0.00115t
X=566.81415+0.00059t
Y=522.58954+0.00088t
X=566.86355-0.00009t
Y=522.55215+0.00128t
Z=21.72178-0.0006t
X=566.90148+0.00176t
Y=522.52099+0.00047t
Z=26.23885-0.00121t
X=566.94137+0.00147t
Y=522.50569+0.00022t
Z=29.83865-0.00071t
X=566.97606+0.00210t
Y=522.49343-0.00056t
Z=33.35139-0.00053t
X=567.01090+0.00272t
Y=522.48078-0.00134t
Z=36.85757-0.00099t
X=567.04181+0.00366t
Y=522.47502-0.00313t
Z=40.17504-0.00089t
X=567.09066+0.00322t
Y=522.43534-0.00311t
Z=44.41597-0.00061t
X=567.13906+0.00922t
Y=522.39564-0.00308t
Z=48.71487-0.00091t
X=567.04774+0.00853t
Y=522.83776-0.02153t
Z=52.83664-0.00082t
14
X=567.23116+0.00404t
Y=522.24712-0.00129t
Z=55.12923-0.00155t
5.2问题二的求解：
5.2.1倾斜变形求解：
1）倾斜度大小的求解
首先用第t年中,各层中心点坐标的
对
做多元线性回归。
=
（1）
该回归方程在空间直角坐标系中是一个平面，表示各层中心近似所处的平面。
运用Excel软件根据
（1）式求解各年回归方程。
统计各年回归方程系数可得下表：
表2-1回归方程系数
年份
t
1986
-82920.6
116.5013
32.34341
1996
-82194.2
115.4235
32.12215
2009
24
-57953.5
92.50807
10.58585
2011
26
-57150
91.76544
9.853791
运用Matlab做出2009年回归方程对应的回归平面（过程见附录1）。
图2-1
由图2-1可以直观地看出各层中心点贴近回归平面，证明上面所建立模型的准确性。
上述方法所得的回归平面与z轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。
原理解释如下：
图2-2
如图，空间直角坐标系（由CAD制作）中有下列关系：
其中，平面ABC是同一年塔各层中心点的回归平面。
AB垂直于OD，AB垂直于OC，即AB垂直于CD，即∠ODC为平面OAB与平面ABC夹角。
所以平面ABC与z轴夹角
为：
即角
为回归平面与z轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。
令
=0，即方程为
=0为AB所在直线方程，所以OD为点O到AB的距离，根据点到直线的距离公式可得：
令x和y等于0，可以得出
根据正切性质得：
根据反三角函数，可知：
（2）
根据
（2）式可以得算出古塔每年的倾斜角
，列表如下：
表2-2塔的倾斜角度，单位：
（°
塔的倾斜角
0.4739
0.4782
0.6153
0.6208
夹角
的值可以表示古塔的倾斜程度大小。
2）倾斜方向的求解
根据古塔各层中心点在水平面xoy中的投影的分布和变化趋势，来确定古塔的倾斜方向。
下面以2009年数据为例。
用Matlab作2009年各测点与中心点的平面图（过程见附录2）：
图2-3
由图2-3可以看出，各层中心点都大致分布在第2，6个测量点的对角线上。
再根据中心点投影位置随楼层的增加而自测量点2向测量点6移动。
可以知道古塔的倾斜方向大致是沿测量点2向测量点6方向倾斜。
5.2.2弯曲变形求解
1）弯曲程度大小的求解
对于古塔的弯曲情况，我们通过每层平面倾斜的变化程度初步分析，然后再结合整栋古塔，得出古塔的大概外形，从局部到整体分析古塔的变形。
首先，计算第t年，i层测量点高程的绝对差
，为：
它能直观地反映在各层最大倾斜程度，但绝对差不能全面的表现出弯曲的情况。
而第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量
，可以反映相邻两层的弯曲的大小程度。
公式如下：
运用excel计算与排列每年各层的测量点绝对差，得下表：
表2-3每年各层的测量点绝对差，单位：
m
绝对差
层数/年份
0.049
0.055
0.079
0.078
0.05
0.048
0.057
0.052
0.076
0.083
0.046
0.044
0.073
0.051
0.173
0.166
0.198
0.197
0.174
0.167
0.16
0.153
0.18
0.186
0.185
0.206
0.205
0.204
0.237
0.196
0.195
0.192
0.207
0.188
0.168
0.194
0.193
通过上表中的绝对差计算第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量
。
得出1986年，1996年，2009年，2011年各个
值，得出下表：
表2-4相邻两层高程的绝对差的变化量表，单位：
层数
2009年
1~2
0.001
-0.006
-0.031
-0.021
2~3
0.003
0.028
0.026
3~4
-0.032
-0.01
4~5
0.005
0.006
-0.022
5~6
0.123
0.115
0.148
0.146
6~7
-0.038
-0.044
7~8
0.013
0.032
8~9
-0.013
9~10
0.038
0.031
0.039
10~11
-0.012
-0.03
11~12
-0.004
-0.039
12~13
-0.002
0.004
从所得各年
值的统计可得出结论：
在各年中都是5~6层间的
值为最大，从1986年到2011年，
值呈某部分增大，而且总体
的总值都在变大。
对统计数据进行分析：
在5~6层间的倾斜程度变化很大，表现为5~6层间产生大的弯曲，在1986年到2011年塔的相邻层之间的倾斜变化程度越来越大。
表现为随着时间的推移塔的弯曲程度越来越严重。
的值主要在第五与第六层之间有较大值，其他值都较小。
所以古塔主要弯曲的地方是在第5层与第6层。
所以用第5层到第6层间的高程绝对差的增量
的值来表示古塔的弯曲大小程度。
由上表可以知在每年中，每层的高程的绝对差都是较小的数，即表示该塔同层高程起伏较小，基本处于同一水平面；
在第5层至第6层高程的绝对差异常增大，且使在第6层以后每层的绝对差都稳定在较大数值；
在2011年中，在相邻两层的高程的绝对差的数值变化较大。
图2-4
图2-4是用Matlab作出古塔的三维结构图（过程在附件2），可以看出古塔中间的地方比较弯曲，由此也说明了我们所建模型的合理性。
2）弯曲方向的求解
列出在第5、6层各点高程从高到低的测量点序号：
表2-5第5、6层各年各测量点的排序
第5层
第6层
从上表可得出结论：
每年的第5层楼到第6层楼，测量点6相对其他点降低的程度最大，即可知在第5层到第6层楼中古塔向测量点6方向弯曲。
5.2.3扭曲变形求解
由于古塔首层是与稳定的地基连接，所以首层的扭曲变形几乎可以忽略不计，所以取每层相同对角线在平面xoy投影的夹角作为扭曲变形的量度：
夹角越大，则扭曲变形越严重。
具体原理如下：
如图2-5所示，以第1与第13层为例，首先选取两对测量点，分别为2-6、4-8。
取第一层的2-6对角线为L1，第13层的2-6对角线为L2，L1与L2的夹角为
取第一层的4-8对角线为L3，第13层的4-8对角线为L4，L3与L4的夹角为
用
与
的平均值
作为古塔第13层相对于第一层扭曲变形的量度。
图2-5
同理，其他层2-6测量点对角线与第一层2-6测量点对角线L1的夹角为
，其他层4-8测量点对角线与第一层4-8测量点对角线L3的夹角为
它们的平均值
反映其他层相对第一层的扭曲度。
计算结果如下表
表2-7每层相对于第一层扭曲的度，单位：
0.504856
0.504713
0.310858
0.310764
1.034441
0.642251
0.641926
1.491717
0.924225
2.018154
2.017887
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