数学建模古塔地变形Word文件下载.docx

1、1、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。2、问题分析（1）、对问题一的分析 问题一中

2、确定古塔各层中心位置的通用方法。因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。（2）、对问题二的分析问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差

3、的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。（3）、对问题三的分析问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。3、模型假设1. 假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；2. 假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；3. 忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；4. 假设古塔的变形是连续的；四、符号说明观测点古塔层数时间，并以1986年为第一年，即t=

4、1古塔同一层测点的最大高程差古塔相邻两层h值的差两对角线的夹角古塔的倾斜角五、模型的建立与求解5.1问题一的求解：为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：图1-1 图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。根据正八边形图形特征，古塔各层测量点坐标（，）的平均值作为各层中心点坐标。即：， ， 算出的各层中心坐标如下：表1-1.所测年数各层中心坐标表1986年1996年楼层iXYZ1566.6648522.71051.7874566.66

5、5522.71021.71022566.7196522.66847.3203566.7205522.66747.31463566.7735522.627312.7553566.7751522.625612.75084566.8161522.594417.0783566.8183522.592217.07515566.8621522.559121.7205566.8649522.556321.7166566.9084522.524426.2351566.9118522.52126.22957566.9468522.508129.8369566.9506522.504229.83238566.98

6、43522.492433.3509566.9884522.488133.34549567.0218522.476436.8549567.0265522.471436.848310567.0569522.462440.1721567.062522.457240.167611567.1045522.42344.4088567.1102522.417344.435412567.1518522.383648.7119567.1578522.377548.707413567.085522.740352.8343567.0912522.73452.83塔尖567.2473522.243855.123356

7、7.2544522.236755.119752009年2011年566.7268522.70151.7645566.727522.70141.76325566.764522.66937.309522.6697.2905566.8001522.638412.7323566.8004522.638712.7269566.8293522.613217.0698566.8297522.612717.052566.8604522.586621.7094566.861522.58621.7039566.947522.534226.211566.9478522.533526.2045566.9792522.

8、512329.8246566.98522.511529.817567.0305522.479733.3399567.0313522.478833.3366567.0816522.446636.8438567.0825522.445736.8223567.137522.393740.1611567.1381522.392640.1441567.1799522.354744.4326567.181522.353544.4249567.2225522.31648.6998567.2238522.314748.6839567.2712522.271552.8184567.2725522.270152.

9、8131567.336522.214855.091567.3375522.213555.087用上表得到的数据，把每层中心点的X，Y，Z坐标分别对时间t（设1986年为第一年，即t=1）做回归，得到下表的一系列回归方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一层的中心坐标,即为确定古塔各层中心位置的通用方法。表1-2.各层坐标与时间的回归表中心点坐标层数iXiYiZiX=566.65164+0.00286tY=522.71231-0.00041tZ=1.76325-0.00024tX=566.71052+0.00203tY=522.66783+0.00044tZ=7.322956-0.00093

10、tX=566.7685+0.001214tY=522.62418+0.00054tZ=12.75904-0.00115tX=566.81415+0.00059tY=522.58954+0.00088tX=566.86355-0.00009tY=522.55215+0.00128tZ=21.72178-0.0006tX=566.90148+0.00176tY=522.52099+0.00047tZ=26.23885-0.00121tX=566.94137+0.00147tY=522.50569+0.00022tZ=29.83865-0.00071tX=566.97606+0.00210tY=52

11、2.49343-0.00056tZ=33.35139-0.00053tX=567.01090+0.00272tY=522.48078-0.00134tZ=36.85757-0.00099tX=567.04181+0.00366tY=522.47502-0.00313tZ=40.17504-0.00089tX=567.09066+0.00322tY=522.43534-0.00311tZ=44.41597-0.00061tX=567.13906+0.00922tY=522.39564-0.00308tZ=48.71487-0.00091tX=567.04774+0.00853tY=522.837

12、76-0.02153tZ=52.83664-0.00082t14X=567.23116+0.00404tY=522.24712-0.00129tZ=55.12923-0.00155t5.2问题二的求解：5.2.1倾斜变形求解：1） 倾斜度大小的求解 首先用第t年中,各层中心点坐标的对做多元线性回归。= （1） 该回归方程在空间直角坐标系中是一个平面，表示各层中心近似所处的平面。运用Excel软件根据（1）式求解各年回归方程。统计各年回归方程系数可得下表：表2-1 回归方程系数年份t1986-82920.6116.501332.343411996-82194.2115.423532.122152

13、00924-57953.592.5080710.58585201126-5715091.765449.853791运用Matlab做出2009年回归方程对应的回归平面（过程见附录1）。 图2-1由图2-1可以直观地看出各层中心点贴近回归平面，证明上面所建立模型的准确性。 上述方法所得的回归平面与z轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。原理解释如下： 图2-2 如图，空间直角坐标系（由CAD制作）中有下列关系： 其中，平面ABC是同一年塔各层中心点的回归平面。AB垂直于OD，AB垂直于OC，即AB垂直于CD，即ODC为平面OAB与平面ABC夹角。所以平面ABC与z轴夹角为：即角为回归平面与z轴正方向

14、的夹角可以表示塔的倾斜角。令=0，即方程为=0为AB所在直线方程，所以OD为点O到AB的距离，根据点到直线的距离公式可得：令x和y等于0，可以得出 根据正切性质得： 根据反三角函数，可知： （2） 根据（2）式可以得算出古塔每年的倾斜角，列表如下：表2-2 塔的倾斜角度，单位：（塔的倾斜角0.47390.47820.61530.6208夹角的值可以表示古塔的倾斜程度大小。2） 倾斜方向的求解根据古塔各层中心点在水平面xoy中的投影的分布和变化趋势，来确定古塔的倾斜方向。下面以2009年数据为例。用Matlab作2009年各测点与中心点的平面图（过程见附录2）：图2-3 由图2-3可以看出，各层

15、中心点都大致分布在第2，6个测量点的对角线上。再根据中心点投影位置随楼层的增加而自测量点2向测量点6移动。可以知道古塔的倾斜方向大致是沿测量点2向测量点6方向倾斜。5.2.2弯曲变形求解1） 弯曲程度大小的求解对于古塔的弯曲情况，我们通过每层平面倾斜的变化程度初步分析，然后再结合整栋古塔，得出古塔的大概外形，从局部到整体分析古塔的变形。首先，计算第t年，i层测量点高程的绝对差，为：它能直观地反映在各层最大倾斜程度，但绝对差不能全面的表现出弯曲的情况。而第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量，可以反映相邻两层的弯曲的大小程度。公式如下：运用excel计算与排列每年各层的测量点绝对差，得下表：表

16、2-3每年各层的测量点绝对差，单位：m绝对差层数/年份0.0490.0550.0790.0780.050.0480.0570.0520.0760.0830.0460.0440.0730.0510.1730.1660.1980.1970.1740.1670.160.1530.180.1860.1850.2060.2050.2040.2370.1960.1950.1920.2070.1880.1680.1940.193通过上表中的绝对差计算第t年i层到i+1层高程的绝对差的变化量。得出1986年，1996年，2009年，2011年各个值，得出下表： 表2-4相邻两层高程的绝对差的变化量表，单位：层

17、数2009年 120.001-0.006-0.031-0.021230.0030.0280.02634-0.032-0.01450.0050.006-0.022560.1230.1150.1480.14667-0.038-0.044780.0130.03289-0.0139100.0380.0310.0391011-0.012-0.031112-0.004-0.0391213-0.0020.004从所得各年值的统计可得出结论：在各年中都是56层间的值为最大，从1986年到2011年，值呈某部分增大，而且总体的总值都在变大。对统计数据进行分析：在56层间的倾斜程度变化很大，表现为56层间产生大的

18、弯曲，在1986年到2011年塔的相邻层之间的倾斜变化程度越来越大。表现为随着时间的推移塔的弯曲程度越来越严重。的值主要在第五与第六层之间有较大值，其他值都较小。所以古塔主要弯曲的地方是在第5层与第6层。所以用第5层到第6层间的高程绝对差的增量的值来表示古塔的弯曲大小程度。由上表可以知在每年中，每层的高程的绝对差都是较小的数，即表示该塔同层高程起伏较小，基本处于同一水平面；在第5层至第6层高程的绝对差异常增大，且使在第6层以后每层的绝对差都稳定在较大数值；在2011年中，在相邻两层的高程的绝对差的数值变化较大。 图2-4图2-4是用Matlab作出古塔的三维结构图（过程在附件2），可以看出古塔

19、中间的地方比较弯曲，由此也说明了我们所建模型的合理性。2） 弯曲方向的求解列出在第5、6层各点高程从高到低的测量点序号：表2-5 第5、6层各年各测量点的排序第5层第6层从上表可得出结论：每年的第5层楼到第6层楼，测量点6相对其他点降低的程度最大，即可知在第5层到第6层楼中古塔向测量点6方向弯曲。5.2.3扭曲变形求解由于古塔首层是与稳定的地基连接，所以首层的扭曲变形几乎可以忽略不计，所以取每层相同对角线在平面xoy投影的夹角作为扭曲变形的量度：夹角越大，则扭曲变形越严重。具体原理如下：如图2-5所示，以第1与第13层为例，首先选取两对测量点，分别为2-6、4-8。取第一层的2-6对角线为L1

20、，第13层的2-6对角线为L2，L1与L2的夹角为取第一层的4-8对角线为L3，第13层的4-8对角线为L4，L3与L4的夹角为用与的平均值作为古塔第13层相对于第一层扭曲变形的量度。 图2-5 同理，其他层2-6测量点对角线与第一层2-6测量点对角线L1的夹角为，其他层4-8测量点对角线与第一层4-8测量点对角线L3的夹角为它们的平均值反映其他层相对第一层的扭曲度。计算结果如下表表2-7 每层相对于第一层扭曲的度，单位：0.5048560.5047130.3108580.3107641.0344410.6422510.6419261.4917170.9242252.0181542.0178871.25123