函数奇偶性对称性周期性知识点总结Word下载.docx
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//2A（AxByC）2B（AxByC）、*十
①点A（x,y）与B（x,y）=B（x22,y22）关于
a2+b2a2+b2
直线AxBy^0成轴对称;
AxByC=0成轴对称。
Ax•By•C=0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数y=f（x）图象本身的对称性（自身对称）
若f（xa）二f（xb），则f（x）具有周期性；
若f（ax）二f（b—x），则f（x）
具有对称性：
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f（a+x）=f（b—x）二y=f（x）图象关于直线x=（a+x）+（b—x）对称
22
推论1:
f（a•x）=f（a-x）=y=f（x）的图象关于直线x=a对称
推论2、f（x）=f（2a-x）：
=y=f（x）的图象关于直线x=a对称
推论3、f（_x）=f（2a•x）：
2、f（a+x）+f（b_x）=2c=y=f（x）的图象关于点（a+bc）对称
2
推论1、f（a•x）•f（a「x）=2b=y二f（x）的图象关于点（a,b）对称
推论2、f（x）•f（2a-x）=2b=y=f（x）的图象关于点（a,b）对称
推论3、f（_x）•f（2a•x）=2b=y=f（x）的图象关于点（a,b）对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数y=f（x）与y二f（-x）图象关于Y轴对称
2、奇函数y=f（x）与y二-f（-X）图象关于原点对称函数
3、函数y二f（x）与y--f（x）图象关于X轴对称
4、互为反函数y=f（x）与函数y二f，（x）图象关于直线y二x对称
b—a
5、函数y=f（a+x）与y=f（b—x）图象关于直线x=对称
2
函数y=f（ax）与y=f（a-x）图象关于直线x=0对称
推论2：
函数y=f（x）与y=f（2a_x）图象关于直线x=a对称
推论3：
函数y=f（「x）与y=f（2a-x）图象关于直线x=-a对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1抽象函数的对称性
性质1若函数y=f（x）关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a+x）=f（a—x）
（2）f（2a—x）=f（x）（3）f（2a+x）=f（—x）
性质2若函数y=f（x）关于点（a,0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a+x）=—f（a—x）
（2）f（2a—x）=—f（x）（3）f（2a+x）=—f（—x）
易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g（—x）]=f[g（x）]，贝U复数函数y=f[g（x）]为偶函数。
定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g（—x）]=—f[g（x）]，则复合函数y二f[g（x）]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g（x）]为偶函数，则f[g（—x）]=f[g（x）]而不是f[—g（x）]二f[g（x）]，复合函数y二f[g（x）]为奇函数，则f[g（—x）]二一f[g（x）]而不是f[—g（x）]=—f[g（x）]。
（2）两个特例:
y=f（x+a）为偶函数，则f（x+a）=f（—x+a）;
y=f（x+a）为奇函数，则f（—x+a）=—f（a+x）
（3）y二f（x+a）为偶（或奇）函数，等价于单层函数y二f（x）关于直线x=a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f（a+x）与y=f（b—x）关于直线x=（b—a）/2轴对称性质4、复合函数y=f（a+x）与y=—f（b—x）关于点（（b—a）/2，0）中心对称
推论1、复合函数y=f（a+x）与y=f（a—x）关于y轴轴对称
推论2、复合函数y=f（a+x）与y=—f（a—x）关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y=f（x）定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y二f（x）是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f（x+a）=f（x—a）②f（x+a）=—f（x）
3f（x+a）=1/f（x）④f（x+a）=—1/f（x）
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f（x）同时关于直线x=a与x=b轴对称，贝U函数f（x）必为周期函数，且T=2|a—b|
性质6、若函数y=f（x）同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|a—b|
性质7、若函数y=f（x）既关于点（a,0）中心对称，又关于直线x=b轴对称，贝U函数f（x）必为周期函数，且T=4|a—b|
6、函数对称性的应用
（1）若y=f（x）关于点（h,k）对称，则xx^2h,y-y^2k,即
f（x）f（x‘）=f（x）f（2h-x）=2k
f（xjf（X2）…f（Xn）f（2h-Xn）f（2h-Xn」）…f（2h-xj=2nk
（2）例题
3、若f（x）=f（2a-x）或f（a-x）=f（a•x）,则y=f（x）的图像关于直线x=a对
称。
设f（x）=0有n个不同的实数根，则
x「X2川…出X=X1（2a-为）X2（2a-x?
）川…出x（2a-Xn）二na.
22
（当n=2k•1时，必有X1=2a-X1,=为二a）
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f（x士T）=f（x）（T鼻0）二y=f（x）的周期为T，kT（k^Z）也是函数的周期
2、f（xa）=f（xb）：
二y=f（x）的周期为T二b-a
3、f（xa）=-f（x）二y=f（x）的周期为T=2a
1
4、f（xa）y=f（x）的周期为T=2a
f（x）
5、f（xa）y=f（x）的周期为T=2a
1_f（x）
6、f（xa）y=f（x）的周期为T=3a
1+f（x）
7、f（xa）y二f（x）的周期为T=2a
f（x）+1
8f（x•a）==y=f（x）的周期为T=4a
1-f（x）
9、f（x2a）=f（xa）一f（x）=y=f（x）的周期为T=6a
10、若p0,f（px）=f（px一号）,则丁=
11、y=f（x）有两条对称轴x=a和x=b（bna）二y=f（x）周期T=2（b—a）推论：
偶函数y=f（x）满足f（a•x）二f（a「x）：
=y=f（x）周期T=2a
12、y=f（x）有两个对称中心（a,0）和（b,0）（b>
a）=y=f（x）周期T=2（b—a）
推论：
奇函数y=f（x）满足f（a•x）=f（a-x）：
=y=f（x）周期T=4a
13、y=f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b,0）（b>
a）二f（x）的T=4（b—a）
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）设f（x）是（—“，•：
：
）上的奇函数，f（2•X）=-f（x）,当
0乞X<
1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（-0.5）
（A）0.5;
（B）-0.5;
（C）1.5;
（D）-1.5.
例2.（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知f（x）是定义在实数集上的函数，且
f（x2）1-f（x）】=1f（x）,f
（1）=2..3,求f（1989）的值.f（1989）「3-2。
2、比较函数值大小
1
例3.若f（x）（x・R）是以2为周期的偶函数，当x'
0,11时，f（xHx^,试比较
£
98、x/101£
界04、
f（T9）、“石）、f（104）的大小.
解：
*f（x）（x・R）是以2为周期的偶函数，又；
f（x）=x1998在b,11上是增函数，且
c11614,
茁茁1，
16…14、卄.，101
11614
f（訂f（新f（衩即J?
1915
:
f（98b：
f^04）.
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）设f（X）是定义在区间（」：
，•：
）上且以2为周期的函数，对
k•Z，用Ik表示区间（2k-1,2k1）,已知当I。
时，f（x）=x.求f（x）在人上的解
析式•
设x（2k_1,2k1）,.2k一1：
x：
2k1二-1：
2k:
1
x10时，有f（x）=x,.由一1：
x-2k:
1得f（x-2k）=（x-2k）
f（x）是以2为周期的函数，.f（x-2k）=f（x）,.f（x）=（x-2k）2.
例5•设f（x）是定义在（-：
，=）上以2为周期的周期函数，且f（x）是偶函数，在区
间2,3上，f（x）=2（x-3）2•4.求1,21时，f（x）的解析式•
当x〔-3,-21,即—x2,31,
f（x）二f（-x）二-2（-x-3）24=-2（x3）24
又f（x）是以2为周期的周期函数，于是当X，1,21,即卩-3乞x-4_-2时，有f（x）二f（x-4）
=f（x）二―2（x-4）3】24=—2（x-1）24（仁x乞2）.
.f（x）--2（x-1）24（1乞x乞2）.
4、判断函数奇偶性
例6.已知f（x）的周期为4,且等式f（2・x）二f（2-x）对任意R均成立,判断函数f（x）的奇偶性.
由f（x）的周期为4,得f（x）二f（4•x），由f（2•x）=f（2「x）得
f（-x）二f（4x）,-f（-x）二f（x）,故f（x）为偶函数.
5、确定函数图象与x轴交点的个数
例7.设函数f（x）对任意实数x满足f（2•x）二f（2-x）,f（7x）=
f（7-x）且f（0）=0,判断函数f（x）图象在区间1-30,301上与x轴至少有多少个交点
由题设知函数f（x）图象关于直线x=2和x二7对称，又由函数的性质得
f（X）是以10为周期的函数•在一个周期区间0,10上，
f（0）=0,f（4）=f（22）=f（2一2）=f（0）=0且f（x）不能恒为零,
故f（x）图象与x轴至少有2个交点.
而区间1.-30,30有6个周期，故在闭区间I-30,30上f（x）图象与x轴至少有13个交占
八、、-
6、在数列中的应用
例8.在数列5［中，a^3,an=1an」（n_2）,求数列的通项公式，并计算
1-an」
a1a5a^a1997■
分析：
此题的思路与例2思路类似.
心人1+a1V^tg«
兀
=tg（n-1）,于是a
4
1an」
1-and
=tg（n-1）4:
令a1=tg一：
则a2-tg（）
1-a11-tga4
不难用归纳法证明数列的通项为：
an=tg（—n），且以4为周期.
44
于是有1,5,9…1997是以4为公差的等差数列，
-印=a5=a9二…=a1997，由199^1（n-1）4得总项数为500叽
aa5為亠亠耳997=500a^j=5003.
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？
转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可
打9292=（91+1）92=C929192+C；
29191+…+。
畧912+C；
29+1
9292=（7131）92=C2（713）92C；
2（713）91c990（713）2+C；
2（7>
M3）+1
因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1,即为余数，
92故92天为星期四.
8复数中的应用
例10•（上海市1994年高考题）设z=--3i（i是虚数单位），则满足等式z"
=z,
且大于1的正整数n中最小的是
（A）3；
（B）4；
（C）6；
（D）7.
1；
3
运用zi方幕的周期性求值即可•
；
zn二z,.z（zn」-1）=0=znJ=1，
Z3=1,.n-1必须是3的倍数，即n-1=3k（kN）,
.n=3k1（kN）.
.k=1时,n最小，.（n）min=4.故选择（B）
9、解“立几”题
例h.ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走
一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是AR—；
A1D1—；
…，黑蚁爬行的路线是
AB>
BB^.它们都遵循如下规则：
所爬行的第i，2段所在直线与第i段所在直线必
须是异面直线（其中rN）.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处,
这时黑白蚁的距离是
依条件列出白蚁的路线AA^—A,D^—D1C^—C1^—CB—
A点.可验证知：
黑白二蚁走
BA>
AA^,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了
完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期
1990=63314，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出
在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是■-2.
例题与应用
例1:
f（x）是R上的奇函数f（x）=—f（x+4）,x€[0,2]时f（x）=x,求f（2007）的值
例2:
已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）[1—f（x）]=1+f（x）,f
（1）=2，求
f（2009）的值。
故f（2009）=f（251X8+1）=f
（1）=2
例3:
已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），且当X-—2,0】时，f（x）=—
2x+1，则当x4,61时求f（x）的解析式
例4:
已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+999）=,f（999+x）=f（999—x）,
试判断函数f（x）的奇偶性•
例5:
已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），且当X，I-2,0］时，f（x）是减
函数，求证当x・4,61时f（x）为增函数
例6:
f（x）满足f（x）=-f（6-x）,f（x）=f（2-x），若f（a）=-f（2000）,a€［5,9］且f（x）
在［5,9］上单调.求a的值.
例7:
已知f（x）是定义在R上的函数，f（x）=f（4—x）,f（7+x）=f（7—x）,f（0）=0,
求在区间［—1000,1000］上f（x）=0至少有几个根？
依题意f（x）关于x=2,x=7对称，类比命题2
（2）可知f（x）的一个周期是10
故f（x+10）=f（x）/•f（10）=f（0）=0又f（4）=f（0）=0
即在区间（0,10］上，方程f（x）=0至少两个根
又f（x）是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f（x）=0在区间［—1000,1000］上至少有1+2汉2000=401个根
10
例1、函数y=f（x）是定义在实数集R上的函数，那么y=—f（x+4）与y=f（6—x）的图象之间（D）
A.关于直线x=5对称B.关于直线x=1对称
C.关于点（5,0）对称D.关于点（1,0）对称
据复合函数的对称性知函数y=—f（x+4）与y=f（6—x）之间关于
点（（6—4）/2,0）即（1,0）中心对称，故选D。
（原卷错选为C）
例2、设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，证明f（x）是周期函数。
（2001年理工类第22题）
例3、设f（x）是（—％,+x）上的奇函数，f（x+2）=—f（x），当0Wxwi时f（x）=x，则f（7.5）等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（10+x）=f（10—x）,f（20—x）二—f（20+x），则f（x）是（C）
A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y=f（x）是定义在实数集
R上的函数，那么y=—f（x+4）与y=
f（6—x）的图象（）。
0.5
C.1.5
D.—1.5
f（10+x）=f（10—x）,
3、设f（x）是定义在（—8,+8）上的函数，且满足
f（20—x）=—f（20+x），贝Uf（x）是（）。
A偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数
4、f（x）是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，证明f（x）是周期函数。
参考答案：
D,B,C,T=2。
5、在数列｛Xn｝中，已知Xi=X2=1,Xn.2=Xn1-Xn（n•N*）,求Xioo=-1.
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