《微积分》各章习题及详细答案Word文档格式.docx
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x0
3
（A）匚；
2
（B）—；
（C）1；
（D）0。
4、数列极限
limn[ln（n1）lnn]
（A）1；
（B）1；
（C）
5
不存在但非
sinx
V
5、f（x）
xcos-
则x0就是f（X）的
（A）连续点;
（B）可去间断点；
（C）跳跃间断点；
（D）振荡间断点。
6、以下各项中f（x）与g（x）相同的就是（）
（A）f（x）lgx,g（x）2lgx;
（C）f（x）3*x
x0|x|
x）x
X3,g（x）
（B）f（x）x3_x1；
（D）f（x）
x,g（x）
1,g（x）
x;
secx
tan22xo
1；
-1；
0；
（D）不存在。
xm0（1
（B）-1；
（A）1；
9、f（x）在X。
的某
（C）e；
去心邻域内有界就是
（D）e
o
limf（x）存在的（
xx°
（A）充分必要条件；
（B）充分条件；
（C）必要条件；
（D）既不充分也不必要条件、
10、limx（.x21x）（）
（A）1;
（B）2;
（C）-；
（D）0o
11、设{an},{bn},心}均为非负数列，且liman0,limbn1,limCn,则必有（）
nnn
（A）anbn对任意n成立；
（B）bn
Cn对任意n成立；
（C）极限limanCn不存在；
极限limbnCn不存在。
n
（1）lim2nsinF；
⑵
n2n|
⑶limx（ex1）;
⑷
cscxcotxlim
2x1
.1xsinx-cosx
xtanx
⑺lim
n（n1）
limln（1—32—x）
2arctanN4x2
3、试确定a,b之值,使lim
X21
x1
ax
（1）lim-
4、利用极限存在准则求极限
11
⑵设Xia0,且Xni..axn（n1,2,）,证明lim人存在，并求此极限值。
XX
5、讨论函数f（x）limnxnx的连续性，若有间断点，指出其类型。
6、设f（x）在［a,b］上连续，且af（x）b,证明在（a,b）内至少有一点，使f（）
第一单元函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、2sin2x。
f（sin）1（12sin2_）22sin2,
222
f（x）
22x
f（cosx）
22cosx2sinx。
2、0。
（4
3x）2
9x224x160
—
x（1
x）
xx
3、高阶。
tanx
limtanx（1cosx）lim（1cosx）0,
x0xx0
tanxsinx就是x的高阶无穷小。
4、k0。
0,只要limxk
0,即k0。
1i
sin为有界函数，所以要使limxksin
xx0x
limexarctanx0
b2。
limf（x）
lim（xb）
b,
f（x）lim（ex1）2
f（0）b,b
2。
ln（3x1）
x06x
8、
1xe
根据题意
要求0
lnx
1,所以
1xe。
5、0。
（limex0,arctanx（,））。
x22
9、yex12
y1ln（x2）,
（y1）ln（x2）,x2ey1
x1c
e2。
10、e2a
11、a
xey12,y1In（x2）的反函数为y2a^2a
原式=lim
（1）2axae。
由（1ax2）31~ax2（利用教材P58（1x）a
1:
ax）与cosx
-x2,以及
12
（1ax2）1
x0cosx1
12、
由反三角函数的定义域要求可得
彳3x
1x
解不等式组可得
13、0lim
x
、x2
x2
2x
（x2
2）
x-42
0。
f（x）的定义域为1X1。
42
（.x22.X22）（x22x22）
Jx22Jx22
羽a
XX
/V
HX
3a
a
limx
2aa
^1
t
ln2。
1ln23
3aln8aln8
33
15、2
Jim（：
n•,n1）C一n2、_n）
（、..n..n1）2
（.n2、n）
121n
2（1..'
1）
Vn
1、选（D）数，F（
令F（x）
x）f（
2、选（C）
f（x）g（x）h（x）,由f（x）,g（x）就是[x）g（x）h（x）f（x）g（x）h（x）凶
（x）
（1
x）1（1
x）
lim
x1（1x）（13x）
（利用教材P58（1
3、选（A）
xmf（x）
lim31x
x°
3.1x
.1-21-3
mo
4、选（b）limn[ln（n1）Inn]
l,l］上的偶函数，h（x）就是［
F（x）o
l,l］上的奇函
（1x）[131（1x）]
x）a1:
ax）
3（利用教材P58（1
limln（1-）n1
5、选（C）f（0）1,f（0）0,f（0）0
6、选（C）在（A）中f（x）lnx的定义域为x0,而g（x）2lnx的定义域为x0,f（x）g（x）
故不正确
在（B）f（x）x的值域为（，）,g（x）.x2的值域为x0,故错
在（D）中f（x）1的定义域为R,g（x）sec2xtanx的定义域为
7、选（D）
sinxlim
1,lim
x0x
不存在
丄
（1）
8、选（D）
lim（1x）x
liq[1（
x）]xe
{xR,xk—}
f（x）g（x）,故错
lim沁
9、选（C）由函数极限的局部有界性定理知
limf（x）存在,则必有x0的某一去心邻域使f（x）有界,而
Xx0
f（x）在x0的某一去心邻域有界不一定有limf（x）存在，例如limsin,函数1
xxqc
.1
sin
1有界，但在
x0点极限不存在
10、选（C）
（Qlimx（一x2
lim
x，x21x
11、选（D）（A）、（B）显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当
可能得出“对任意n成立”的性质。
（C）也明显不对，因为“无穷小•无穷大”就是未定型，极限可能存在也可能不存在。
2彳1
x1市
ex1
12、选（D）
n充分大时”的情况
limx
当x
e
1时函数没有极限
（x
lim（x1）e〒
1）e^
，也不就是。
三、计算解答
1、计算下列极限：
（1）解：
lim2nsin百
n2
lim2n
”cscxcotx⑵解:
⑶解:
!
imx（ex
2x
（4）解:
im$1
1）3x
lim（1
尹
2cosx1
2x。
cosxsinxx
、3x
1cosxlim
xsinx
lim马
x0x2
lim[（1
2]3
x・
1）2
2]3°
”8cosx
（5）解:
lim
x_2cosxcosx1
"
3）
（2cosx
[lim（1
1）（4cosx
x（2cosx1）（cosx
2卫1）
円3
J
xsinxvcosx
（6）解:
xtanx
xsinx1cosxlim-
Qlim（.1
⑺解:
lim[
x12
2x2
xsinx
lim[（1
寸）
n1
（2
（8）解:
xi
Jn（1
lim冬
-cosx1
.cosx）2
x0xtanx（i1
1xsinxcosx
cosx）
32x）
arctan3、4
li（x21
lim（
xx1
n（n1）]（1n
32x
x234x2
b）lim—
n1）]
lim（）3x22x
1ax2（a
\4°
b）x
lim（1a）x2（ab）X（1b）
（a
4、
（1）1
a0
b）舟
111
23
而lim
1丄
（2）先证有界（数学归纳法
n1时，X2..a%
设nk时,Xka,则Xk1数列｛Xn｝有下界，再证｛Xn｝单调减，
axk
Xn1
xn
xnJxn
xn即｛xn｝单调减,
Xn0
则有A
limxn存在，设lim
、aAA0（舍）或A
Xn
A,
a,
5、解：
先求极限得
f（x）lim
2xn
limxn
而limf（x）1
f（x）的连续区间为
x0为跳跃间断点、。
（
f（x）1
0）（0,
f（0）
[a,b]上连续
6、解:
令F（x）f（x）x,贝yF（x）在
而F（a）f（a）a0
F（b）f（b）b0
由零点定理，（a,b）使F（）0
即f（）0，亦即f（）
已知f（3）2
f（0）存在,有
第二章导数与微分
则limf（3h）f（3）-
h0
2h
f（0）0,则lim^■勺=
f（x）二阶可导
yex在点
In[arctan（1x）],则dy=
f（1sinx）,则y=_y
—处切线与连接曲线上两点（0,1）,（1,e）的弦平行。
7、ysin2
x4,则鱼=,
dy=
2=0
dx
8、若f（t）
limt（1-）2tx,则
xX
f（t）=0
9、曲线y
X21于点
处的切线斜率为20
10、设yxe,则y（0）
11、设函数
yy（x）由方程e
ycos（xy）0确定,
12、设X
1t2则d?
y
costdx2
二、单项选择
1、设曲线y
1与yx2在它们交点处两切线的夹角为
（B）1；
2;
（D）30
3、函数
则
曲线
e,则k（）0
dy
则tan=（）0
etanx,且f（）
4
（B）1；
（C）2；
（D）2。
4、已知
f（X）为可导的偶函数
且limf（1x）f
（1）
x02x
2,则曲线yf（x）在（1,2）处切线的方程就
4x6;
（B）y4x
1f2（x
x0X
（B）2f（x）;
（C）2f（x）;
（D）2f（x）f（x）0
6、函数f（x）有任意阶导数，且f（x）[f（x）]2,则f（n）（x）=0
1n1n12
（B）n!
[f（x）];
（C）（n1）[f（x）];
（D）（n1）!
[f（x）]0
是_（A）y
5、设
f（x）可导,则lim
（A）n[f（x）]n
7、若f（X）
（C）yx3;
（D）y
x）f2（x）_
x2,则limf（X02x）f（x0）
=（）
（B）X。
（A）2xg;
8、设函数f（x）在点x0处存在
（A）必要非充分条件；
（C）充分必要条件；
9、设f（x）x（x1）（x2）
（A）99;
（B）99;
4x0;
（D）4x。
f（x。
）与f（x0）,则f（X。
）f（x0）就是导数f（X。
）存在的（）
（B）充分非必要条件；
（D）既非充分又非必要条件。
（x99）则f（0）（）
99!
;
（D）99!
0
x叩,求d2y
ytdx
arctanyy,
dM（4）
dx2
ysinxcosx,求y（50）
—）x,求y;
f（x）x（x1）（x2）
f（x）（x
2005）,求f（0）;
a）（x）,
（x）在xa处有连续的一阶导数
求f（a）、f（a）;
（8）设f（x）在x1处有连续的一阶导数
且f
（1）2,求lim—f（cosx1）。
x1dx
（A）xf（x）dx
（B）2xf（x
222
）dx;
（C）2f（x）dx;
（D）2xf（x）dx
11、
设函数
f（x）连续,且f'
（0）
0,则存在0,使得（）
（A）
f（x）在（0,
）内单调增加；
（B）f（x）在（，0）内单调减少；
（C）对任意的
（Q）有f（x）
f（0）;
（D）对任意的x（,0）有f（x）
设
2.1
xsinx
0在x0处可导，则（）
axbx
1,b
（B）a
0,b为任意常数；
0,b
（C）a
1,b为任意常数。
f（0）。
10、若f（u）可导，且yf（x）,则有dy（）
1、计算下列各题
sin2!
（1）
ex,求dy;
2、试确定常数a,b之值,使函数f（x）
x0处处可导。
b（1sinx）a2
e1
3、证明曲线x2y2a与xyb（a,b为常数）在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数f（x）对任意实数x1,x2有f（x1x2）f（x1）f（x2）,且f（0）1,证明f（x）f（x）。
32
6、求曲线yx3x5上过点（1,3）处的切线方程与法线方程。
第二章导数与微分习题解答
Hh
Hh
-f（3）1
、
f（1sinx）cosx,f（1
sinx）cos2x
f（1sinx）sinx
yf（1sinx）
cosx,yf（1
（ln（e1）,e1）
弦的斜率
/x
y（e）
sinx）
10
ln（e
cosx
1）,当x
ln（e1）时，ye1。
arctan（1x）[1（1x）]
dyd[arctan（1
arctan（1x）
1（1x）2d（1x）
10、
、
arctan（1x）[1（1x）2]
34^24
4xsin2x,2xsin2x
cosx
4x3
4x3sin2x4
匹2x2sin2x4
2xdx
e2t2te2t
（1,2）
exy
y（0）
ysin（xy）
xsin（xy）
f（t）limt（1^）2txte2t
Xx
2x,由2x02
f（t）
e2t
2te2t
X。
1,y0
12
1在点（1,2）处的切线斜率为
xXXX
xe,yeexe
e02
e0
方程两边对x求导得
exy（1
y'
）sin（xy）（yxy'
）
解得
exyysin（xy）exyxsin（xy）
sinttcost
4t3
由参数式求导公式得
Yt'
xt'
sint
2t
再对x求导，由复合函数求导法得
d2ydx2
d
（yx'
）dx
（Vx'
）t'
Xt'
1tcost
sint1sinttcost
2t2
3。
2t4t3
选择题
选（D）
由y
交点为（1,1）,
k1
㈠1x11,k2（x2）1x12
tan
|tan（2
1）|
|k2k1|3
1k1k2
选（c）
ktanxe
ktank1xse6x
切线方程为：
y24（x1）即y4x6
2f（x）f（x）
2f3（x）
选（D）limf2（xx）f2（x）阡2^）]
X0x
选（B）f（X）{[f（x）]2}2f（x）f（x）
324
f（x）[2f（x）]23f（x）f（x）23f（x）
设f（n）（x）n!
fn1（x）,则f（n1）（x）（n1）!
fn（x）f（x）（n1）!
fn2（x）f（n）（x）n!
fn1（x）
选（C）limf（x02X）f（x0）佃2心。
2x）f（x。
）2f（x。
x0xx02x
又f（x）（x2）2x,2f（x。
）4x。
f（x）在X
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