高考数学大一轮复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量文.docx

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高考数学大一轮复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量文

压轴题命题区间（三）三角函数与平面向量

三角函数的图象与性质

[典例]　已知函数f（x）＝2sin2－cos2x，x∈．

（1）求f（x）的最大值和最小值；

（2）若不等式－2＜f（x）－m＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　

（1）f（x）＝2sin2－cos2x

＝－cos2x

＝1＋sin2x－cos2x

＝1＋2sin，

因为x∈，

所以≤2x－≤，

故2≤1＋2sin≤3，

所以f（x）max＝f＝3，f（x）min＝f＝2．

（2）因为－2＜f（x）－m＜2⇔f（x）－2＜m＜f（x）＋2，x∈，

所以m＞f（x）max－2且m＜f（x）min＋2．

又x∈时，f（x）max＝3，f（x）min＝2，

所以1＜m＜4，

即m的取值范围是（1,4）．

[方法点拨]

本题求解的关键在于将三角函数f（x）进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f（x）的最值．

[对点演练]

已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0），g（x）＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f（x）的最大值为2g．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设h（x）＝f2（x）＋2cos2x，当x∈时，h（x）的最小值为3，求a的值．

解：

（1）由题意得·π＝2π2，

所以ω＝1．

又A＝2g＝2tan＝2tan＝2，

所以f（x）＝2sin．

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）．

故f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）h（x）＝f2（x）＋2cos2x

＝×4sin2＋2cos2x

＝3＋（cos2x＋1）

＝3＋＋3sin2x＋cos2x

＝3＋＋2sin．

因为h（x）的最小值为3，

令3＋＋2sin＝3⇒sin＝－．

因为x∈，

所以2x＋∈，

所以2a＋＝－，

即a＝－．

三角函数和解三角形

[典例]　已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且＝．

（1）求A的大小；

（2）当a＝时，求b2＋c2的取值范围．

[解]　

（1）已知在△ABC中，＝，

由正弦定理，

得＝，

即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA

＝sin（A＋C）＝sinB，

所以cosA＝，

所以A＝60°．

（2）由正弦定理，

得＝＝＝2，

则b＝2sinB，c＝2sinC，

所以b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C

＝2（1－cos2B＋1－cos2C）

＝2[2－cos2B－cos2（120°－B）]

＝2[2－cos2B－cos（240°－2B）]

＝2

＝4＋2sin（2B－30°）．

因为0°＜B＜120°，

所以－30°＜2B－30°＜210°，

所以－＜sin（2B－30°）≤1，

所以3＜b2＋c2≤6．

即b2＋c2的取值范围是（3,6]．

[方法点拨]

三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．

[对点演练]

已知函数f（x）＝2cos2x－sin．

（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（A）＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．

解：

（1）∵f（x）＝2cos2x－sin

＝（1＋cos2x）－

＝1＋sin2x＋cos2x

＝1＋sin．

∴函数f（x）的最大值为2．

要使f（x）取最大值，

则sin＝1，

∴2x＋＝2kπ＋，k∈Z，

解得x＝kπ＋，k∈Z．

故f（x）取最大值时x的取值集合为

．

（2）由题意知，f（A）＝sin＋1＝，

化简得sin＝．

∵A∈（0，π），

∴2A＋∈，

∴2A＋＝，∴A＝．

在△ABC中，根据余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccos＝（b＋c）2－3bc．

由b＋c＝2，知bc≤2＝1，

当且仅当b＝c＝1时等号成立．

即a2≥1．

∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1．

平面向量

[典例]　若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为（　　）

A．－1　　　　　　B．1

C．D．2

[解析]　法一：

（目标不等式法）

因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，

所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，

故|a＋b|＝．

展开（a－c）·（b－c）≤0，

得a·b－（a＋b）·c＋c2≤0，

即0－（a＋b）·c＋1≤0，

整理，得（a＋b）·c≥1．

而|a＋b－c|2＝（a＋b）2－2（a＋b）·c＋c2

＝3－2（a＋b）·c，

所以3－2（a＋b）·c≤3－2×1＝1．

所以|a＋b－c|2≤1，

即|a＋b－c|≤1，

故|a＋b－c|的最大值为1．

法二：

（基向量法）

取向量a，b作为平面向量的一组基底，

设c＝ma＋nb．

由|c|＝1，即|ma＋nb|＝1，

可得（ma）2＋（nb）2＋2mna·b＝1，

由题意，知|a|＝|b|＝1，a·b＝0．

整理，得m2＋n2＝1．

而a－c＝（1－m）a－nb，b－c＝－ma＋（1－n）b，

故由（a－c）·（b－c）≤0，

得[（1－m）a－nb]·[－ma＋（1－n）b]≤0，

展开，得m（m－1）a2＋n（n－1）b2≤0，

即m2－m＋n2－n≤0，

又m2＋n2＝1，

故m＋n≥1．

而a＋b－c＝（1－m）a＋（1－n）b，

故|a＋b－c|2＝[（1－m）a＋（1－n）b]2

＝（1－m）2a2＋2（1－m）（1－n）a·b＋（1－n）2b2

＝（1－m）2＋（1－n）2

＝m2＋n2－2（m＋n）＋2

＝3－2（m＋n）．

又m＋n≥1，

所以3－2（m＋n）≤1．

故|a＋b－c|2≤1，

即|a＋b－c|≤1．

故|a＋b－c|的最大值为1．

法三：

（坐标法）

因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

所以a，b＝．

设＝a，＝b，＝c，

因为a⊥b，

所以OA⊥OB．

分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图

（1）所示，

则a＝（1,0），b＝（0,1），

则A（1,0），B（0,1）．

设C（x，y），则c＝（x，y），且x2＋y2＝1．

则a－c＝（1－x，－y），

b－c＝（－x,1－y），

故由（a－c）·（b－c）≤0，

得（1－x）×（－x）＋（－y）×（1－y）≤0，

整理，得1－x－y≤0，

即x＋y≥1．

而a＋b－c＝（1－x,1－y），

则|a＋b－c|＝＝．

因为x＋y≥1，所以3－2（x＋y）≤1，

即|a＋b－c|≤1．

所以|a＋b－c|的最大值为1．

法四：

（三角函数法）

因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

所以a，b＝．

设＝a，＝b，＝c，

因为a⊥b，所以OA⊥OB．

分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

如图

（1）所示，

则a＝（1,0），b＝（0,1），A（1,0），B（0,1）．

因为|c|＝1，设∠COA＝θ，

所以C点的坐标为（cosθ，sinθ）．

则a－c＝（1－cosθ，－sinθ），b－c＝（－cosθ，1－sinθ），

故由（a－c）·（b－c）≤0，

得（1－cosθ）×（－cosθ）＋（－sinθ）×（1－sinθ）≤0，

整理，得sinθ＋cosθ≥1．

而a＋b－c＝（1－cosθ，1－sinθ），

则|a＋b－c|＝

＝．

因为sinθ＋cosθ≥1，

所以3－2（sinθ＋cosθ）≤1，

即|a＋b－c|≤1，

所以|a＋b－c|的最大值为1．

法五：

（数形结合法）

设＝a，＝b，＝c，

因为|a|＝|b|＝|c|＝1，

所以点A，B，C在以O为圆心、1为半径的圆上．

易知＝a－c，＝b－c，|c|＝||．

由（a－c）·（b－c）≤0，

可得·≤0，

则≤∠BCA＜π（因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即∠BCA≠π），

故点C在劣弧AB上．

由a·b＝0，得OA⊥OB，

设＝a＋b，如图

（2）所示，

因为a＋b－c＝－＝，

所以|a＋b－c|＝||，

即|a＋b－c|为点D与劣弧AB上一点C的距离，

显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，

即|a＋b－c|的最大值为1．

[答案]　B

[方法点拨]

平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：

（1）利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；

（2）利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．

[对点演练]

1．在△ABD中，AB＝2，AD＝2，E，C分别在线段AD，BD上，且AE＝AD，BC＝BD，·＝，则∠BAD的大小为（　　）

A．B．

C．D．

解析：

选D　依题意，＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋，

＝－＝－，

所以·＝·

＝－||2＋||2－·

＝－×22＋×

（2）2－·＝，

所以·＝－4，

所以cos∠BAD＝＝＝－，

因为0＜∠BAD＜π，

所以∠BAD＝．

2．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

解析：

法一：

（等价转化思想）

因为＝，＝，

＝－＝－＝＝，

＝＋＝＋λ，

＝＋＋＝＋＋

＝＋．

所以·＝（＋λ）·

＝2＋λ2＋·

＝×4＋λ＋×2×1×cos120°

＝＋λ＋≥2＋＝，

当且仅当＝λ，

即λ＝时，·的最小值为．

法二：

（坐标法）

以线段AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则A（－1,0），B（1,0），C，D，

所以＝＋＝＋λ＝，

＝＋＝＋＝，

所以·＝＋×λ

＝＋＋≥＋2＝，

当且仅当＝λ，

即λ＝时，·的最小值为．

答案：

1．（2017·宜春中学与新余一中联考）已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|＋|≥||，那么·的取值范围是（　　）

A．[－2,4）　　　　　　　　　B．（－2,4）

C．（－4,2）D．（－4,2]

解析：

选A　依题意，（＋）2≥（－）2，

化简得·≥－2，

又根据三角形中，两边之差小于第三边，

可得||－||＜||＝|－|，

两边平方可得（||－||）2＜（－）2，

化简可得·＜4，∴－2≤·＜4．

2．（2017·江西赣南五校二模）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为（　　）

A．B．

C．－D．－

解析：

选A　由2＝＋可知O是BC的中点，

即BC为△ABC外接圆的直径，

所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，

故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．

所以向量在方向上的投影为||·cos∠ABC＝1×cos60°＝．故选A．

3．（2017·石家庄质检）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为（　　）

A．[－，1]B．[－1，]