高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案Word文档格式.docx
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．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为
A．130
B．260
c．156
D．168
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于
A．1
B.53
c．2
D．3
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于
B．－1
D.12
4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A．12
B．13
c．14
D．15
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
探究点一 等差数列的基本量运算
例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，
求通项an；
若Sn＝242，求n.
变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.
探究点二 等差数列的判定
例2 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1，数列{bn}满足bn＝1an－1．
求证：
数列{bn}是等差数列；
求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
变式迁移2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1．
求a2，a3的值．
是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？
若存在，求出λ的值；
若不存在，说明理由．
探究点三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
变式迁移3 已知数列{an}是等差数列．
前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；
若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
探究点四 等差数列的综合应用
例4 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
变式迁移4 在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.
求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．
求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
．等差数列的判断方法有：
定义法：
an＋1－an＝d&
#8660;
{an}是等差数列．
中项公式：
2an＋1＝an＋an＋2&
an＝pn＋q&
Sn＝An2＋Bn&
2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．
3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋d，S2n－1＝an等．
4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；
②a－d，a，a＋d；
③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．
一、选择题
．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为
A．5
B．6
c．8
D．10
2．如果等差数列an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝
A．14
B．21
c．28
D．35
3．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是
A．4
B．5
c．6
D．7
4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为
B．15
c．16
D．17
5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是
A．S30是Sn中的最大值
B．S30是Sn中的最小值
c．S30＝0
D．S60＝0
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
8．在数列{an}中，若点在经过点的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.
三、解答题
9．设{an}是一个公差为d的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.
证明：
a1＝d；
求公差d的值和数列{an}的通项公式．
0．已知等差数列{an}满足：
a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
求an及Sn；
令bn＝1a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
1．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0．
证明数列{1an}是等差数列；
求数列{an}的通项；
若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
．2 差 an＋1－an＝d A＝a＋b2 等差中项
2．a1＋d d na1＋n2d n2 3.An2＋Bn 4.am＋an＝ap＋aq am＋an＝2ap 递增数列 递减数列 常数列
．A 2.c 3.A 4.B 5.24
课堂活动区
例1 解题导引 等差数列{an}中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；
由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．
解 由an＝a1＋d，a10＝30，a20＝50，
得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50， 解得a1＝12，d＝2.
所以an＝2n＋10.
由Sn＝na1＋n2d，Sn＝242.
得12n＋n2×
2＝242.
解得n＝11或n＝－22．
变式迁移1 解 由题意，知
S10＝10a1＋10×
92d＝110，2＝a1&
#8226;
，即2a1＋9d＝22，a1d＝d2.
∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n.
例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，即an－an－1＝d，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1．
2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．
通项法：
若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．
前n项和法：
若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式，则{an}为等差数列．
3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．
证明 ∵an＝2－1an－1，bn＝1an－1，
∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1
＝12－1an－1－1－1an－1－1
＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.
又b1＝1a1－1＝－52.
∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．
解 由知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn
＝1＋22n－7，设函数f＝1＋22x－7，
易知f在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；
当n＝4时，an取得最大值3.
变式迁移2 解 ∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
假设存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列．
设bn＝an＋λ2n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3.
∴2×
a2＋λ22＝a1＋λ2＋a3＋λ23.
∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，
解得λ＝－1.
事实上，bn＋1－bn＝an＋1－12n＋1－an－12n
＝12n＋1[＋1]＝12n＋1[＋1]＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{an＋λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列．
例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；
也可用整体思想．
解 方法一 设此等差数列为{an}共n项，
依题意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，①
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146.
②
根据等差数列性质，得
a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an.
将①②两式相加，得＋＋＋＋＝5＝180，
∴a1＋an＝36.
由Sn＝n2＝36n2＝360，得n＝20.
所以该等差数列有20项．
方法二 设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，
则S5＝5a1＋5×
42d＝34，①
Sn－Sn－5＝[nd2＋na1]－[a1＋2d]
＝5a1＋d＝146.②
①②两式相加可得10a1＋5d＝180，
∴a1＋n－12d＝18，
代入Sn＝na1＋n2d
＝na1＋n－12d＝360，
得18n＝360，∴n＝20.
所以该数列的项数为20项．
变式迁移3 解 依题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.
∴a1＋an＝884＝22.
∵Sn＝n2＝286，∴n＝26.
∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
∴S3n＝3＝54.
设项数为2n－1，则奇数项有n项，偶数项有n－1项，中间项为an，则
S奇＝&
n2＝n&
an＝44，
S偶＝&
2＝&
an＝33，
∴nn－1＝43.
∴n＝4，an＝11.
∴数列的中间项为11，项数为7.
例4 解题导引 若{an}是等差数列，
求前n项和的最值时，
若a1&
0，d&
0，且满足an≥0an＋1≤0，前n项和Sn最大；
0，且满足an≤0an＋1≥0，前n项和Sn最小；
除上面方法外，还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n∈N*.
解 方法一 ∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列．
设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝10，S6＝72，
得a1＋2d＝106a1＋15d＝72，∴a1＝2d＝4.
∴an＝4n－2.则bn＝12an－30＝2n－31.
解2n－31≤0，2－31≥0，得292≤n≤312.
∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值.∴S15最小．
可知b1＝－29，d＝2，
∴S15＝15×
2＝－225.
方法二 同方法一求出bn＝2n－31.
∵Sn＝n2＝n2－30n＝2－225，
∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.
变式迁移4 解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，
∴a17＝－12，∴d＝a17－a917－9＝3，
∴an＝a9＋&
d＝3n－63，
an＋1＝3n－60，
令an＝3n－63≤0an＋1＝3n－60≥0，得20≤n≤21，
∴S20＝S21＝－630，
∴n＝20或21时，Sn最小且最小值为－630.
由知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．
当n≤21时，Tn＝－Sn＝－32n2＋1232n.
当n&
21时，Tn＝Sn－2S21＝32n2－1232n＋1260.
综上，Tn＝－32n2＋1232n 32n2－1232n＋1260
.
课后练习区
．A 2.c 3.B 4.c 5.D
6．15 7.10 8.27
9．证明 ∵{an}是等差数列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a22＝a1a4，于是2＝a1，即a21＋2a1d＋d2＝a21＋3a1d．化简得a1＝d.…………………………
解 由条件S10＝110和S10＝10a1＋10×
92d，得到10a1＋45d＝110.
由知，a1＝d，代入上式得55d＝110，
故d＝2，an＝a1＋d＝2n.
因此，数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.…………………………………………
0．解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.…………………………………………………………………………
由于an＝a1＋d，Sn＝n2，
所以an＝2n＋1，Sn＝n．…………………………………………………………
因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n，
因此bn＝14n＝141n－1n＋1.………………………………………………………
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝141－1n＋1＝n4.
所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4.…………………………………………………
1．证明 将3anan－1＋an－an－1＝0整理得1an－1an－1＝3．
所以数列{1an}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………
解 由可得1an＝1＋3＝3n－2，
所以an＝13n－2.……………………………………………………………………………
解 若λan＋1an＋1≥λ对n≥2的整数恒成立，
即λ3n－2＋3n＋1≥λ对n≥2的整数恒成立．
整理得λ≤3………………………………………………………………
令cn＝3
cn＋1－cn＝3n－3＝3n.………………………
因为n≥2，所以cn＋1－cn&
0，
即数列{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2＝283.
所以λ的取值范围为
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