1、已知等差数列an中,a5a9a710,记Sna1a2an,则S13的值为A130B260c156D1682等差数列an的前n项和为Sn,且S36,a34,则公差d等于A1B.53c2D33设Sn是等差数列an的前n项和,若a5a359,则S9S5等于B1D.124若等差数列an的前5项之和S525,且a23,则a7等于A12B13c14D155设等差数列an的前n项和为Sn.若S972,则a2a4a9_.探究点一等差数列的基本量运算例1等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030,a2050,求通项an;若Sn242,求n.变式迁移1设等差数列an的公差为d,它的前10项和S10110,且a
2、1,a2,a4成等比数列,求公差d和通项公式an.探究点二等差数列的判定例2已知数列an中,a135,an21an1,数列bn满足bn1an1求证:数列bn是等差数列;求数列an中的最大值和最小值,并说明理由变式迁移2已知数列an中,a15且an2an12n1求a2,a3的值是否存在实数,使得数列an2n为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由探究点三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34,最后5项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数变式迁移3已知数列an是等差数列前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n;若Sn20,S2n38,求S3n
3、;若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数探究点四等差数列的综合应用例4已知数列an满足2an1anan2,它的前n项和为Sn,且a310,S672.若bn12an30,求数列bn的前n项和的最小值变式迁移4在等差数列an中,a16a17a18a936,其前n项和为Sn.求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值求Tn|a1|a2|an|.等差数列的判断方法有:定义法:an1and⇔an是等差数列中项公式:2an1anan2&anpnq&SnAn2Bn&2对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式,在两个公式中共五个量a1、d、n、an、S
4、n,已知其中三个量可求出剩余的量,而a与d是最基本的,它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式3要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用,如anamd,S2n1an等4在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为a,ad,a2d;ad,a,ad;ad,ad,a3d等可视具体情况而定一、选择题在等差数列an中,a1a910,则a5的值为A5B6c8D102如果等差数列an中,a3a4a512,那么a1a2a7A14B21c28D353已知an是等差数列,a19,S3S7,那么使其前n项和Sn最小的n是A4B5c6D74在等差数列an中,若a4a6a8a10a12120,则a913a11的值
5、为B15c16D175等差数列an的前n项和满足S20S40,下列结论中正确的是AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值cS300DS600题号2345答案二、填空题6设Sn为等差数列an的前n项和,若S33,S624,则a9_.7等差数列an的前n项和为Sn,已知am1am1a2m0,S2m138,则m_.8在数列an中,若点在经过点的定直线l上,则数列an的前9项和S9_.三、解答题9设an是一个公差为d的等差数列,它的前10项和S10110,且a22a1a4.证明:a1d;求公差d的值和数列an的通项公式0已知等差数列an满足:a37,a5a726,an的前n项和为Sn.求an及
6、Sn;令bn1a2n1,求数列bn的前n项和Tn.1在数列an中,a11,3anan1anan10证明数列1an是等差数列;求数列an的通项;若an1an1对任意n2的整数恒成立,求实数的取值范围2差an1andAab2等差中项2a1ddna1n2dn23.An2Bn4.amanapaqaman2ap递增数列递减数列常数列A2.c3.A4.B5.24课堂活动区例1解题导引等差数列an中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用
7、恰当的公式,利用方程组观点求解解由ana1d,a1030,a2050,得方程组a19d30,a119d50,解得a112,d2.所以an2n10.由Snna1n2d,Sn242.得12nn22242.解得n11或n22变式迁移1解由题意,知S1010a11092d110,2a1•,即2a19d22,a1dd2.d0,a1d.解得a1d2,an2n.例2解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用定义,即anan1d,第二种是利用等差中项,即2anan1an12解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即anAnB,则an是等
8、差数列前n项和法:若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式,则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可证明an21an1,bn1an1,当n2时,bnbn11an11an11121an111an11an1an111an111.又b11a1152.数列bn是以52为首项,以1为公差的等差数列解由知,bnn72,则an11bn122n7,设函数f122x7,易知f在区间,72和72,内为减函数当n3时,an取得最小值1;当n4时,an取得最大值3.变式迁移2解a15,a22a122113,a32a223133.假设存在实数,使得数列an2n为等差数列
9、设bnan2n,由bn为等差数列,则有2b2b1b3.2a222a12a323.13252338,解得1.事实上,bn1bnan112n1an12n12n1112n111.综上可知,存在实数1,使得数列an2n为首项为2、公差为1的等差数列例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质:若mnpq,则amanapaq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用;也可用整体思想解方法一设此等差数列为an共n项,依题意有a1a2a3a4a534,anan1an2an3an4146.根据等差数列性质,得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加,得5180,a1
10、an36.由Snn236n2360,得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项,首项为a1,公差为d,则S55a1542d34,SnSn5nd2na1a12d5a1d146.两式相加可得10a15d180,a1n12d18,代入Snna1n2dna1n12d360,得18n360,n20.所以该数列的项数为20项变式迁移3解依题意,知a1a2a3a421,an3an2an1an67,a1a2a3a4an3an2an1an88.a1an88422.Snn2286,n26.Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列,S3n354.设项数为2n1,则奇数项有n项,偶数项有n1项,中间项
11、为an,则S奇&n2n&an44,S偶&2&an33,nn143.n4,an11.数列的中间项为11,项数为7.例4解题导引若an是等差数列,求前n项和的最值时,若a1&0,d&0,且满足an0an10,前n项和Sn最大;0,且满足an0an10,前n项和Sn最小;除上面方法外,还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意nN*.解方法一2an1anan2,an是等差数列设an的首项为a1,公差为d,由a310,S672,得a12d106a115d72,a12d4.an4n2.则bn12an302n31.解2n310,2310,得292n
12、312.nN*,n15.bn前15项为负值.S15最小可知b129,d2,S15152225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn2n230n2225,当n15时,Sn有最小值,且最小值为225.变式迁移4解设等差数列an的首项为a1,公差为d,a16a17a183a1736,a1712,da17a91793,ana9&d3n63,an13n60,令an3n630an13n600,得20n21,S20S21630,n20或21时,Sn最小且最小值为630.由知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数当n21时,TnSn32n21232n.当n&21时,TnSn2S2132n21232
13、n1260.综上,Tn32n21232n32n21232n1260.课后练习区A2.c3.B4.c5.D6157.108.279证明an是等差数列,a2a1d,a4a13d,又a22a1a4,于是2a1,即a212a1dd2a213a1d化简得a1d.解由条件S10110和S1010a11092d,得到10a145d110.由知,a1d,代入上式得55d110,故d2,ana1d2n.因此,数列an的通项公式为an2n,nN*.0解设等差数列an的首项为a1,公差为d,由于a37,a5a726,所以a12d7,2a110d26,解得a13,d2.由于ana1d,Snn2,所以an2n1,Snn因为an2n1,所以a2n14n,因此bn14n141n1n1.故Tnb1b2bn1411212131n1n11411n1n4.所以数列bn的前n项和Tnn4.1证明将3anan1anan10整理得1an1an13所以数列1an为以1为首项,3为公差的等差数列解由可得1an133n2,所以an13n2.解若an1an1对n2的整数恒成立,即3n23n1对n2的整数恒成立整理得3令cn3cn1cn3n33n.因为n2,所以cn1cn&0,即数列cn为单调递增数列,所以c2最小,c2283.所以的取值范围为
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