【解析】 利用特值法,令a=-2,b=2.
则<,A错;<0,B错;a2=b2,C错.
【答案】 D
2.一个等差数列的第5项a5=10,且a1+a2+a3=3,则有( )
A.a1=-2,d=3B.a1=2,d=-3
C.a1=-3,d=2D.a1=3,d=-2
【解析】 ∵a1+a2+a3=3且2a2=a1+a3,
∴a2=1.又∵a5=a2+3d=1+3d=10,d=3.∴a1=a2-d=1-3=-2.
【答案】 A
3.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A.3∶2∶1B.∶2∶1
C.∶∶1D.2∶∶1
【解析】 ∵A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,
∴A=90°,B=60°,C=30°.
∴a∶b∶c=sin90°∶sin60°∶sin30°
=1∶∶=2∶∶1.
【答案】 D
4.在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A.B.C.D.2
【解析】 由题意得,图中阴影部分面积即为所求.B,C两点横坐标分别为-1,.
∴S△ABC=×2×=.
【答案】 B
5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=,b=1,△ABC的面积为,则a的值为( )
A.1B.2C.D.
【解析】 根据S=bcsinA=,可得c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3,故a=.
【答案】 D
6.等差数列的第二,三,六项顺次成等比数列,且该等差数列不是常数数列,则这个等比数列的公比为( )
A.3B.4C.5D.6
【解析】 设等差数列的首项为a1,公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d,
又∵a2·a6=a,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),
∴d=-2a1,∴q==3.
【答案】 A
7.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值为( )
A.0B.-2C.-D.-3
【解析】 x2+ax+1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥-x2-1⇔a≥max,∵x+≥,
∴-≤-,∴a≥-.
【答案】 C
8.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
【解析】 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即a1d=-d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-d2<0.
【答案】 B
9.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是an和an+1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6=( )
A.189B.186C.180D.192
【解析】 由an+1=2an,知{an}为等比数列,
∴an=2n.
∴2bn=2n+2n+1,
即bn=3·2n-1,
∴S6=3·1+3·2+…+3·25=189.
【答案】 A
10.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则( )
A.T>0B.T<0C.T=0D.T≥0
【解析】 法一 取特殊值,a=2,b=c=-1,
则T=-<0,排除A,C,D,可知选B.
法二 由a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负,
不妨设a>0,b<0,c<0,
则T=++===.
∵ab<0,-c2<0,abc>0,故T<0,应选B.
【答案】 B
11.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=( )
A.2B.2C.D.1
【解析】 由正弦定理得:
=,
∵B=2A,a=1,b=,
∴=.
∵A为三角形的内角,∴sinA≠0.
∴cosA=.
又0<A<π,∴A=,∴B=2A=.
∴C=π-A-B=,∴△ABC为直角三角形.
由勾股定理得c==2.
【答案】 B
12.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( )
A.13项B.12项C.11项D.10项
【解析】 设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.所以前三项之积aq3=2,后三项之积aq3n-6=4,两式相乘,得aq3(n-1)=8,即aqn-1=2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以a·q=64,即(aqn-1)n=642,即2n=642,所以n=12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sinC=________.【导学号:
05920086】
【解析】 由三角形的面积公式,得S=AB·BCsin=,易求得AB=1,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos,得AC=,再由三角形的面积公式,得S=AC·BCsinC=,即可得出sinC=.
【答案】
14.若变量x,y满足约束条件则3x+y的最大值是________.
【解析】 画出可行域,如图阴影部分所示,设z=3x+y,则y=-3x+z,平移直线y=-3x知当直线y=-3x+z过点A时,z取得最大值.
由可得A(3,1).故zmax=3×3+1=10.
【答案】 10
15.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,则k的取值范围为________.
【解析】 设产销量为每年x万瓶,则销售收入每年70x万元,从中征收的税金为70x·k%万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16.观察下列等式:
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10,
…
照此规律,第n个等式可为12-22+32-…+(-1)n-1n2=________.
【解析】 分n为奇数、偶数两种情况.
第n个等式为12-22+32-…+(-1)n-1n2.
当n为偶数时,分组求和:
(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-(3+7+11+15+…+2n-1)=-=-.
当n为奇数时,第n个等式为(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2=-+n2=.
综上,第n个等式为
12-22+32-…+(-1)n-1n2
=(-1)n+1.
【答案】 (-1)n+1
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(a2+c2-b2,-a),n=(tanB,c),且m⊥n,求∠B的值.
【解】 由m⊥n得
(a2+c2-b2)·tanB-a·c=0,
即(a2+c2-b2)tanB=ac,得a2+c2-b2=,
所以cosB==,
即tanBcosB=,即sinB=,
所以∠B=或∠B=.
18.(本小题满分12分)在等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,在等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,求b6.【导学号:
05920087】
【解】 ∵S9=-36=9a5,∴a5=-4,
∵S13=-104=13a7,∴a7=-8.
∴b=b5·b7=a5·a7=32.
∴b6=±4.
19.(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).【导学号:
05920088】
【解】 原不等式可化为
ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0.
(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1;
(2)当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0⇒x≥或x≤-1;
(3)当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.
①当>-1,即a<-2时,原不等式等价于-1≤x≤;
②当=-1,即a=-2时,原不等式等价于x=-1;
③当<-1,即-2综上所述:
当a<-2时,原不等式的解集为;
当a=-2时,原不等式的解集为{-1};
当-2当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1];
当a>0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪.
20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=.
(1)求△ABC的周长;
(2)求cosA的值.
【解】
(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4.
∴c=2.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(2)∵cosC=,∴sinC===.
∴sinA===.
∵a∴cosA===.
21.(本小题满分12分)鸡模拟)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:
{an+1+2an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】
(1)证明:
∵an+1=an+6an-1(n≥2),
∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,
∴an+2an-1≠0(n≥2),
∴=3(n≥2),
∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由
(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
则an+1=-2an+5×3n,
∴an+1-3n+1=-2(an-3n).
又∵a1-3=2,∴an-3n≠0,
∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
∴an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).
22.(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品,制造1tA,1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表:
原料
每种产品所需原料(t)
现有原
料数(t)
A
B
甲
2
1
14
乙
1
3
18
利润(万元/t)
5
3
—
(1)在现有原料条件下,生产A,B两种产品各多少时,才能使利润最大?
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时,原最优解不变?
当超出这个范围时,最优解有何变化?
【解】
(1)生产A,B两种产品分别为xt,yt,则利润z=5x+3y,x,y满足作出可行域如图:
当直线5x+3y=z过点B时,z取最大值37,即生产A产品t,B产品t时,可得最大利润.