压缩机的喘振与失速译文第6章文档格式.docx
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φ
υ∂'
=∂由于连续性：
0duddxdy
υ'
+=以及：
20φ∇=（4）
对于波形扰动的势函数能通过下面公式表示：
1（cos（sinny
b
nnnynyatbte
bbπππφ∞
⎛
⎫=+⎪⎝
⎭∑（5）
这个表达式的傅立叶部分包括了在y方向变化的用于规定随时间变化幅度（傅立叶系数的波形方向的三角函数。
指数函数规定了在x轴方向变化的波形扰动。
方程5对方程4的替换表示了定义的势函数是方程4的解。
Emmons假设在入口角变化和失速通道出口处的有效面积变化间的时间延迟。
出口流量系数定义为：
α＝（流通面积）∕（几何面积）（6）
流量系数被假设为随通道入口角度成线性变化。
在稳定流动条件下，入口气流角为10β（＝arctan/UV，且流量系数为00α。
在1β气流角时均衡值为0α。
然而在达到1β气流角时，不需要面积实际有效。
假定在达到1β时0α和实际值α间的流量系数变化率是线性，且如同下式：
0（t
α
γαα∂=-∂（7）随入口角度变化的流量系数的变被假设为：
1100
0001101（tantan（tanddββαααβββ=⎛⎫
∇=+-
⎪⎝⎭
110tantanxyU
UuU
VV
V
φφββυ-
+-=
-='
+当yVυφ'
>
=且1/（tanddαβα'
=时：
000xyUV
φφααα-
=+（8）将方程8代入方程7中得到：
00（xyUtVVααγαφφα'
∂⎡⎤
=+--⎢⎥∂⎣⎦
（9）根据速度势通过从连续性和α的定义阐明的表达式的替换能表示方程9。
满
足横向叶栅的连续性给出了：
**111（sinsinEEEAUuAVAVAβαβαω'
+===其中*
sinEVωβ=xUφαω+=
xtt
φα
ω∂∂=∂∂
方程9然后变为：
002
1（xxyUUtVVφωααγωγφφγωα'
∂⎛⎫
=--+-⎪∂⎝⎭
（9a）
从连续性：
**
11（sinsinEEEAUuAVAVβαβ'
+==
*
sinEUuVαβ'
+=
由于稳定运行，0u'
=，且Emmons定义00αα=。
因此：
00*
sinEU
Vαβ
（9b）且方程9a变为：
2
1xxyUtVVφωαγωαγφφ'
=--⎪∂⎝⎭
（10）具有这样的形式：
xxyBCt
φφ∂=-∂（11）
其中：
1BVωαγ'
⎛⎫
=-⎪⎝⎭
U
CV
αγω'
方程5代入到11中并且收集正弦和余弦函数的系数给出两种常微分方程：
n
nnn
nndaBaCbdt
dbBbCadt
=-=+（12）
这将一直到Emmons执行完分析。
他指出通过这些方程描述的振荡运动增加或衰减分别取决于当0B>
或0B<
的情况。
为了表示这一点，方程能根据na或nb进行解答。
方程12的算子符号表示为：
（0nnDBaCb-+=
（0nnDBbCa--=应用算子1
（DBC
-到第二个方程，并且在其中加入第一个方程则能给出：
22（0nnDBbCb-+=
假设解的形式为tnnbKeλ=，特征方程为：
22（0BCλ-+=特征方程的根为：
BiCλ=±
因此通解为：
（（1212（BiCtBiCtBtiCiCnnnnnbKeKeeKeKe+-+-=+=+
如果B是正值，运动将随时间增加。
如果B是负值，运动将衰减。
如果B是零：
iCλ=±
通解为：
12cossinnnnbKCtKCt=+（14）传播速度为：
C=
（15）
振荡运动的判断条件为：
10BVωαγ'
=-=⎪⎝⎭
因此，从方程9b和稳定气流入口角10β的使用得到：
00**10
sinsintanEEVVU
VUVααβββ'
==
（16）对于不稳定运动，例如在振荡运动增加的例子中：
00
10
tanααβ'
这意味着不稳定性将被期望发生在沿着α与10tanβ比值的斜率上。
Emmons（1955的文献表示在5种不同叶栅安装角的特殊级联式机组的失速数据内是呈线性关系；
图形表示在图6.2中。
Stenning理论－因为在叶排出口的阻塞被假设为入口气流角的函数，所以由Stenning等人（1955文献中假设的流动模型类似于Emmons的流动模型。
然而代替使用表达式，可根据如同Emmons
所取的速度势对出口流量系数的变化率来建
立运动方程，Stenning通过应用叶片排通道内的动量方程发展了运动方程。
他然后根据边界层的响应时间假设数学模型，并且在有和没有延时模型内形成了运动方程。
在这之后，他获得在有和无时间延迟的传播速度的表达式。
另外，他使用了不定常的入口速度势。
非稳定速度势能从非稳态欧拉方程中获得。
非粘滞、非稳态流动的运动方程是（使用图6.3和附录6－1的符号：
21
2cccxxcptρ⎛⎫∂+∇-∇=-∇⎪∂⎝⎭（17）
对于不可压缩流体的无旋运动：
202c
cptρ⎛⎫∂+∇+=⎪∂⎝⎭
（18）
因为是无旋流动，所以存在如下的速度势：
c∇Φ=（19）
使用连续性方程给出方程4。
方程通过分离变量法求解，因此：
ttt∂∂Φ⎛⎫
∇Φ=∇=∇Φ⎪∂∂⎝⎭
（20）将方程20代入方程18中，给出：
202tcpρ⎛⎫
∇Φ++=⎪⎝
⎭
这给出了非稳定流动的欧拉方程：
22tcp
ρΦ++=constant（21）
由于自定常流动的小扰动：
0tp
ccδϕδρ
++
=（22）在图6.3的叶栅入口处，1－3的距离假设为非常小，如下：
13
tt
ϕϕ=
且：
22
11331113332cpcpccpccpρρδδρδδρ⎫
+=+⎬+=+⎭
（23）在定子1处，方程22为：
（133310ccpϕδδρ++=（24）
运动方程从应用通道内的动量方程发展得到。
在定子3和2间的流体运动被考虑成一维，并且在l方向的动量方程是：
（0ctcctptρ∂∂+∂∂+∂∂=
方程结合了从3到2的相关的l。
同时也假定在3与2间时3cc=，并且从3c到2c的变化发生在通道出口的小段距离上：
22
3232320Lctccppρρ∂∂+-+-=由于根据稳定流动的小扰动并且假设2ρ不变化：
322333（0Lctccccpδδδδρ∂∂+--=（25）消除方程24和25间的333（ccpδδρ+，给出：
3122（
（0tcLcct
δϕδ∂++=∂（26）根据连续性：
3322AcAc=由于小扰动：
332222AcAccAδδδ=+
在出口时，速度和流通面积上存在有小扰动。
对2cδ求解给出：
3223222
AAcccAAδδδ=
-并且：
2
2332
22333222AAAcccccAAAδδδ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（27）
同时根据叶栅入口表面上的连续性，在附录6－1中的符号为：
32cosucβ=
而且，在附录6－1的符号上，方程1和2变为：
xxucϕ=+yycυϕ=+所以因此：
32cosxucδϕδβ==
将3c和3cδ代入到方程27中，并且忽略小的数字乘积，给出：
332
2222
22222
coscosxxxAcAcAccAAAϕδδββ⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭将这个方程代入到方程26中，给出在定子1叶栅入口处的如下方程：
2222222222
0coscoscosxxxtxtccAL
Aϕδϕϕβαβαβ++-=（28）
出口面积扰动与出口面积的比率能根据出口流量系数α写出：
12
11（cot（cotAduAdδδαααδβδααβαυ'
⎛⎫=
==⎪⎝⎭
其中1（cotddα
αβ'
1
cotxyy
cϕϕβαα-'
将最后一个表达式代入到方程28中，给出：
11
22322222cotcot10coscoscosxx
txtxycL
cϕαβαβϕϕϕβαβααβ'
⎡⎤+
+-+=⎢⎥⎣
⎦（29）将方程5代入到方程29中，并集中正弦和余弦函数的系数对傅立叶系数给出两个常微分方程：
211223
222
11223
22（cotcotcos10coscos（cotcotcos10coscosxxnnxxnnccLnnnDabbbbccLnnnDbabbbβααβπ
ππβαβααββααβπππβαβααβ'
⎡⎤⎡⎤'
⎛⎫⎛⎫
++-+=⎢⎥⎢⎥
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤'
⎛⎫⎛⎫++--=⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
（30）
这些方程具有符号算子的形式为：
（1230nnADAaAb++=（31a）
（1230nnADAbAa+-=（31b）
12cosLnAb
π
β=+（32a）122
2cot1cosxcnAbαβπαβα'
-⎪⎝⎭
（32b）21
33
2cotcosxcnAbαβπαβ'
=（32c）应用算子
123
（ADAA+到方程31b中，并把方程31a加入其中，给出：
123（0nnADAbAb++=（33）假设解的形式为ntnnbBeλ=，ntnnaAeλ=，然后特征方程变为：
123（0nAAAλ++=特征方程的根为：
32
11
nAAiAAλ=-
±
而且把解代入到方程33中，得到：
21331211cossinAtAnnnAAbe
BtBtAA⎛⎫-⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭如果2A为负值，运动放大；
如果2A为正值，运动衰减。
如果20A=，运动为振
荡的，因此：
3
nAiAλ=±
对于nb的解为：
12cossinnnnnnbBtBtλλ=+（34）其中：
1222cotcoscosx
nncLnbπ
βλπαββ=⎛⎫
+⎪
⎝⎭
（35）这是在弧度每秒上波传播的频率。
波的传播速度通过均分周期（或乘以频率）内
的波长获得。
如果假设基本波长2b是有n个谐波构成，第n谐波的波长为2bn。
波形的周期频率是通过均分2π获得。
第n谐波的传播速度为：
22222cotcoscosnpnpn
x
bVn
VLncbλπβπαββ=
=⎛⎫
（36）方程36表示在固定其他参数值时，当入口气流角增加时，单元传播速度减小；
且当出口气流角和出口阻塞增加时，传播速度增加。
单元尺寸的增加将使传播速度增加。
方程同时也表示高次谐波的传播比基波的要快。
Stenning陈述了这和试验不一致，然而在图2.75和5.14中的图形暗示了谐波持续在失速单元内。
在图2.75上，基频谐波的存在将解释单元位置的不稳定，单元的宽度以及暂时出现的新单元。
图5.14表示了在失速单元内的中间波峰，这表明谐波的存在。
根据叶栅静压增量能用公式表示方程36，在叶栅数据中静压增量是比α更为有效的参数。
为了达到这点，Stenning重新定义α为在叶栅出口的时间质量流量与理想质量流量的比值，这就具有出口静压而不是进口总压。
理想流量假设为通过叶栅时总压没有损失。
012actualmassflow
idealmassflowforsameppα=
-
满足越过叶栅入口和出口表面的连续性，对不可压缩流体给出：
（11
noloss2012coscoscos2coscccppββαββρ=
-⎢⎥
⎣⎦
由于没有损失时存在0201pp=：
（（{}11
201121cos2coscppppβαβρ=
---⎢⎥
（
（
22221
coscoscos1cosppcCcCc
ββαββ=
--（37）
（212
2pppC-=
将方程37代入36中，给出：
（1221cos21cosppnx
CVcLnbπββ-=
（38）
时间延迟的效应－对于包括边界层延时的效应，Stenning假设如同图6.4
中所示α的变化指数地滞后于1β的变化。
在1β上单增量变化被假设为如下面在
α中的变化：
（（1tsseδαδα-=-（39）这里（ssδα是与入口气流角不连续变化对应的α内的稳态变化，且τ为延时边界
层的时间常数。
当失速单元通过叶片横截面时，入口气流角是连续的变化。
随时间变化的δα为：
（（tsssset
δατδαδαδα-∂==-∂（40）求解δα并使用算子符号：
1（（cot11
ssDDδααδβδαττ'
==++（41）
对于稳态条件有：
111（（cot（cot（cot
ssddα
δαδβαδββ'
作为在稳定状态的例子，假设在方程28中有：
AAδδαα
使用方程41给出：
1cot（cot11（1
xyyDcDϕϕβαδβδαααατατ-'
++（42）将其代入到方程28中，给出：
2222222cot0coscoscos（1
xyxxxttxtyccLcDϕϕβϕατϕϕβαβαβατ-'
++-=+
用（1Dτ+相乘，并应用算子给出：
223222
coscoscoscotcot10coscosx
ttxtttxt
xxxycL
Lccττϕϕϕϕββαβϕαβαβϕαβααβ⎡⎤+
+++⎢⎥⎣⎦
⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦（43）
将如同方程5定义的ϕ微分介入到方程43中，并分离傅立叶级数中正弦和余弦函数的系数将在na和nb上产生两组二阶常微分方程。
再次假设解的形式为：
ntnnaAeλ=，ntnnbBeλ=于是特征方程为：
（222
12340nnAAAAλλ+++=（44）
121cosLnAbπτβ⎡⎤
=+⎢⎥⎣⎦（45a）
22222coscosxc
LnAbτπβαβ⎡⎤=+⎢⎥
⎣⎦（45b）13222cot1cosxcnAbπαβαβα'
-⎢⎥⎣
⎦（45c）21
4322
cotcosxcnAbαπβαβ'
=（45d）
对于无阻尼振荡运动，两根必须是：
nniλω=±
（46）将正根代入到方程44中，给出：
12340n
nAAiAAωω-+++=将负根代入，则给出：
12340nnAAiAAωω--++=
将一个减轻另外一个，且因式分解得到：
312（40nnAAAiωω-=
为了满足这个方程，适合的非零值2A以及nω为：
31nAAω=
将上述方程代入到方程46中，且将
λ代入方程44中给出其他两个系数的关系：
3
134
A
AiAAA
⎧⎫
⎪⎪
-++=
⎨⎬
⎪
⎩⎭
24
AA
-+=
34
ω
（47）方程47表示的关系一定存在与无阻尼振荡运动的四个系数之间。
方程46和47涉及的根能被用于形成方程44的一个因子。
通过这个因子来划分方程44：
42
λ⎡⎤
+
给出：
2242
121
20
nn
AAA
λλ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这个方程的根为：
i
λ==-±
因为这些根是稳定的，所以
AA一定是正值。
因此，
A和
A都是正值或者都是
负值。
由于在方程47中实际的频率值，所以
A都是正值或者都是负值。
因
此
A、
A必须都是正值或者都是负值。
如果频率是具有正号，那么如同其
他系数一样
4
A具有相同的符号。
因此方程44的系数必须都是正值或者都是负值。
Stenning采用了所有系数都为正值的实际例子。
然后根据方程47中对于边界层响应时间延迟的例子在弧度每秒内的振荡频率为：
cot
cos
coscos
c
nL
βα
αβ
τ
βαβ
⎢⎥
（48）由于0
τ=时，方程48产生如同方程35相同的结果。
这能显示在代数操作和检索过程中，由于没有在时间延迟内的振荡运动，方程32必须为零，则：
作为考虑到时间延迟时对于振荡运动，这不是个要求。
然后由于方程45c将为零，且根据方程47，频率将为零。
实际上如果所有的系数为正值，那么对于方程45c
也是正值：
cot1αβα
因此方程48的分子比方程35的小。
随着方程48的分母（由于时间延迟期限增加而耦合，这表示边界层延时具有减少失速单元传播速度的效应。
方程47能用来决定波长。
将方程45a－d代入到方程47中，给出：
2112232222
22222cotcot1coscos11coscoscosxxxccnnbbnLcnLbbαβαβππαβααβπτπτββαβ'
⎛⎫-⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦（49）这能重新改写为：
12224
14222
222cot11coscot1coscoscosxx
nnLbbccnLbππαββαταβτπαββαβ⎡⎤'
⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦='
⎡⎤⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎣
⎦（50）TERMATERMC
当1β变化时根据气动状态能计算TermA。
当失速开始时，由于termC等于termA，决定波长值的要求是可能的。
TermC具有有限范围的值。
当b→∞时，termC0→。
方程50能被改写为：
22cosTERMCcoscosx
LbcLbππβτπβαβ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
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