压缩机的喘振与失速译文第6章文档格式.docx

1、= 由于连续性：0du d dx dy+= 以及： 20= （4）对于波形扰动的势函数能通过下面公式表示：1（cos （sin n ybn n n y n y a t b t eb b =+ （5）这个表达式的傅立叶部分包括了在y 方向变化的用于规定随时间变化幅度（傅立叶系数 的波形方向的三角函数。指数函数规定了在x 轴方向变化的波形扰动。方程5对方程4的替换表示了定义的势函数是方程4的解。Emmons 假设在入口角变化和失速通道出口处的有效面积变化间的时间延迟。出口流量系数定义为：（流通面积）（几何面积） （6）流量系数被假设为随通道入口角度成线性变化。在稳定流动条件下，入口气流角为10（a

2、rctan /U V ，且流量系数为00。在1气流角时均衡值为0。然而在达到1 气流角时，不需要面积实际有效。假定在达到1时0和实际值间的流量系数变化率是线性，且如同下式：0（ t=- （7） 随入口角度变化的流量系数的变被假设为：11000001101（tantan （tan d d =+-110tan tan x y UU u UV VV-+-=-=+ 当y V =且1/（tan d d =时：000x y U V-=+ （8） 将方程8代入方程7中得到：00（ x y U t V V =+-（9） 根据速度势通过从连续性和的定义阐明的表达式的替换能表示方程9。满足横向叶栅的连续性给出了：

3、*111（ sin sin E E E A U u A V AV A += 其中*sin E V = x U +=x t t=方程9然后变为：0021（ x x y U U t V V =-+- （9a ）从连续性：*11（ sin sin E E E A U u A V AV +=*sin E U u V +=由于稳定运行，0u =，且Emmons 定义00=。因此： 00*sin E UV （9b ） 且方程9a 变为：21x x y U t V V =- （10） 具有这样的形式： x x y B C t=- （11）其中：1B V =- UC V方程5代入到11中并且收集正弦和余弦函数

4、的系数给出两种常微分方程：nn n nn n da Ba Cb dtdb Bb Ca dt=-=+ （12）这将一直到Emmons 执行完分析。他指出通过这些方程描述的振荡运动增加或衰减分别取决于当0B 或0B 的情况。为了表示这一点，方程能根据n a 或n b 进行解答。方程12的算子符号表示为：（ 0n n D B a Cb -+=（ 0n n D B b Ca -= 应用算子1（ D B C-到第二个方程，并且在其中加入第一个方程则能给出：22（ 0n n D B b C b -+=假设解的形式为t n n b K e =，特征方程为： 22（ 0B C -+= 特征方程的根为： B i

5、C = 因此通解为：（ （ 1212（ B iC t B iC t Bt iC iC n n n n n b K e K e e K e K e +-+-=+=+如果B 是正值，运动将随时间增加。如果B 是负值，运动将衰减。如果B 是零： iC = 通解为：12cos sin n n n b K Ct K Ct =+ （14） 传播速度为：C =（15）振荡运动的判断条件为：10B V =-= 因此，从方程9b 和稳定气流入口角10的使用得到： 00*10sin sin tan E E V VUV UV =（16） 对于不稳定运动，例如在振荡运动增加的例子中： 0010tan 这意味着不稳定性

6、将被期望发生在沿着与10tan 比值的斜率上。Emmons（1955的文献表示在5种不同叶栅安装角的特殊级联式机组的失速数据内是呈线性关系；图形表示在图6.2中。Stenning 理论因为在叶排出口的阻塞被假设为入口气流角的函数，所以由Stenning 等人（1955文献中假设的流动模型类似于 Emmons的流动模型。然而代替使用表达式，可根据如同Emmons所取的速度势对出口流量系数的变化率来建立运动方程，Stenning 通过应用叶片排通道内的动量方程发展了运动方程。他然后根据边界层的响应时间假设数学模型，并且在有和没有延时模型内形成了运动方程。在这之后，他获得在有和无时间延迟的传播速度的

7、表达式。另外，他使用了不定常的入口速度势。非稳定速度势能从非稳态欧拉方程中获得。非粘滞、非稳态流动的运动方程是（使用图6.3和附录61的符号 ：212c c cx xc p t +-=- （17）对于不可压缩流体的无旋运动：202cc p t += （18）因为是无旋流动，所以存在如下的速度势：c = （19）使用连续性方程给出方程4。方程通过分离变量法求解，因此：t t t = （20） 将方程20代入方程18中，给出：202t c p += 这给出了非稳定流动的欧拉方程：22t c p+= constant （21）由于自定常流动的小扰动： 0t pc c += （22） 在图6.3的叶栅

8、入口处，13的距离假设为非常小，如下： 13t t=且： 2211331113332c p c p c c p c c p +=+=+（23） 在定子1处，方程22为：（133310c c p += （24）运动方程从应用通道内的动量方程发展得到。在定子3和2间的流体运动被考虑成一维，并且在l 方向的动量方程是： （0c t c c t p t +=方程结合了从3到2的相关的l 。同时也假定在3与2间时3c c =，并且从3c 到2c 的变化发生在通道出口的小段距离上：223232320L c t c c p p +-+-= 由于根据稳定流动的小扰动并且假设2不变化：322333（ 0L c

9、t c c c c p +-= （25） 消除方程24和25间的333（ c c p +，给出：3122（ 0t c L c c t+= （26） 根据连续性：3322A c A c = 由于小扰动：332222A c A c c A =+在出口时，速度和流通面积上存在有小扰动。对2c 求解给出： 3223222A A c c c A A =- 并且： 2233222333222A A A c c c c c A A A =- （27）同时根据叶栅入口表面上的连续性，在附录61中的符号为：32cos u c =而且，在附录61的符号上，方程1和2变为：x x u c =+ y y c =+ 所

10、以因此：32cos x u c =将3c 和3c 代入到方程27中，并且忽略小的数字乘积，给出：332222222222cos cos x x x A c A c A c c A A A =- 将这个方程代入到方程26中，给出在定子1叶栅入口处的如下方程：22222222220cos cos cos x x x t xt c c A LA +-= （28）出口面积扰动与出口面积的比率能根据出口流量系数写出：1211（cot （cot A d u A d = 其中1（cot d d 1cot x y yc -将最后一个表达式代入到方程28中，给出： 1122322222cot cot 10cos

11、 cos cos x xt xt x y c Lc +-+= （29） 将方程5代入到方程29中，并集中正弦和余弦函数的系数对傅立叶系数给出两个常微分方程：2112232221122322（cot cot cos 10cos cos （cot cot cos 10cos cos x x n n x x n n c c Ln n n D a b b b b c c Ln n n D b a b b b +-+= +-= （30）这些方程具有符号算子的形式为：（1230n n A D A a A b += （31a ）（1230n n A D A b A a +-= （31b ） 12cos Ln

12、 A b=+ （32a ） 1222cot 1cos x c n A b - （32b ） 21332cot cos x c n A b = （32c ） 应用算子123（ A D A A +到方程31b 中，并把方程31a 加入其中，给出：123（ 0n n A D A b A b += （33） 假设解的形式为n t n n b B e =，n t n n a A e =，然后特征方程变为：123（ 0n A A A += 特征方程的根为：3211n A A i A A =- 而且把解代入到方程33中，得到： 21331211cos sin A t A n n n A A b eB t B

13、 t A A - =+ 如果2A 为负值，运动放大；如果2A 为正值，运动衰减。如果20A =，运动为振荡的，因此： 3n A i A =对于n b 的解为：12cos sin n n n n n b B t B t =+ （34） 其中：1222cot cos cos xn n c Ln b =+ （35） 这是在弧度每秒上波传播的频率。波的传播速度通过均分周期（或乘以频率）内的波长获得。如果假设基本波长2b 是有n 个谐波构成，第n 谐波的波长为2b n 。波形的周期频率是通过均分2获得。第n 谐波的传播速度为：22222cot cos cos n pn pnxb V nV Ln c b

14、=（36） 方程36表示在固定其他参数值时，当入口气流角增加时，单元传播速度减小；且当出口气流角和出口阻塞增加时，传播速度增加。单元尺寸的增加将使传播速度增加。方程同时也表示高次谐波的传播比基波的要快。Stenning 陈述了这和试验不一致，然而在图2.75和5.14中的图形暗示了谐波持续在失速单元内。在图2.75上，基频谐波的存在将解释单元位置的不稳定，单元的宽度以及暂时出现的新单元。图5.14表示了在失速单元内的中间波峰，这表明谐波的存在。根据叶栅静压增量能用公式表示方程36，在叶栅数据中静压增量是比更为有效的参数。为了达到这点，Stenning 重新定义为在叶栅出口的时间质量流量与理想质

15、量流量的比值，这就具有出口静压而不是进口总压。理想流量假设为通过叶栅时总压没有损失。 012actual mass flowideal mass flow for samep p =-满足越过叶栅入口和出口表面的连续性，对不可压缩流体给出： （11no loss2012cos cos cos 2cos c c c p p =-由于没有损失时存在0201p p =： （11201121cos 2cos c p p p p =- （22221cos cos cos 1cos p p c C c C c=- （37） （2122p p p C -=将方程37代入36中，给出：（1221cos 21c

16、os p pn xC V c Ln b -=（38）时间延迟的效应对于包括边界层延时的效应，Stenning 假设如同图6.4中所示的变化指数地滞后于1的变化。在1上单增量变化被假设为如下面在中的变化：（ （1 t ss e -=- （39） 这里（ ss 是与入口气流角不连续变化对应的内的稳态变化，且为延时边界层的时间常数。当失速单元通过叶片横截面时，入口气流角是连续的变化。随时间变化的为：（ （ t ss ss e t-=- （40） 求解并使用算子符号：1（ （cot 11ss D D =+ （41）对于稳态条件有： 111（ （cot （cot （cotss d d 作为在稳定状态的例

17、子，假设在方程28中有：A A 使用方程41给出：1cot （cot 11（1x y y D c D -+ （42） 将其代入到方程28中，给出：2222222cot 0cos cos cos （1x y x x x tt xt y c c L c D -+-=+用（1 D +相乘，并应用算子给出：223222cos cos cos cot cot 10cos cos xtt xtt t xtx x x y c LL c c +-+= （43）将如同方程5定义的微分介入到方程43中，并分离傅立叶级数中正弦和余弦函数的系数将在n a 和n b 上产生两组二阶常微分方程。再次假设解的形式为： n

18、t n n a A e =，n t n n b B e = 于是特征方程为：（22212340n n A A A A += （44）121cos Ln A b =+ （45a ）22222cos cos x cL n A b =+ （45b ） 13222cot 1cos x c n A b - （45c ） 214322cot cos x c n A b = （45d ）对于无阻尼振荡运动，两根必须是：n n i = （46） 将正根代入到方程44中，给出：12340nn A A i A A -+= 将负根代入，则给出：12340n n A A i A A -+=将一个减轻另外一个，且因式分

19、解得到：312（40n n A A A i -=为了满足这个方程，适合的非零值2A 以及n 为：31n A A =将上述方程代入到方程46中，且将代入方程44中给出其他两个系数的关系：3134AA iA A A-+=24A A-+=34（47）方程47表示的关系一定存在与无阻尼振荡运动的四个系数之间。方程46和47涉及的根能被用于形成方程44的一个因子。通过这个因子来划分方程44：42+给出：224212120n nA A A+= 这个方程的根为：i=-因为这些根是稳定的，所以A A 一定是正值。因此，A 和A 都是正值或者都是负值。由于在方程47中实际的频率值，所以A 都是正值或者都是负值。

20、因此A 、A 必须都是正值或者都是负值。如果频率是具有正号，那么如同其他系数一样4A 具有相同的符号。因此方程44的系数必须都是正值或者都是负值。Stenning 采用了所有系数都为正值的实际例子。然后根据方程47中对于边界层响应时间延迟的例子在弧度每秒内的振荡频率为：cotcoscos coscn L（48）由于0=时，方程48产生如同方程35相同的结果。这能显示在代数操作和检索过程中，由于没有在时间延迟内的振荡运动，方程32必须为零，则：作为考虑到时间延迟时对于振荡运动，这不是个要求。然后由于方程45c 将为零，且根据方程47，频率将为零。实际上如果所有的系数为正值，那么对于方程45c也是

21、正值：cot 1 因此方程48的分子比方程35的小。随着方程48的分母（由于时间延迟期限 增加而耦合，这表示边界层延时具有减少失速单元传播速度的效应。 方程47能用来决定波长。将方程45a d 代入到方程47中，给出：211223222222222cot cot 1cos cos 11cos cos cos x x x c c n n b b n L c n L b b - =+ （49） 这能重新改写为：1222414222222cot 11cos cot 1cos cos cos x xn n L b b c c n L b +-=+ （50） TERM A TERM C当1变化时根据气动状态能计算Term A。当失速开始时，由于term C等于term A，决定波长值的要求是可能的。Term C具有有限范围的值。当b 时，term C0。方程50能被改写为：22cos TERM Ccos cos xL b c L b +