《2623求二次函数的表达式》同步练习含答案解析.docx
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《2623求二次函数的表达式》同步练习含答案解析
26.2.3 求二次函数的表达式
知识点1 一般式——已知抛物线上三个一般点的坐标
1．经过点（－3，1），（1，1）和（0，－2）的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝x2＋2x－2B．y＝x2－2x－2
C．y＝x2－2x＋2D．y＝－x2－x＋
2．已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读下面的表格信息，由此可知y与x之间的函数关系式是________．
x
-1
1
y
0
2
3.若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，12），（0，5）和（2，－3），则a＋b＋c的值为________．
4．教材例7变式2018·普陀区一模已知一个二次函数的图象经过A（0，－3），B（1，0），C（m，2m＋3），D（－1，－2）四点，求这个函数的表达式以及点C的坐标．
知识点2 顶点式——已知抛物线的顶点坐标或对称轴
5．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－39所示，则此抛物线所对应的二次函数表达式为（ ）
图26－2－39
A．y＝－x2＋4x＋20
B．y＝－x2－4x＋20
C．y＝－x2＋4x＋12
D．y＝－x2＋4x－12
6．若当x＝1时，某二次函数有最大值5，且该二次函数的图象与y轴交于点（0，2），则其表达式为__________________．
7．已知一个二次函数的图象的顶点坐标为（－1，2），且过点（1，－3）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出该抛物线的开口方向、对称轴．
知识点3 两点式——已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标
8．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－40所示，则b＋c的值等于（ ）
图26－2－40
A．8 B．9
C．10 D．11
9．已知某二次函数的图象经过点A（1，0），B（2，0）和C（3，4），求该二次函数的表达式．
10．已知某二次函数的图象如图26－2－41所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
图26－2－41
A．y＝－3（x－1）2＋3
B．y＝3（x－1）2＋3
C．y＝－3（x＋1）2＋3
D．y＝3（x＋1）2＋3
11．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为（－2，1），则该抛物线的函数关系式为（ ）
A．y＝（x－2）2＋1B．y＝（x＋2）2－1
C．y＝（x＋2）2＋1D．y＝－（x＋2）2＋1
12．2017·古冶区期中已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－3，－3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2＋2xB．y＝－x2＋2x
C．y＝x2－2xD．y＝－x2－2x
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点（－2，－2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为__________________________．
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－
－1
－
0
1
…
y
…
－
－2
－
－2
－
0
…
则该二次函数的表达式为______________．
15．如图26－2－42，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2），△AOB的面积是2.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A，O，B的抛物线所对应的函数表达式．
图26－2－42
16．2018·杭州已知二次函数y＝ax2＋bx－（a＋b）（a，b是常数，a≠0）．
（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数图象经过A（－1，4），B（0，－1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
（3）若a＋b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：
a＞0.
17．如图26－2－43，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（－，0），B（0，－3）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D.
（1）求此抛物线所对应的函数表达式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连结BC，求证：
BC＝DC.
图26－2－43
详解详析
1．A
2．y＝x2＋x [解析]把x＝－1，y＝0和x＝1，y＝2代入y＝ax2＋bx，得解得a＝1，b＝1，
所以y与x之间的函数关系式为y＝x2＋x.
3．0 [解析]由题意得c＝5，所以抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋5，把点（－1，12）和（2，－3）的坐标分别代入得
解得所以a＋b＋c＝1－6＋5＝0.
4．解：
设这个函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A（0，－3），B（1，0），D（－1，－2）的坐标代入，得
解得
∴这个函数的表达式为y＝2x2＋x－3.
∵点C（m，2m＋3）在抛物线上，∴2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2.
当m＝－时，2m＋3＝0；当m＝2时，2m＋3＝7，
∴点C的坐标为或（2，7）．
5．C [解析]由解得故所求的函数表达式为y＝－x2＋4x＋12.故选C.
6．y＝－3x2＋6x＋2 [解析]由题意设该二次函数的表达式为y＝a（x－1）2＋5，又∵该二次函数的图象与y轴交于点（0，2），将（0，2）代入函数表达式得2＝a＋5，∴a＝－3，∴所求的二次函数的表达式为y＝－3（x－1）2＋5，即y＝－3x2＋6x＋2.
7．解：
（1）设函数关系式为y＝a（x－h）2＋k，把顶点（－1，2）和点（1，－3）的坐标代入关系式，得a＝－，h＝－1，k＝2，所以这个二次函数的关系式为y＝－（x＋1）2＋2.
（2）由
（1）的函数关系式可得：
抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.
8．B [解析]由图象可知，抛物线与x轴交于点（－1，0）和（5，0），所以
解得则b＋c＝9.
9．解：
因为A，B两点是二次函数的图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a（x－1）（x－2），将点C（3，4）的坐标代入，得（3－1）（3－2）a＝4，解得a＝2，所以该二次函数的表达式为y＝2（x－1）（x－2）＝2x2－6x＋4.
10．A [解析]由图象知，抛物线的顶点坐标是（1，3），所以可设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋3.因为抛物线经过点（0，0），所以a＝－3，即y＝－3（x－1）2＋3.故选A.
11．C [解析]已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y＝a（x－h）2＋k，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，所以a＝，所以该抛物线的函数关系式是y＝（x＋2）2＋1.
12．A [解析]∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－3，－3），且该抛物线的对称轴经过点A，
∴该抛物线的顶点坐标是（－3，－3），
∴解得，∴该抛物线的表达式为y＝x2＋2x.故选A.
13．y＝x2＋2x或y＝－x2＋x
[解析]∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点的坐标为（－4，0）或（4，0）．
①当这个交点的坐标为（－4，0）时，
解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x；
②当这个交点的坐标为（4，0）时，
解得
∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x.
故这个二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝－x2＋x.
14．y＝x2＋x－2
[解析]由表格可知该二次函数的图象的顶点坐标为，所以可设其表达式为y＝a2－，再任选一组x，y的值代入，求出字母a的值即可，如把代入，得－＝a－，解得a＝1，所以该二次函数的表达式为y＝－，即y＝x2＋x－2；或设其表达式为y＝ax2＋bx＋c，再选取三组x，y的值代入，也可以求得结果为y＝x2＋x－2.
15．解：
（1）由题意得×2OB＝2，∴OB＝2，
∴点B的坐标为（－2，0）．
（2）设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax，将（1，2）代入，得a×1×（1＋2）＝2，解得a＝，故抛物线所对应的函数表达式为y＝x（x＋2），即y＝x2＋x.
16．解：
（1）∵b2－4·a[－（a＋b）]＝b2＋4ab＋4a2＝（2a＋b）2≥0，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数为两个或一个．
（2）当x＝1时，y＝a＋b－（a＋b）＝0≠1，
∴二次函数图象不经过点C.
把点A（－1，4），B（0，－1）的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.
（3）证明：
当x＝2时，
m＝4a＋2b－（a＋b）＝3a＋b＞0.①
∵a＋b＜0，
∴－a－b＞0.②
①②相加，得2a＞0，∴a＞0.
17．解：
（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（－，0），B（0，－3）两点，
∴解得
∴此抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－x－3.
（2）由
（1）可得此抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，－4）．
（3）证明：
设过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将A，B两点的坐标分别代入，得解得故直线AB所对应的函数表达式为y＝－x－3，∴当x＝时，y＝－6，∴点D的纵坐标为－6，∴DC＝－＝2.
过点B作BE⊥l于点E，则BE＝，CE＝4－3＝1.由勾股定理得BC＝＝2，
∴BC＝DC.
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