人教版数学一轮第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性文档格式.docx

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（2）√　（3）√　（4）√

2．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－

　　　　　　　　B.

C.

D．－

B　[依题意b＝0，且2a＝－（a－1），

∴b＝0且a＝

，则a＋b＝

.]

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosx

C．y＝2x＋

D．y＝x2＋sinx

D　[A项，定义域为R，f（－x）＝－x－sin2x＝－f（x），为奇函数，故不符合题意；

B项，定义域为R，f（－x）＝x2－cosx＝f（x），为偶函数，故不符合题意；

C项，定义域为R，f（－x）＝2－x＋

＝2x＋

＝f（x），为偶函数，故不符合题意；

D项，定义域为R，f（－x）＝x2－sinx，－f（x）＝－x2－sinx，因为f（－x）≠－f（x），且f（－x）≠f（x），故为非奇非偶函数．]

4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x），则f（8）的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

B　[∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，

又f（x＋4）＝f（x），∴f（8）＝f（0）＝0.]

5．（教材改编）已知函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a，b]（a＜b＜0）上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上有（　　）

A．最大值4B．最小值－4

C．最大值－3D．最小值－3

B　[法一：

根据题意作出y＝f（x）的简图，由图知，选B.

法二：

当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f（b）≤f（－x）≤f（a），

即－3≤－f（x）≤4，

∴－4≤f（x）≤3，

即在区间[－b，－a]上f（x）min＝－4，

f（x）max＝3，故选B.]

判断函数的奇偶性

【例1】　

（1）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数　　　B．|f（x）|g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数

C　[对于A：

令h（x）＝f（x）·

g（x），则h（－x）＝f（－x）·

g（－x）＝－f（x）·

g（x）＝－h（x），

∴h（x）是奇函数，A错．

对于B：

令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|·

g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），

∴h（x）是偶函数，B错．

对于C：

令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）|g（－x）|＝－f（x）·

|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，C正确．

对于D：

令h（x）＝|f（x）·

g（x）|，则h（－x）＝|f（－x）·

g（－x）|＝|－f（x）·

g（x）|＝|f（x）·

g（x）|＝h（x），

∴h（x）是偶函数，D错．]

（2）判断下列函数的奇偶性．

①f（x）＝lg

；

②f（x）＝ln（

＋x）；

③f（x）＝

＋

④f（x）＝

.

[解]　①由

＞0得x＞1或x＜－1，即函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），关于原点对称．

又f（－x）＝lg

＝lg

＝－lg

＝－f（x）

∴f（x）为奇函数．

②f（x）的定义域为R，

f（－x）＝（ln

－x）＝ln

＝－ln（

＋x）＝－f（x），

③由

得x＝±

1，

∴f（x）的定义域为{－1,1}．

又f

（1）＋f（－1）＝0，f

（1）－f（－1）＝0，

∴f（x）＝±

f（－x）．

∴f（x）既是奇函数又是偶函数．

④易知函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，又当x＞0时，f（x）＝x2＋x，

则当x＜0时，－x＞0，

故f（－x）＝x2－x＝f（x）；

当x＜0时，f（x）＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，

故f（－x）＝x2＋x＝f（x），故原函数是偶函数．

[规律方法]　1.判定函数奇偶性的3种常用方法

（1）定义法

（2）图象法

（3）性质法

设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×

奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×

偶＝偶，奇×

偶＝奇．

2．判断分段函数奇偶性应注意的问题

判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例

（2）第④小题．

（1）设f（x）＝ex＋e－x，g（x）＝ex－e－x，f（x），g（x）的定义域均为R，下列结论错误的是（　　）

A．|g（x）|是偶函数B．f（x）g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是偶函数D．f（x）＋g（x）是奇函数

D　[f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），f（x）为偶函数．

g（－x）＝e－x－ex＝－g（x），g（x）为奇函数．

|g（－x）|＝|－g（x）|＝|g（x）|，|g（x）|为偶函数，A正确；

f（－x）g（－x）＝f（x）[－g（x）]＝－f（x）g（x），

所以f（x）g（x）为奇函数，B正确；

f（－x）|g（－x）|＝f（x）|g（x）|，

所以f（x）|g（x）|是偶函数，C正确；

f（x）＋g（x）＝2ex，

f（－x）＋g（－x）＝2e－x≠－（f（x）＋g（x）），

且f（－x）＋g（－x）＝2e－x≠f（x）＋g（x），

所以f（x）＋g（x）既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.]

（2）判断下列函数的奇偶性

①f（x）＝ln（e＋x）＋ln（e－x）；

②f（x）＝

得－e＜x＜e，

即函数f（x）的定义域为（－e，e），关于原点对称．

又f（－x）＝ln（e－x）＋ln（e＋x）＝f（x），

所以函数f（x）是偶函数．

②由2x－1≠0得x≠0，即函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

又f（－x）＝

＝

＝－

＝－f（x），

所以函数f（x）是奇函数．

③函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝－f（x），

当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－（－x）2＋1＝－x2＋1＝－f（x），

综上所述，f（－x）＝－f（x）．因此函数f（x）是奇函数．

函数奇偶性的应用

【例2】　

（1）（2018·

全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（

－x）＋1，f（a）＝4，则f（－a）＝________.

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－4x，则f（x）＝________.

（3）函数f（x）＝

为奇函数，则a＝________.

（1）－2　

（2）

　（3）－1　[

（1）由f（a）＝ln（

－a）＋1＝4，得ln（

－a）＝3，所以f（－a）＝ln（

＋a）＋1＝－ln

＋1＝－ln（

－a）＋1＝－3＋1＝－2.

（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0.

又当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝x2＋4x.又f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

即f（x）＝－x2－4x（x＜0），

∴f（x）＝

（3）由题意得f（－1）＋f

（1）＝0，即2（a＋1）＝0，解得a＝－1，经检验，a＝－1时，函数f（x）为奇函数．]

[规律方法]　已知函数奇偶性可以解决的4个问题

（1）求函数值：

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

（2）求解析式：

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.

（3）求解析式中的参数：

利用待定系数法求解，根据f（x）±

f（－x）＝0得到关于参数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特殊值求解.如利用f（－1）＝±

f

（1）直接求参数的值.

（4）画函数图象：

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.

（1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝

则g（f（－8））＝（　　）

A．－1B．－2

（2）已知函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）的值为（　　）

A．3B．0

C．－1D．－2

（3）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则f（x）＝________.

（4）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f

（1）＝________.

（1）A　

（2）B　（3）

　（4）

　[

（1）因为f（x）为奇函数，所以f（－8）＝－f（8）＝－log39＝－2，

所以g（f（－8））＝g（－2）＝f（－2）＝－f

（2）＝－log33＝－1.

（2）设F（x）＝f（x）－1＝x3＋sinx，显然F（x）为奇函数，又F（a）＝f（a）－1＝1，所以F（－a）＝f（－a）－1＝－1，从而f（－a）＝0.故选B.

（3）当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝ex－1＋x，

又f（－x）＝f（x），因此f（x）＝ex－1＋x.

所以f（x）＝

（4）由题意知f（0）＝20＋2×

0＋b＝0，解得b＝－1.

所以当x≤0时，f（x）＝2x＋2x－1，所以

f

（1）＝－f（－1）＝－[2－1＋2×

（－1）－1]＝

函数的周期性及应用

【例3】　

（1）（2019·

沈阳模拟）函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f

的值为（　　）

A.

B.

C．－

（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝2－

，且对任意的x都有f（x＋2）＝

，则f（2018）＝（　　）

A．－2－

B．－2＋

C．2－

D．2＋

（3）已知定义在R上的函数满足f（x＋2）＝－

，当x∈（0,2]时，f（x）＝2x－1.则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）的值为________．

（1）A　

（2）A　（3）1348　[

（1）由f（x＋1）＝－f（x）得f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）的周期为2，则f

＝f

＝2×

×

，故选A.

（2）由f（x＋2）＝

得f（x＋4）＝f（x）．

所以函数f（x）的周期为4，所以f（2018）＝f

（2）．

又f（4）＝f（2＋2）＝

＝2－

，

所以－f

（2）＝

＝2＋

，即f

（2）＝－2－

（3）∵f（x＋2）＝－

∴f（x＋4）＝－

＝f（x），

∴函数y＝f（x）的周期T＝4.

又x∈（0,2]时，f（x）＝2x－1，

∴f

（1）＝1，f

（2）＝3，f（3）＝－

＝－1，f（4）＝－

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2018）

＝504[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（504×

4＋1）＋f（504×

4＋2）

＝504

＋1＋3

＝1348.]

[规律方法]　

（1）判断函数周期性的方法

①定义法：

判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.

②结论法：

对f（x）定义域内任一自变量的值x，

ⅰ.若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；

ⅱ.若

ⅲ.若

（2）函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：

若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.

（1）（2019·

长沙模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且f（x）＝

则下列函数值为1的是（　　）

A．f（2.5）B．f（f（2.5））

C．f（f（1.5））D．f

（2）

（2）设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2019）＝________.

（1）D　

（2）1010　[

（1）由f（x＋1）＝－f（x）知f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），于是f（x）是以2为周期的周期函数，从而f（2.5）＝f（0.5）＝－1，f（f（2.5））＝f（－1）＝f

（1）＝－1，f（f（1.5））＝f（f（－0.5））＝f

（1）＝－1，f

（2）＝f（0）＝1，故选D.

（2）∵f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）的周期T＝2.

又当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，∴f（0）＝0，f

（1）＝1，f（0）＋f

（1）＝1.

∴f（0）＋f

（1）＝f

（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＝…＝f（2018）＋f（2019）＝1，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2019）＝1010.]

函数性质的综合应用

►考法1　奇偶性与单调性结合

【例4】　　（2017·

全国卷Ⅰ）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数．若f

（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　）

A．[－2,2]B．[－1,1]

C．[0,4]D．[1,3]

D　[∵f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）．

∵f

（1）＝－1，∴f（－1）＝－f

（1）＝1.

故由－1≤f（x－2）≤1，得f

（1）≤f（x－2）≤f（－1）．

又f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，

∴－1≤x－2≤1，

∴1≤x≤3.故选D.]

►考法2　奇偶性与周期性结合

【例5】　（2017·

山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

6　[∵f（x＋4）＝f（x－2），

∴f（（x＋2）＋4）＝f（（x＋2）－2），即f（x＋6）＝f（x），

∴f（x）是周期为6的周期函数，

∴f（919）＝f（153×

6＋1）＝f

（1）．

又f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6，即f（919）＝6.]

►考法3　奇偶性、周期性与单调性结合

【例6】　已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）＜f（11）＜f（80）

B．f（80）＜f（11）＜f（－25）

C．f（11）＜f（80）＜f（－25）

D．f（－25）＜f（80）＜f（11）

D　[因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），

所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）．

由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）．

因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[－2,2]上是增函数，

所以f（－1）＜f（0）＜f

（1），即f（－25）＜f（80）＜f（11）．故选D.]

[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法

（1）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

（1）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f

的x的取值范围是（　　）

D.

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x）f（x＋2）＝－1，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.

（3）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[0,1]上单调递增，设a＝f（3），b＝f（

），c＝f

（2），则a，b，c的大小关系是________．

（1）A　

（2）2.5　（3）a＞b＞c　[

（1）因为f（x）是偶函数，所以其图象关于y轴对称，

又f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

f（2x－1）＜f

所以|2x－1|＜

，所以

＜x＜

（2）由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－

故函数f（x）的周期为4.

所以f（105.5）＝f（4×

27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5），

因为2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5.

所以f（105.5）＝2.5

（3）由f（x＋1）＝－f（x）得f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）的周期为2，则f（3）＝f

（1），f

（2）＝f（0），f（

）＝f（

－2）＝f（2－

），

由于0＜2－

＜1，且函数f（x）在[0,1]上单调递增，

所以f（3）＞f（

）＞f

（2），即a＞b＞c.]

1．（2017·

全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝________.

12　[法一：

令x＞0，则－x＜0.

∴f（－x）＝－2x3＋x2.

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（x）＝2x3－x2（x＞0）．

∴f

（2）＝2×

23－22＝12.

f

（2）＝－f（－2）

＝－[2×

（－2）3＋（－2）2]＝12.]

2．（2015·

全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝xln（x＋

）为偶函数，则a＝________.

1　[∵f（x）为偶函数，∴f（－x）－f（x）＝0恒成立，

∴－xln（－x＋

）－xln（x＋

）＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.]