八年级下册 数学一元二次方程的讲解 基础班.docx

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八年级下册数学一元二次方程的讲解基础班

第1讲一元二次方程

1一元二次方程的定义

1．一元二次方程的概念：

　　通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：

（1）整式方程；

（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

（1）只有当时，方程才是一元二次方程；

（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

1．（2018春•鄞州区期中）一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是（　　）

A．3、﹣4、﹣2B．3、﹣3、2C．3、﹣2、2D．3、﹣4、2

【解答】解：

一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，

3x2﹣4x﹣2=0，

则a=3，b=﹣4，c=﹣2．

故选：

A．　

2．（2018•中江县模拟）关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠±1B．a=1C．a=﹣1D．a=±1

【解答】解：

由题意可知：

∴a=﹣1

故选：

C．

3．（2018•绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．xy+2=1B．C．x2=0D．ax2+bx+c=0

【解答】解：

根据一元二次方程的定义：

A、是二元二次方程，故本选项错误；

B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；

C、是一元二次方程，故本选项正确；

D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；

故选：

C．　

4．（2018•盐城）已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．﹣2B．2C．﹣4D．4

【解答】解：

把x=1代入方程得1+k﹣3=0，

解得k=2．

故选：

B．　

1．（2017秋•凉山州期末）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x

【解答】解：

方程整理得：

5x2﹣4x﹣1=0，

则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．

故选：

C．

2．（2018•平顶山二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．0

【解答】解：

把x=0代入方程得：

a2﹣1=0，

解得：

a=±1，

∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，

∴a﹣1≠0，

即a≠1，

∴a的值是﹣1．

故选：

B．　

3．（2017秋•邵阳期末）关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（　　）

A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞2

【解答】解：

ax2﹣3x+1=2x2，

（a﹣2）x2﹣3x+1=0，

∵关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，

∴a﹣2≠0，

即a≠2，

故选：

C．　

4．（2017秋•铜梁区期末）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9

【解答】解：

∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，

∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．

故选：

C．　

5．（2018春•杭州期中）已知关于x的方程（m+1）x+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（　　）

A．1B．﹣1C．±1D．不能确定

【解答】解：

∵关于x的方程（m+1）x+2x﹣3=0是一元二次方程，

∴m+1≠0，m2+1=2，

解得：

m=1．

故选：

A．

2直接开平方法

1．直接开方法解一元二次方程：

（1）直接开方法解一元二次方程：

　　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

（2）直接开平方法的理论依据：

　　　平方根的定义.

　　（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

　　　①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

　　　　若，则；表示为，有两个不等实数根；

　　　　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

　　　　若，则方程无实数根．

　　　②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

　　　　.

1．（2017秋•雁塔区期末）一元二次方程（x﹣1）2﹣2=0的根是（　　）

A．x=B．x1=﹣1，x2=3

C．x=﹣D．x1=1+，x2=1﹣

【解答】解：

（x﹣1）2=2，

x﹣1=±，

所以x1=1+，x2=1﹣．

故选：

D．　

2．（2017•白云区一模）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）

A．x2﹣1=0B．x2=0C．x2+4=0D．﹣x2+3=0

【解答】解：

A、方程x2﹣1=0的解为x=±1；

B、方程x2=0的解为x=0；

C、由方程x2+4=0可得x2=﹣4，方程无解；

D、方程﹣x2+3=0的解为x=±，

故选：

C．

3．（2017•包河区校级模拟）解方程：

（x﹣5）2=16．

【解答】解：

x﹣5=±4，

所以x1=1，x2=9．

1．（2017秋•漳州期末）关于x的方程（x+1）2﹣m=0（其中m≥0）的解为（　　）

A．x=﹣1+mB．x=﹣1+C．x=﹣1±mD．x=﹣1

【解答】解：

移项，得（x+1）2=m，

开方，得x+1=±，

解得x=﹣1±．

故选：

D．　　

2．（2018春•包河区期中）解方程：

（4x﹣1）2﹣9=0

【解答】解：

由原方程，得

（4x﹣1）2=9

4x﹣1=±3

4x=±3+1

x1=1，x2=．　　

3．（2017秋•秦淮区期中）解方程（x﹣1）2﹣4=0．

【解答】解：

（x﹣1）2﹣4=0，

（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）=0，

x﹣1+2=0，x﹣1﹣2=0，

x1=﹣1，x2=3．　

4．（2018春•西城区校级期中）解方程：

（2x﹣1）2=3．

【解答】解：

开方得：

2x﹣1=±，

解得：

x1=，x2=．

3配方法

1．配方法解一元二次方程：

（1）配方法解一元二次方程：

　　　将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式：

.

　　（3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：

　　　①把原方程化为的形式；

　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

1．（2018•定兴县二模）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）

A．（x+4）2=17B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17D．（x﹣4）2=15

【解答】解：

∵x2﹣8x=1，

∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，

故选：

C．　

2．（2018•常州模拟）解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣2=0；

（2）（x﹣1）（x﹣3）=8．

【解答】解：

（1）x2﹣2x﹣2=0

x2﹣2x+1=3

（x﹣1）2=3，

x﹣1=±，

x1=+1，x2=﹣+1；

（2）原方程变形为：

x2﹣4x﹣5=0

（x﹣5）（x+1）=0

x1=5，x2=﹣1．

1．（2017秋•潮南区期末）用配方法解方程：

x2﹣4x+1=0．

【解答】解：

x2﹣4x+1=0，

x2﹣4x=﹣1，

x2﹣4x+4=﹣1+4，

（x﹣2）2=3，

x﹣2=，

x1=2+，x2=2﹣．

2．（2016秋•宁德期末）小明同学解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的过程如图所示

解：

x2﹣4x=1…①

x2﹣4x+4=1…②

（x﹣2）2=1…③

x﹣2=±1…④

x1=3，x2=1…⑤

（1）小明解方程的方法是__________，他的求解过程从第__________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；

（2）解这个方程．

【解答】解：

（1）小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质；

故答案为：

配方法，②，等式的基本性质；

（2）x2﹣4x=1，

x2﹣4x+4=1+4，

（x﹣2）2=5，

x﹣2=，

x=2±，

∴x1=2+，x2=2﹣．

4公式法

1.一元二次方程的求根公式

　一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：

．

　　　①当时，原方程有两个不等的实数根；

　　　②当时，原方程有两个相等的实数根；

　　　③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

　　　①把一元二次方程化为一般形式；

　　　②确定a、b、c的值（要注意符号）；

　　　③求出的值；

　　　④若，则利用公式求出原方程的解；

　　　　若，则原方程无实根.

1．（2018春•包河区期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（　　）

A．a=﹣4，b=5，c=3B．a=﹣4，b=﹣5，c=3

C．a=4，b=5，c=3D．a=4，b=﹣5，c=﹣3

【解答】解：

∵﹣4x2+3=5x

∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0

∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．

故选：

B．　

2．（2017•淄川区一模）用公式法解方程4y2=12y+3，得到（　　）

A．y=B．y=C．y=D．y=

【解答】解：

∵4y2=12y+3

∴4y2﹣12y﹣3=0

∴a=4，b=﹣12，c=﹣3

∴b2﹣4ac=192

∴y==．故选C．　

1．（2017秋•昌平区校级期中）方程x2﹣x﹣1=0的根是（　　）

A．x1=，x2=B．x1=，x2=

C．x1=，x2=D．没有实数根

【解答】解：

这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，

b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，

x=，

x1=，x2=，

故选：

B．　　

2．（2016秋•盱眙县校级月考）用公式法解方程x2﹣4x﹣2=0，其中b2﹣4ac的值是（　　）

A．16B．24C．8D．4

【解答】解：

∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，

∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=16+8=24，

故选：

B．　　

3．（2018•金乡县模拟）x2﹣2x﹣15=0．（公式法）

【解答】解：

∵x2﹣2x﹣15=0．

∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，

∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，

∴x=，

∴x=5或﹣3．