高等代数北大版第章习题参考答案Word文档格式.docx
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例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0,0）是零元，任意（a,b）的负元是
2
（-a,a-b）。
对于数乘：
1（a,b）=（1a,。
b=―a2）=（a,b）,
咛）a2]咛（“）
22
kl（kl—1）2丄k（k—1）“、2、
=（kla,a（la））
k.（l.（a,b）=k.（la,lb出^a2）=（kla,k[lb
l（l—1）2k（k—1）2
-（kla,k[lba]（la））
kl（kl-1）2
=（kla,aklb）=（kl）.（a,b）,
k.（a,b）二丨.（a,b）=（ka,kb^a2）二（la,lb山^a2
=（kala,kb坐9玄2世a2kla2）
4（kl）a,（k1）（k|-1）a2（kl）b].
即（kl）（a,b）二k（a,b）二l（a,b）。
k[（a1,b1）二（a2,b2）]=k（a1a2,b|b2a1a2）
k（k—1）2
=[k（a1a2）,k（b1b2a1a2（a1a2））],
k。
佝0）㊉k°
（a2,b2）
k（k-1）2k（k—1）2、
=（kai,kbi&
）二（ka2,kba?
）
k（k-1）2k（k-1）22
=（ka1ka2，kb1-^-印kb2-f-a2ka1a2）
k（k—1）2k（k—1）22
=（k（a1a2）,k（b1b2a1a2）a1a2ka1a^ka1a2）
k（k—1）222
=（k@1a2）,k（db2da?
）（da?
））,
即k°
（ai，bi）❸（a2，b2）=k°
（ai,bj❸k°
（a2,b2），所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为1=0=〕.。
7）否，因为（k丨）：
=,k七川'
Ir=2,所以（k丨）乜严（k"
.：
s）-（I・）,
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i）a二b=ab二ba=b二a;
ii）（a二b）二c=（ab）二c=abc=a二（be）=a二（b二c）;
iii）1是零元:
a二1=a1=a;
iv）a的负元是丄：
a二1二a丄=1,且丄二a=1;
aaaa
1
v）1二a=aa;
vi）（k0（I：
a））=kQ（d）=（a）k=alk=akl=（kl）Qa;
vii）（kI）'
[a=ak丨=aka'
二（ka）二（la）;
viii）kQ（a二b）=kQ（ab）=（ab）k=akbk=（k：
a）二（kQb）.
所以，所给集合R■构成线性空间。
4在线性空间中，证明：
1）kO=02）k（：
--）二k：
-k：
。
证1）kO二k（：
：
（一二））二k：
k（Y）二心；
k（-1）：
=（k（-k））：
=0：
=0。
5证明：
在实函数空间中，1,cos2t,cos2t式线性相关的。
证因为cos2t=2cos2t-1，所以1,cos2t,cos2t式线性相关的。
6如果fi（x）,f2（x）,f3（x）是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k2,k3使kfi（x）k2f2（x）k3f3（x）=0,
不妨设ki厂0,则fi（x）=-邑f2（x）—'
f3（x），这说明f2（x）,f3（x）的公因式也是fi（x）k1k1
的因式，即fi（X）,f2（X）,f3（X）有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以fl（x）,f2（X）,f3（X）线性无关。
7在P4中，求向量•在基；
1,23；
4下的坐标。
设
1）；
i=（1,W）,；
2=（1,1,-1,一1）,；
3=（1，-1,1一1），；
4=（1,一1,一1,1）,=（1,2,1,1）；
2）；
1=（1,1,0,1）,；
2=（2,1,3,1）「3=（1,1,0,0）,；
4=（0,1,-1,-1）,=（0,0,0,1）。
「a+b+c+d=1
ab「c「d=2
解1）设有线性关系二ar•b；
2•c；
3d；
4，则，
|a-b+c_d=1
a「b「cd=1
s5111
可得在基；
1,；
2,；
3,；
4下的坐标为a,b,c,d=
4444
'
a+2b+c=0
t尸a+b+c+d=0
2）设有线性关系1「b；
2*c；
3*d；
3b—d=0
ab-d=1
4下的坐标为a=1,b=0,c=T,d=0。
上三角）矩阵作成的数域P上的空间；
3）第3题8）中的空间；
4）实数域上由矩阵A的全体实
解1）Pnn的基是「Eij}（i,j=1,2,...,n）,且dim（Pnn）二n2。
F11，…,F1n,F22,…，F2n,…,Fnn
是对称矩阵所成线性空间Mn的一组基，所以Mn是
维的。
ii）令Gj
，即a0=-aji=1,（^-j）,其余元素均为零,则
{G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn4,n}是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基，所以它是
n（n-1）维的。
iii）{En,...,Em,E22,...,E2n,...,Enn}是上三角阵所成线性空间的一组基，所以它是n（n1）维的。
3）任一不等于1的正实数都是线性无关的向量，例如取2,且对于任一正实数a,可经2线性
表出，即.（log2a）2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
9.在P4中,求由基軌,到基n1?
12?
13^4的过渡矩阵,并求向量芒在所指基下的
坐标。
色=（1,0,0,0八佃=（2,1,-1,1）
二X1,X2,X3,X4在1,2,3,4下的坐标;
-=11,0,0,0在；
4,下的坐标;
二1,0,0,-1在1,2,3,4下的坐标;
这里A即为所求由基；
2,；
3,；
4,到1,2,3,4的过渡矩阵，将上式两边右乘得二'
，
（；
4）=（1,2,3,4）丄‘，
于是
所以在基下的坐标为
X2
X3
27
3
4
9
-1
11、
23
26
27」
2令e1=（1,0,0,0）,e2=（0,1,0,0）（3=（0,0,1,0）（4=（0,0,0,1）则
（1,2,3,4）
将（e1,e2,e3,e4）=
=（e1,e2,e3,e4）
=（©
e2,e3,e4）
=（e1,e2,e3,e4）A,
-2
=（e1,e2,e3,e4）B,
4）A'
代入上式，得
（1,2,3,4）=（；
1,2；
4）AB,
这里
乜
3_
6
13
_5
AJ=
7
<
13
且A，B即为所求由基
r
A’Bn
8
0」
13/
；
4,到基1,2,3,4的过渡矩阵，进而有
=1,0,0,0=（ei,®
2,e3，e4）
5
0'
B=
J
1丿
-4_
—1
3ei,e2,e3,e4同2，同理可得
A=
A
则所求由
4到1,2,
2,
3,4
的过渡矩阵为
、、4
丄
4丿
再令=a
1+b2+c3
+d4，即
标。
4下有相同的坐
V
*1
1、
?
J-
=（a,b,c,d）
n3
宀丿
1°
-1」
1,0,0,0二a,b,c,d
由上式可解得在下的坐标为1,2,3,4下的坐标为
f13\
（a,b,c,d）=-2,-—-4,-—=a^
22丿
10.继第9题1）求一非零向量,它在基；
「；
4与1,2,3,
解设在两基下的坐标为（X-Xz’XsXq），则
=（口1?
2?
13?
4）
O
=（；
1，；
4）
又因为
（1,2,3,4）
=（"
1,；
6"
3」
1,
4）A，
ZX1、
=A
二（A-E）
"
丿
1X4」
=0。
=0,且
_1
A—E
于是只要令x4二-c,就有
x-i2x23x3二6c
-x1x2x3=c,
为+x3=2c
解此方程组得
Xi,X2,X3,X4=c,c,c,-c（c为任意非零常数），
取c为某个非零常数c0,则所求为
—c^-1'
Co二2'
c°
3_Co4。
11.证明：
实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。
证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且Vi二V2，证明：
如果Vi的维数与V2的维数相
等，那么V^V2。
证设dim（Vi）=r，则由基的扩充定理，可找到Vi的一组基ai’a?
••…a「，，因ViV?
且它们的唯数相等，故ai,a2,••…ar,，也是V2的一组基，所以Vi=V2。
i3.APnn。
i）证明：
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）;
2）当A=E时，求C（A）;
3）当A=2时，求C（A）的维数和一组基。
n」
证i）设与A可交换的矩阵的集合记为C（A）。
若B,D属于C（A），可得
A（B+D）=AB+AD=BA+DA=（B+D）A,
故B+DC（A）。
若k是一数，BC（A），可得
A（kB）=k（AB）=k（BA）=（kB）A,
所以kBC（A）。
故C（A）构成Pnn子空间。
2）当A=E时，C（A）=Pnn。
3）设与A可交换的矩阵为B=（bj）,则B只能是对角矩阵，故维数为n,Eii,E22,…Enn即为它的一组基。
i4.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解若记
zi00x
■z000x
0i0
+
000
=E+S,
v00h
3ib
并设B=
■0
SB=
ai
a2
bi
b2
0ai
Ci
与A可交换，即AB=BA
贝USB=BS且由
c
3b■b1b2
rabc
‘000、
‘3ccc、
BS=
aibiCi
=
3CiCiCi，
^2b2C2j
311」
C2C2/
可是c1=c=0,
1a2
c23aaia2
—3c?
3a+ar+a2
3b+d+b2
+3a=—ai—a?
c2=3b+0+b2
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。
取自由未知量a,c2，并
令b=1，其余为0，得c2=3,a=3;
令ai=1，其余为0，得c?
=3,a=…;
令bi=1，其余为0，得C2=1,a=1;
令a?
=1，其余为0，得C2=0,a=;
令b2=1，其余为0，得c2=1,a=1;
则与A可交换的矩阵为
ab0
B=a1D0
&
2b2c2；
（1
310
-00
100
卫03』
其中，a，C2可经b,ai,a2,bi,
（1、
q00'
010
e0b
表示,所求子空间的一组基为
*100'
1b
且维数为5。
15.如果c1a-c2^'
C3=0,且c1c^-0，证明：
La,：
=L-。
证由C1C3=0，知。
=0,所以a可一:
，经线性表出，即:
/■可经一:
，线性表出,
同理，'
-,也可经:
线性表出。
故Laj=L■-,。
16.
在P4中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。
解1）a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a1,a2,a4,因此a1,a2,a4为
La1,a2,a3,a4的一组基，且的维数是3。
2）a「a2,a3,a4的一个极大线性无关组为a「a2，故a,a2是La1,a2,a3,a4的
一组基，且维数为2。
17.在P4中，由齐次方程组
3x12x2-5x34x4=0
3%_x2+3x3_3x4=0+5x2T3x3+11^=0
确定的解空间的基与维数。
解对系数矩阵作行初等变换，有
-5
4、
勺
-3
T
-7
-13
11>
—8
7」
所以解空间的维数是2,它的一组基为
‘‘18加‘2T冲\
a1=——，一,1,0Ia：
=一，一,0,1|。
I93丿<
93）
18.求由向量：
-1^2生成的子空间与由向量1,匕生成的子空间的交的基与维数，设
“:
內=（1,2,1,0）卩1=（2,-1,0,1）
1）」」-;
2）丿
严1=（2,5,—6,—5）爲=（-1,Z-7,3）°
解1）设所求交向量
则有
Ia1=1,2,一12
3Ma2=（3,1,1,1）
a3=（—1,0,1,—1）
=k1：
-k2j.2=h已•l2场2，
k1：
1k2：
2-h：
1丨2：
2=0,
k_k2_2h_l2=o
2匕+k2十h十l2=0
«
k2—3I20
-h-712=0
可算得
=0,
且
k2
=0,
D
故交的维数也为
1，
1。
因此方程组的解空间维数为
任取一非零解（k-k?
l1,l2）=
（-1,4,-.3，1），得一组基
4：
2=（-5,2,3,4），
所以它们的交L（）是一维的,
就是其一组基。
2）设所求交向量
=k1:
-1k22=hrl2：
2，
k1k2
=0
则有k1」2,
半2-h“2=0
k2-h=0
因方程组的系数行列式不等于0,故方程组只有零解，即=k2=12
-0,从而
交的维数为0。
3）设所求交向量为
”'
1■k^^l1-1I2：
匕+3k2_k3_2h+l2=0
2k1k?
~'
5^~'
21?
-0
-k1k2k36I171^0?
-2k1k^k35h-312=0
13-11
-0知解空间是一维的，因此交的维数是1。
令1^1,，可
210-2
—1117
-21-1-3
得12=0，因此交向量二山^■丨2"
2='
1就是一组基。
19.设V与V分别是齐次方程组x1x2...xn=0^=X2二…二Xn」二Xn的解空间，证明：
pn=y㊉V2.
证由于x1x2...xn=0的解空间是你n—1维的，其基为：
1=（-1,1,0，…,0）,：
2=（-1,0,1，…,0）,...,：
n」=（-1,0,0，…,1）而由X1=X2二…二Xn」二Xn知其解空间是1维的，令Xn-1,则其基为］=（1,1,...,1）.且：
-1^-2,.../nJ/-即为pn的一组基，从而pn=y+V2.又dim（Pn）=dim（V1）+dim（V2），故Pn=y^V2.。
20.证明：
如果v^V1V2,V^V1^V12,那么Vr'
Vn二V12二V2。
证由题设知v=v11v12v2,因为v二v2,所以
dim（V^dim（V1）dim（v2）,又因为V^V1^V12,所以
dim（V1^dim（v11）dim（v12）,
故dim（v）=dim（v11）
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