等腰三角形练习题及答案Word格式文档下载.docx
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11.（2012?
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=ACP为底边BC上一点，PELABPF丄ACCHLAB垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：
如图①，连接AP.
•••PEIABPFLACCHLAB
•••Ssb尸丄AB?
PES^acf=1AC?
PF,Ssb=AB?
CH
2「2?
2
又TS△abf+Saac=Saabc,
•••丄AB?
PE+AC?
PF=AB?
222
•••AB=AC
•PE+PF=C.H
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若/A=30°
AABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直
线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高CH=.点P到
12.数学课上，李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1,确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AEDB（填“〉”，“V”或“二”）.
（2）特例启发，解答题目
解:
题目中，AE与DB的大小关系是：
AEDB（填“〉”，“V”
或“二”）.理由如下：
如图2,过点E作EF//BC交AC于点F.（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若
△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）.
13.已知：
如图，AF平分/BACBCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点P在CF上，连接PB交AF于点M.若/BAC=ZMPC请你判断/F与/MCD的数量关系，并说明理由.
14.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BCAC边上，且AE=CD
AD与BE相交于点F.
（1）线段AD与BE有什么关系？
试证明你的结论.
（2）求/BFD的度数.
15.如图，在△ABC中，AB=BC/ABC=90,F为AB延长线上一点，点E
在BC上,BE=BF连接AE、EF和CF,
AE=CF
B¥
16.已知：
如图，在厶OAB中，/AOB=90,OA=OB在厶EOF中，/EOF=90,
OE=OF连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系？
请说明理由.
17.（2006?
郴州）如图，在△ABC中，AB=ACD是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
（1）DEDF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？
并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，
（1）中的结论还成立吗？
若不成立，又存在怎样的关系？
18.如图甲所示，在△ABC中，AB=AC在底边BC上有任意一点P，贝UP点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF若P点在BC的延
长线上，那么请你猜想PDPE和CF之间存在怎样的等式关系？
写出你的猜想并加以证明.
参考答案与试题解析
1.如图，/C=90，AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cmBD=3cm则点D
考点：
角平分线的性质.1418944
分析：
由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB
的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解.
解答：
解：
•••/C=90,AD平分/BAC交BC于D
•••D到AB的距离即为CD长CD=5-3=2故选C.
分别以ACBC为边
2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外）
交CE于N.给出以下三个结论：
®
AE=B®
CN=C®
MN/AB其中正确结论的个数是（）
考占.
平行线分线段成比例；
全等三角形的判定与性质；
等边三角形的
性质.1418944
由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE^ADCB即可得①正确；
由厶ACE^ADCB可得/EAChNDC又由
/ACDhMCN=6°
利用ASA可证得△ACIWADCN即可得②正确；
又可证得厶CMN是等边三角形，即可证得③正确.
•••△ACD和厶BCE是等边三角形,•••/ACDhBCE=60,AC=DCEC=BC
•••/ACD#DCEhDCEhECB即/ACEhDCBACWADCB
（SAS,
•••AE=BD故①正确；
•••/EAC#NDCI/ACD#BCE=60,:
丄DCE=60,
•••/ACD#MCN=6°
•••AC=DCACIW^DCN（ASA）,二CM=CN故②正确；
又#MCN=18°
-#MCA#NCB=180-60°
-60°
=60°
•••△CMN是等边三角形,•••#NMC#ACD=60,/.MIN/AB故③正
确.故选D.
3.如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DELAQ
EF丄ABFDLBC则厶DEF的面积与厶ABC的面积之比等于1:
3.
相似三角形的判定与性质；
等边三角
形的性质.1418944
首先根据题意求得：
/DFE艺FED艺EDF=60，即可证得△DEF
是正三角形，又由直角三角形中，30°
所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF:
AB=1:
:
;
又由相似三角形的
面积比等于相似比的平方，即可求得结果.
解：
•••△ABC是正三角形，•••/B=ZC=ZA=60°
•••DELACEF±
ABFD丄BC:
丄AFE玄CEDhBDF=90,
•••/BFD=/CDEhAEF=30,a/DFE=/FED艺EDF=60,匹』
'
'
BF1
•••△DEF是正三角形，aBDDF=1:
循①，BDAB=1:
3②，
△DEF^AABC
①+②，4=-；
aDF:
AB=1:
「；
，•••△DEF的面积与厶ABC的面DF
积之比等于1:
3.
故答案为：
1:
全等三角形的判定与性质；
角平分线的定义.1418944
过D作DMLAB于MDNLAC于N,根据角平分线性质求出DN=DM
根据四边形的内角和定理和平角定义求出/AEDhCFD根据全等三角形的判定AAS推出△EMS^^FND即可.
证明：
过D作DMLAB于MDNLAC于N,
A
即/EMDMFND=90,
•••AD平分/BACDMLABDNLAC/.DM=DN角平分线性质）
/DMEMDNF=90,
•••/EAF+ZEDF=180,a/MED£
AFD=360-180°
=180°
•••/AFD/NFD=180,•••/med/nfd
在厶EMD^H^FND中
rZMED=ZDFN
*ZDME二NDNF,「•△EMD^AFNDaDE=DF
m［二dn
5.在△ABC中，/ABC/ACB的平分线相交于点O,过点O作DE//BQ分
等腰三角形的判定与性质；
平行线的性质.1418944
根据0B和0C分别平分/ABC和/ACB和DE//BQ利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DOOE=EC然后即可得出答案.
•••在△ABC中，0B和0C分别平分/ABC和/ACB
•••/DBOMOBC/ECOhOCB
•••DE//BC•••/DOBhOBChDBO/EOChOCBhECO
•••DB=DOOE=EC•DE=DO+OE「.DE=BD+EC
如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DEIABDF丄AC垂足分别为E,F,且DE=DF请判断△ABC是什么三角形？
考占：
等腰三角形的判定；
全等三角形的判定与性质.1418944
用（HL）证明△EBD^AFCD从而得出hEBDhFCD即可证明
△ABC是等腰三角形.
证明：
连接AD,TDEIABDF丄AC/-ZBEDhCFD=90，且
DE=DF
•••D是厶ABC的BC边上的中点，/•BD=DC
•••Rt△EBD^Rt△FCD（HL）,/ZEBDZFCD•/△ABC是等腰三
角形.
7.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连
接DE
（2）ADBE是什么三角形？
等边三角形的性质；
等腰三角形的判定.1418944
（1）由题意可推出ZACB=60,ZE=ZCDE然后根据三角形外
角的性质可知：
ZACBZE+ZCDE即可推出ZE的度数；
（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是ZABC的角平分线，即得：
ZDBC=30,然后再结合
（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.
（1）v^ABC是等边三角形，/ZACB=60,
•••CD=CE•••/E=zCDE•••/ACBhE+ZCDE
•••..=二丄二二「汀’二「，
（2）v^ABC是等边三角形，BDLACABC=60,
•一二一一一—匕一—：
「,
•••ZE=30°
「.ZDBCZ£
•••△DBE是等腰三角形.
如图，在△ABC中，ZACB=90,CD是AB边上的高，ZA=30°
AB=4BD
含30度角的直角三角形.1418944
由厶ABC中，ZACB=90,ZA=30°
可以推出AB=2BC同理可得
BC=2BD则结论即可证明.
•••/ACB=90,ZA=30°
「.AB=2BCZB=60°
.
又•CDLAB•••/DCB=30,•BC=2BD「.AB=2BC=4BD
分析:
解答:
等腰三角形的性质.1418944
过D点作DG/AE交BC于G点，由平行线的性质得/仁/2,
/4=23,再根据等腰三角形的性质可得/B=Z2,则/B=Z1,于是有DB=DG根据全等三角形的判定易得△DF9AEFC即可得到结论.
过D点作DG/AE交BC于G点，如图，
•••21=22,24=23,
•••AB=AC「.2B=22,「.2B=21,•DB=DG而BD=CE「・DG=CE在厶DFG和厶EFC中
fZ4=Z3
\ZDFG=ZEFC,•△DFG^^EFC•DF=EF
DG=CE
10.已知等腰直角三角形ABCBC是斜边.2B的角平分线交AC于D过C
延长CE,BA交于点F,由已知条件可证得△BFE全BEC所
以FE=EC即CF=2CE再通过证明△ADB^AFAC可得FC=BD所以BD=2CE
如图,分别延长CEBA交于一点F.
•••BE!
EC•••/FEB玄CEB=90,•/BE平分/ABC,a/FBE玄CBE
又•••BE=BEaABFE^ABCE（ASA.FE=CEaCF=2CE
•••AB=ACZBAC=90，/ABD-ZADB=90，/ADB/EDC
•••/ABD/EDC=90.
又•••/DEC=90,ZEDC/ECD=90,a/FCAZDBCZABD
牡丹江）如图①，△ABC中.AB=ACP为底边BC上一点，PEIABPF!
ACCH!
AB垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：
•••PEIABPF!
ACCHLABaS△abp^AB?
PE,Ssc=AC?
PF,Ssb（=AB?
CH又TS△abf+Saacf=Saabc,a丄ab?
pe+ac?
pf=ab?
ch
戈22
•••AB=ACApe+pf=c.h
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎
样的数量关系？
AABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直
线AC的距离为PF,当PF=3时，贝UAB边上的高CH=7.点P到AB边的
等腰三角形的性质；
三角形的面积.1418944
（1）连接AP.先根据三角形的面积公式分别表示出S^ABP,SaACP,
Saabc,再由S^abP=S^acp+S^abc即可得出PE=PF+PH
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH再由△ABC的面积为
49,求出CH=7由于CH>
PF,则可分两种情况进行讨论：
①P为
底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH
（1）如图②，PE=PF+CH证明如下：
vPEIABPF丄ACCHLAB/-S△abP^AB?
PE,Sk=AC?
PF,S^ab（=-AB?
vs△abP=S^acp+S^abc,^AB?
PE=AC?
PF+AB?
CH又vAB=AC
•••PE=PF+C；
（2）v在厶ACH中，/A=30°
「.AC=2CH
VS△ab（=^AB?
CHAB=AC•••护2CH?
CH=49/.CH=7
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①.
•••PE+PF=C,•••PE=CHPF=7—3=4;
②P为BC延长线上的点时，如图②.
7;
4或10.
12.数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中,点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
AE=DB（填“〉”，“V”或“二”）.
AE=DB（填“〉”，“V”或
“二”）.理由如下：
如图2,过点E作EF//BC交AC于点F.（请你完成以下解答过程）
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若
△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长（请你直接写出结
等边三角形的判定与性质；
三角形的外角性质；
全等三角形的判定与性质；
（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出
ZD=ZECB=30，求出ZDEB=30，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF/BC交AC于F,求出等边三角形AEF；
证厶DEB和厶ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由
（2）求出CD=3当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.
（1）故答案为：
=.
（2）过E作EF//BC交AC于F,
•••等边三角形ABCABChACBhA=60°
AB=AC=BC
•••/AEF玄ABC=60，/AFE玄ACB=60，即
/AEF玄AFE玄A=60°
•••△AEF是等边三角形，•••AE=EF=AJF
•••/ABChACBhAFE=60,a/DBEhEFC=120,
/D+ZBED/FCE/ECD=60,
vDE=EC•—
/D=ZECDBEDhECF
<
△DEB和^ECF中
I
fdeb二ZECF
ZDBE=ZEFC,•••△DEB^AECF二BD=EF=AE即AE=BD故答案为:
DE二CE
（3）解:
CD=1或3,
理由是：
分为两种情况：
①如图
过A作AMLBC于M过E作ENLBC于N,贝UAM/EM
•••△ABC是等边三角形，•AB=BC=AC=1
•••AMLBC•BM=CM=BC=,vDE=CEENLBC•CD=2CN
②如图2,作AMLBC于M过E作ENLBC于N,贝yAIM/EM
vAMLBC•BM=CM=BC=,•/DE=CEENLBC•CD=2CN
如图，AF平分/BACBCLAF于点E,点D在AF上，ED=EA点
P在CF上，连接PB交AF于点M.若/BAC=ZMPC请你判断/F与/MCD
根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出
AB=AC=CD推出/CDA/CAD/CPM求出/MPF/CDM
/PMF/BMA/CMD在厶DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可.
/F=/MCD
•••AF平分/BACBCLAF,「./CAE/BAE
/AEC/AEB=90,
在厶ACE和厶ABE中
rZAEC=ZAEB
•「陋二姬，二△ACE^AABE（ASA/•AB=AC
tZCAE=ZBAE
•••/CAEhCDE.AM是BC的垂直平分线，二CM=BJMCE=BE
•••/CMAMBMA
•••AE=EDCELAD•••AC=CD:
丄CADhCDA
•••/BAC=hMPC又•••/BAC=hCAD
•••/MPChCAD•••/MPChCDA:
丄MPFhCDM
•••/MPFhCDM（等角的补角相等）,
•••/DCMhCMDhCDM=18°
/F+/MPFhPMF=180,又•••/PMFhBMAhCMD：
/MCDhF.
（1）线段AD与BE有什么关系？
（2）求/BFD的度数.
（1）根据等边三角形的性质可知/BAChC=60,AB=CA结合
AE=CD可证明△ABE^ACAD从而证得结论；
（2）根据/BFDhABEhBADhABEhCAD可知
hBFDhCADhBADhBAC=60.
（1）证明：
•••△ABC为等边三角形，•/BAChC=60,AB=CA
在厶ABE和厶CAD中,
AB二AC
-卩-IABE=^CAD〔AD=BE
AE二CD
（2）解：
I/BFD艺ABE亡BAD
又•••△ABE^ACAD
•••/ABE/CAD•••/BFD/CAD/BAD/BAC=60.
BF
根据已知利用SAS
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