三角板问题专题Word文档格式.docx

三角板问题专题Word文档格式.docx

《三角板问题专题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角板问题专题Word文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

。

理由如下：

过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G。

为说明方便，不妨设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F。

由于M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝a

所以MH＝MG＝

又因为∠HME＝∠GMF

所以Rt△MHE≌Rt△MGF分

因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积。

而正方形CGMH的面积是MG・MH＝

×

＝

所以阴影部分的面积是

已知，△ABC是等边三角形，将一块含有30°

角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移，如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上．

（1）利用图1证明：

EF=2BC；

（2）在三角板的平移过程中，在图2中线段EB=AH是否始终成立（假定AB，AC与三角板斜边的交点为G、H）？

如果成立，请证明；

如果不成立，请说明理由．

2.已知△ABC是等边三角形，将一块含30°

的直角三角尺DEF如图2-1放置，让△ABC在BC边上向左做移动，当点B与点E重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上的M点，点C在N点位置上，移动后，AB边与DF交于点G，AC边与DF交于点H。

（1）在△ABC平移过程中，猜想CH，CF满足的数量关系，并证明。

（2）在△ABC平移过程中，猜想BE，AH满足的数量关系，并证明。

解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°

，AC=BC．

∵∠F=30°

∴∠CAF=60°

-30°

=30°

．

∴∠CAF=∠F，

∴CF=AC，

∴CF=AC=EC，

∴EF=2BC．（4分）

（2）成立． 

（1分）

∵△ABC是等边三角形，

∴∠CHF=60°

∴∠CHF=∠F，

∴CH=CF．

∵EF=2BC，

∴BE+CF=BC．

又∵AH+CH=AC，AC=BC，

∴AH=BE．（9分）

3.将一副三角尺（Rt△ABC和Rt△DEF）将图3-1摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点。

将Rt△DEF绕点D按顺时针方向旋转角a（0°

<

a<

90°

）,在旋转过程中，直线DE,AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足分别为G,H。

（1）当a=30°

时（图3-2），求证：

AG=DH。

（2）当a=60°

时（图3-3），

（1）中的结论是否成立？

请写出你的结论，并说明理由。

（3）当0°

时（图3-4），通过测量或推理，判断

（1）中的结论是否成立。

请写出你的结论，不需说明理由。

∵∠A=∠ADM=30°

∴MA=MD.又MG⊥AD于点G，

∴AG=AD.

∵∠BDC=180°

-∠ADE-∠EDF=180°

-90°

=60°

=∠B，

∴CB=CD.

∴C与N重叠.又NH⊥DB于点H，

∴DH=DB.

∵AD=DB，

∴AG=DH.

（2）解当α=60°

时，

（1）中的结论成立.

如图8，

∵∠ADM=60°

∴∠NDB=90°

-60°

.

∴∠MAD=∠NDB.

又AD=DB，∠ADM=∠B=60°

∴△MAD≌△NDB.

∴MA=ND.

∵MG，NH分别是△MAD，△NDB的对应高，

∴Rt△MAG≌Rt△NDH.

（3）解当0°

＜α＜90°

如图9，在Rt△AMG中，∠A=30°

∴∠AMG＝60°

＝∠B.

又∠AGM=∠NHB=90°

∴△AGM∽△NHB.

∴.①

∵∠MDG=α，

∴∠DMG=90°

-α=∠NDH.

又∠MGD=∠DHN=90°

∴Rt△MGD∽Rt△DHN.

∴.②

①×

②，得.

由比例的性质，得

，

即.

操作：

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°

，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？

并结合图②说明理由．

（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？

若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；

若不能，请说明理由．

考点：

等腰三角形的性质；

全等三角形的判定与性质．

专题：

数形结合．

分析

（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．

（2）分为点C与点E重合、CE=2-根号2、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明．

（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．

理由如下：

连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=二分之一∠ACB=45°

∴∠ACP=∠B=45°

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，

①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=2-根号2

；

E在CB的延长线上，CE=2+根号2

③当EP=EB时，CE=1．

4.在△ABC中，AC=BC，∠C=90°

将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，绕点P旋转。

（1）如图4-1，三角尺的两条直角边分别交边AC，CB于D，E两点。

线段PD和PE之间有怎样的大小关系？

请说明你的理由。

（2）如图4-2，三角尺的两条直角边分别交射线AC,射线CB于D,E两点。

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由。

5.用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°

角的三角尺的60°

角的顶点于点A重合，两边分别与AB,AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E，F时（如图5-1），通过观察或测量BE,CF的长度，你能得出什么结论？

说明你的理由。

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E，F时（如图5-2），你在

（1）中得到的结论还成立吗？

6.把两块全等的直角三角尺ABC和DEF叠放在一起，使三角尺DEF的锐角顶点D与三角尺ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°

，∠C=∠F=45°

，AB=DE=4，把三角尺ABC固定不动，让三角尺DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。

（1）如图6-1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，计算AP*CQ=_____________。

（2）将三角尺DEF由图6-1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转（设旋转角为a,其中0°

45°

）至图6-2的位置，那么AP×

CD的值是否改变？

（3）将三角尺DEF由图6-1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转（设旋转角为a,其中45°

＜a≤90°

7.已知∠AOB=90°

，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角尺的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA,OB（或它们的反向延长线）相交与点D,E。

当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图7-1），易证OD+OE=根号2倍OC。

（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图7-2，上述结论还成立吗？

说出你的判断，并请给予证明。

（2）当三角形绕点C旋转到图7-3的位置时，请你猜想线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系。

（不需证明）

8.如图8-1，将两个等腰直角三角尺叠放在一起，使上面三角尺的一个锐角顶点与下面三角尺的直角顶点重合，并将上面的三角尺绕着这个顶点逆时针旋转。

在旋转的过程中，下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系。

（1）实验与操作

如图8-1，如果上面三角尺的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画以AM，MN和NB为边长的正方形，利用边长写出这三个正方形的面积之间的关系：

_____________。

（2）猜想与探究

如图8-2，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

M、N是AB边上的点，∠MCN=45°

作DA⊥AB于A，截取DA=NB，并连接DC、DM。

①线段CD与线段CN相等吗？

为什么？

②线段MD与线段MN相等吗？

③图8-2中线段AM、MN与NB具有怎样的数量关系？

（3）拓广与运用：

如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？

若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；