苏科版中考数学几何模型专题 中点模型 讲义R.docx
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苏科版中考数学几何模型专题中点模型讲义R
中考数学几何模型专题中点模型
【模型解读】
在初中几何证明中，常会遇到与中点有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该
怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:
明确辅助线作用，记清相应模
型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【模型一】三线合一，构造全等三角形
A
A
B
C
B
C
D
D
【模型分析】
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得
到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：
“边
等、角等、三线合一”。
【模型实例】
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，
求MN的长度。
A
N
B
C
M
【模型二】平行线夹中点
如图，AB//CD，点E是BC的中点．
A
B
E
C
C
D
D
A
B
A
B
F
E
E
F
C
D
图①
图②
【模型分析】
如图①，延长DE交AB于点F，易证：
△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：
△ABE≌△FCE（AAS）
【模型实例】——深圳中考
例2．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2E为CD中点，连
接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（ ）
A．1
B．
C．5－1
D．
【模型三】倍长中线，构造全等三角形
A
A
B
B
C
C
D
D
图①
E
A
A
F
F
B
B
D
C
D
C
图②
E
A
A
E
B
B
C
C
图③
D
D
F
【模型分析】
如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：
△ADC≌△EDB
（SAS）。
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：
△FDB≌△FDC
（SAS）。
如图③，D是BC中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，易证：
△CDE≌△BDF
（SAS）。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知
条件中的线段进行转移。
【模型实例】
例3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC
于点F．
求证：
∠AEF＝∠EAF．
A
F
E
B
D
C
问题探究：
小红遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD
的取值范围．她的做法是：
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过
推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：
________；
（2）AD的取值范围是________；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝
EF，求证：
BF＝AC．
AB
（4）如图3，在矩形ABCD中＝在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝点
BCBE
1
EF
1
2
2
G是DF的中点，连接EG，CG，求证：
EG＝CG．
【模型四】构造中位线
A
A
A
过中点作平行线
E
E
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
A
连接中点
E
B
D
【模型分析】多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位
1
线三角形中位线的性质定理：
DE∥BC，且DE
BC来解题，中位线定理既有线段之间的
2
位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。
【模型实例】错位中点问题
例4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E
是BC上，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．
【模型五】直角三角形斜边上的中点
A
A
斜边上的中线
D
D
C
C
B
B
【模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点或斜边为定值时，经常会作斜边上的中线，
1
BDAC
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即
，来证明线段间的数量关系，
2
而且可以得到两个等腰三角形：
△ABD和△BDC，该模型经常会与中位线定理一起综合应
用。
【模型实例】
1
例5．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE＝CD过点B作
3
BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．10
如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF
＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH＋CH的最小值
为________．
【模型六】反比例与中点问题
xxyy
若A（x,y），B（x,y）的中点为M，则M
1
2
，
1
2
.
1
1
2
2
2
2
【模型分析】结合反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识.
【模型实例】
例6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD
k
∥x轴，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），
x
则反比例函数的解析式为________．
【模型七】“圆”背景下的中点问题
»
点P是优弧AB上一动点，点C是AB的中点，则有以下结论：
P
①AC＝BC
②OC⊥AB
O
③PC平分∠APB
E
A
B
④
CECPCB2（即△CPB~△CBE）
C
P
P
2
O
E
O
E
A
A
B
B
1
C
C
【模型分析】“弧中点”作为条件时往往与与垂径定理结合
【模型实例】——2021湖南中考
例7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC
交AC的延长线于点E．
（1）求证：
直线DE与⊙O相切；
（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．
角形的时候，就应想到：
“边等、角等、三线合一”。
【模型实例】
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，
求MN的长度。
A
N
B
C
M
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得
AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：
连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：
AM＝AB2－BM2＝52－32＝4，
1
1
AM﹒CM12
＝＝2．4．
又＝MN﹒AC＝AM﹒MC∴MN＝
2
2
AC
5
【模型实例】——深圳中考
例2．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2E为CD中点，连
接AE，且AE＝＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（ ）
A．1
B．
C．5－1
D．
【解答】解：
如图，延长AE交BC的延长线于G，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°，
在△ADE和△GCE中，
∠DAE＝∠G
{
∠AED＝∠GEC），
CE＝DE
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AD＝2AE＝EG＝
∴AG＝AE＋EG＝＝
∵AE⊥AF，
∴AF＝AGtan30°＝＝4，
GF＝AG÷cos30°＝＝8，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则MN＝AD＝2
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BM＝CN，
∵MG＝AG﹒cos30°＝＝6，
∴CN＝MG－MN－CG＝＝
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM＝∠G＝30°，
∴FM＝AF﹒sin30°＝＝2，
∴BF＝BM－MF＝＝．
故选：
D．
【模型实例】
例3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC
于点F．
求证：
∠AEF＝∠EAF．
A
F
E
B
D
C
证明：
如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD＝CD
在△ADC和△MDB中
A
1
F
2
E
3
B
D
C
M
CDBD
ADCMDB
ADMD
∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1＝∠M，AC＝MB
∵BE＝AC
∴BE＝MB
∴∠M＝∠3
∴∠1＝∠3
∵∠3＝∠2
∴∠1＝∠2
即∠AEF＝∠EAF
问题探究：
小红遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD
的取值范围．她的做法是：
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过
推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：
________；
（2）AD的取值范围是________；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝
EF，求证：
BF＝AC．
AB
（4）如图3，在矩形ABCD中＝在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝点
BCBE
1
EF
1
2
2
G是DF的中点，连接EG，CG，求证：
EG＝CG．
（1）由"SAS"可证△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，由"SAS"可证△BHD≌△CAD，可得AC＝
BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性质可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；
（4）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由"SAS"可证△NGF≌△
CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，
可得∠BEF＝∠NEC＝90°
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