苏科版中考数学几何模型专题 中点模型 讲义R.docx

1、苏科版中考数学几何模型专题 中点模型 讲义R 中考数学几何模型专题 中点模型【模型解读】在初中几何证明中，常会遇到与中点有关的问 题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。【模型一】三线合一，构造全等三角形AA BCBCDD【模型分析】等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。【模型实例】例 1如图，在ABC 中，

2、ABAC=5，BC6，M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，求 MN 的长度。 ANBCM【模型二】平行线夹中点如图，AB/CD，点 E 是 BC 的中点ABECCDDABABFEEFCD图图【模型分析】如图，延长 DE 交 AB 于点 F，易证：DCEFBE（AAS）。如图，延长 AE 交 CD 延长线于点 F，易证：ABEFCE（AAS）【模型实例】深圳中考例 2如图，已知四边形 ABCD 为等腰梯形，ADBC，ABCD，AD 2E为 CD 中点，连接 AE，且 AE30，作 AEAF 交 BC 于 F，则 BF（）A1BC 51D 【模型三】倍长中线，构造全等三角形AABBCCDD图

3、EAAFFBBDCDC图EAAEBBCC图DDF【模型分析】如图，AD 是ABC 的中线，延长 AD 至点 E 使 DEAD，易证：ADCEDB（SAS）。如图，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DEFD，易证：FDBFDC（SAS）。如图，D 是 BC 中点，作 CEAD 于 E，BFAD 于 F，易证：CDEBDF（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。【模型实例】例 3如图，在ABC 中 ，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的 延长线交 AC于点 F求证：AEFEAF AFEB

4、DC 问题探究：小红遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB6，AC4，AD 是中线，求 AD的取值范围她的做法是：延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小红证明BEDCAD 的判定定理是：_；(2)AD 的取值范围是_；方法运用：（3）如图 2，AD 是ABC 的中线，在 AD 上取一点 F，连接 BF 并延长交 AC 于点 E，使 AEEF，求证：BFACAB（4）如图 3，在矩形 ABCD 中 在 BD 上取一点 F，以 BF 为斜边作 RtBEF，且 点BC BE1EF122G 是 DF 的中点，连接 EG，CG，

5、求证：EGCG 【模型四】构造中位线AAA过中点作平行线EEBBBCCCCDDDA连接中点EBD【模型分析】多个中点出现或平行 +中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位1线三角形中位线的性质定理：DEBC，且 DE BC 来解题，中位线定理既有线段之间的2位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。【模型实例】错位中点问题例4如图，已知在RtABC中，ACB90，点D是AC延长线上的一点，AD24，点E是BC上，BE10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN【模型五】直角三角形斜边上的中点AA斜边上的中线DDCCBB 【模型分析】在直角三角形中

6、，当遇见斜边中点或斜边为定值时，经常会作斜边上的中线，1BD AC利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，来证明线段间的数量关系，2而且可以得到两个等腰三角形：ABD 和BDC，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。【模型实例】1例 5如图，ACB90，D 为 AB 的中点，连接 DC 并延长到 E，使 CE CD过点 B 作3BFDE，与 AE 的延长线交于点 F，若 BF8，则 AB 的长为（）A6B7C8D10如图，矩形 ABCD 中 ，AB20，AD30，点 E，F 分别是 AB，BC 边上的两个动点，且 EF10，点 G 为 EF 的中点，点 H 为 AD 边上一动点，连接 C

7、H、GH，则 GHCH 的最小值为_【模型六】反比例与中点问题 x x y y 若 A(x , y ) ， B(x , y ) 的中点为 M，则 M 12，12 .112222 【模型分析】结合反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识.【模型实例】 例 6如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴 、y 轴上，对角线 BDkx 轴，反比例函数 y (k0)的图象经过矩形对角线的交点 E若点 A(2，0)、D(0，4)，x则反比例函数的解析式为_【模型七】“圆”背景下的中点问题点 P 是优弧 AB 上一动点，点 C 是 AB 的中点，则有以下结论：P A

8、CBC OCABO PC 平分APBEABCE CP CB2 (即CPB CBE )CPP2OEOEAABB1CC【模型分析】“弧中点”作为条件时往往与与垂径定理结合【模型实例】2021 湖南中考例 7如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点 D 是BC的中点，DEBC交 AC 的延长线于点 E（1）求证：直线 DE 与O 相切；（2）若O 的直径是 10，A45，求 CE 的长角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。 【模型实例】例 1如图，在ABC 中，ABAC=5，BC6，M 为 BC 的中点，MNAC 于点 N，求 MN 的长度。ANBCM【分析】连接 AM，根

9、据等腰三角形三线合一的性质得到 AMBC，根据勾股定理求得AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长【解答】解：连接 AM，ABAC，点 M 为 BC 中点，AMCM(三线合一)，BMCM，ABAC5，BC6，BMCM3，在 RtABM 中，AB5，BM3，根据勾股定理得：AM AB2BM2 52324，11AMCM 12 24又 MNAC AMMC MN22AC5【模型实例】深圳中考例 2如图，已知四边形 ABCD 为等腰梯形，ADBC，ABCD，AD 2E为 CD 中点，连接 AE，且 AE30，作 AEAF 交 BC 于 F，则 BF（）A1BC 51D【解答】解：如图

10、，延长 AE 交 BC 的延长线于 G， E 为 CD 中点，CEDE，ADBC，DAEG30，在ADE 和GCE 中，DAEGAEDGEC)，CEDEADEGCE(AAS)，CGAD 2AEEGAGAEEGAEAF，AFAGtan304，GFAGcos308，过点 A 作 AMBC 于 M，过点 D 作 DNBC 于 N，则 MNAD 2四边形 ABCD 为等腰梯形，BMCN，MGAGcos306，CNMGMNCGAFAE，AMBC，FAMG30，FMAFsin302，BFBMMF故选：D【模型实例】例 3如图，在ABC 中 ，D 是 BC 的中点，E 是 AD 上一点，BEAC，BE 的

11、延长线交 AC于点 F求证：AEFEAF AFEBDC证明：如图，延长 AD 到 M，使 DMAD，连接 BMD 是 BC 边的中点BDCD在ADC 和MDB 中A1F2E3BDCM CD BD ADC MDBAD MD ADCMDB（SAS）1M，ACMBBEACBEMBM3133212即AEFEAF问题探究：小红遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB6，AC4，AD 是中线，求 AD的取值范围她的做法是：延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：（1）小红证明BEDCAD 的判定定理是：_；(2)AD 的取值范围是_；方法运

12、用：（3）如图 2，AD 是ABC 的中线，在 AD 上取一点 F，连接 BF 并延长交 AC 于点 E，使 AEEF，求证：BFACAB（4）如图 3，在矩形 ABCD 中 在 BD 上取一点 F，以 BF 为斜边作 RtBEF，且 点BC BE1EF122G 是 DF 的中点，连接 EG，CG，求证：EGCG（1）由SAS可证BEDCAD；（2）由全等三角形的性质可得 ACBE4，由三角形的三边关系可求解；（3）延长 AD 至 H，使 ADDH，连 接 BH，由SAS可证BHDCAD，可得 ACBH，CADH，由等腰三角形的性质可得HBFH，可得 BFBHAC；（4）延长 CG 至 N，使 NGCG，连接 EN，CE，NF，由SAS可证NGFCGD，可得 CDNF，CDBNFG，通过证明BECFEN，可得BECFEN，可得BEFNEC90