分式函数的图像与性质Word文档格式.docx
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※学习探究
探究任务一：
函数y=ax+b（ab0）的图像与性质x
ax+b
问题1：
y=ax+b（a,b,c,dR）的图像是怎样的？
cx+d
2x-1
例1、画出函数y=2x-1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x-1
【分析】y=2x-1=2（x-1）+1=1+2，即函数y=2x-1的图像可以经由函数y=1x-1x-1x-1x-1x
的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：
1
y=
x
x-1
值域：
（-,2）U（2,+）；
对称中心：
（1,2）。
【反思】y=ax+b（a,b,c,dR）的图像绘制需要考虑哪些要素？
该函数的单调性由哪些cx+d
条件决定？
小结】y=ax+b（a,b,c,dR）的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx+d
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax+b分式函数y=ax+b（a,b,c,dR）的图像与性质
cx+d
（1）定义域：
｛x|x-｝；
c
（2）值域：
｛y|ya｝；
（3）单调性：
单调区间为（-,-d）,（-d,+）；
cc
dada
（4）渐近线及对称中心：
渐近线为直线x=-,y=，对称中心为点（-,）；
cccc
（5）奇偶性：
当a=d=0时为奇函数；
（6）图象：
如图所示
问题2：
y=ax+b（ab¹
0）的图像是怎样的？
例2、根据y=x与y=1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函
xx
数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。
绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：
函数的定义域为：
｛x|x0｝；
根据单调性定义，可以求出y=x+1的单调区间
增区间：
（-,-1]U[1,+）
减区间：
[-1,0）,（0,1]
函数的值域为：
（-,-2]U[2,+）
函数的奇偶性：
奇函数
函数图像的渐近线为：
y=x,x=0
函数的图像如下：
11
例3、根据y=x与y=1的函数图像，绘制函数y=x-1的图像，并结合函数图像指出函
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出y=x-1的图像
{x|x0}；
根据单调性定义，可以判断出y=x-1的单调性，单调增区间为：
（-,0）,（0,+）
R函数的奇偶性：
奇函数函数图像的渐近线为：
y=x,x=0函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子，y=-x-1与y=1-x的图像又是怎样的呢？
思考
y=2x+1与y=3x-2的图像是怎样的呢？
y=ax+b（a,bR,ab0）的图像呢？
xxx
可以根据y=x+1的图像，对称的画出y=-x-1的图像。
同样的道理y=1-x的图像与xxx
y=x-1的图像关于x轴对称，所以图像如下：
x
（iii）y=ax+b（a<
0,b>
0）x
（iv）y=ax+b（a0,b0）[来源:
学+科+网Z+X+X+K]x
y=ax+b（a,bR,ab0）的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
ax2+bx+c探究任务二：
函数y=ax+bx+c（a,b,c,d,e,fR）的图像与性质
dx2+ex+f
2x2+x+1问题3：
函数y=2x+x+1的图像是怎样的？
单调区间如何？
x+1
2x2+x+12（x+1）2-3（x+1）+22
【分析】y===2（x+1）+-3x+1x+1x+1
2左12下32x+x+1
y=2x+⎯⎯→y=2（x+1）+⎯⎯→y=
xx+1x+1
2x2+x+12
所以y=2x+x+1的图像与y=2x+2的图像形状完全相同，只是位置不同。
x+1x
图像的对称中心为：
（-1,-3）单调增区间为：
（-,-2]U[0,+）单调减区间为：
[-2,-1）,（-1,0]值域：
（-,-7]U[1,+）图像如下：
【小结】对于分式函数y=ax+bx+c（a,b,c,d,e,fR）而言，分子次数高于分母时，可
以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。
对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。
如：
x+11
2x+x+12x+x+1
我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.
1.定义域和有界性
当方程Dx2+Ex+F=0有解,设x1,x2（x1£
x2）是Dx2+Ex+F=0两个根.则函数定义域{xÎ
R|x¹
xÙ
x¹
x}.当Ax2+Bx+C¹
0,lim=¥
或Ax2+Bx+C¹
0,lim=¥
.
1211x→x22x→x
此时函数无界.当Ax12+Bx1+C=0且Ax22+Bx2+C=0,函数有界且为常值函数（很少遇到的
x2-1
情况,比如y=x-1）.所以通常当E2-4DF0,二次分式函数是无界的.x=x1,x=x2
x2-1
是函数的渐近线.
当E2-4DF0,函数定义域为R.函数有界.
2.单调性,极值,值域
当E2-4DF0,Dx2+Ex+F0,可以将函数化为
x的方程y（Dx2+Ex+F）=Ax2+Bx+C..即x2（Dy-A）+x（Ey-B）+Fy-C=0.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,当Dy-A0,0,当Dy-A=0,验证是否有解.这样就可以求出值域.值域的两个端点（方程的两个解）为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入x2（Dy-A）+x（Ey-B）+Fy-C=0函数解出x,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.
AA
limf（x）=A,根据极值与A的大小即可判断单调区间.E2-4DF0这种情况最多有三x→DD
个单调区间.
当E2-4DF0,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出yR.出现这种情况,求解
Dx2+Ex+F=0和Ax2+Bx+C=0.分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分
取x=1,y=0,所以函数值域y|y0且y1.
分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.
3x2+3x-2
y=3x2+3x-2.首先定义域{x|-x2+x+50}解得
-x2+x+5
{x|x1（1-21））x（1（1+21）}.分离分子中的二次项得y=-3+6x+13.
t-13令t=6x+13,x=t-13.代入得
6
6x+13
=-3+11
5+（-13+t）-（-13+t）
t
=-3+-67+32t-t2
36t1
67t8+-
36t369
当t>
0y=-3-
y=-3-67t8
+-
函数值域（-,-31+267）Ç
（-31+267,+）
有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像
y
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