分式函数的图像与性质Word文档格式.docx

1、 学习探究探究任务一：函数 y = ax + b （ab 0） 的图像与性质 xax + b问题1： y = ax + b （a,b,c, d R）的图像是怎样的？ cx + d2x-1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。x - 1【分析】y = 2x-1= 2（x-1）+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。如下表所示：1y=xx -1值域：（- ,2）U（2,+ ）；对称中心：（1,2）。【反思】 y =

2、ax + b （a,b,c,d R）的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？小结】 y = ax + b （a,b,c,d R）的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx + d需要借助“分离常数”的处理方法。ax + b 分式函数y = ax + b （a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域： x| x - ；c（2）值域：y| y a；（3）单调性：单调区间为（- ,-d）,（-d,+ ）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 x= - , y= ，对称中心为点 （- , ） ；cc cc（5）奇偶性：当a =

3、d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2： y = ax + b （ab 0） 的图像是怎样的？例 2、根据 y= x与 y = 1 的函数图像，绘制函数 y=x+1 的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性， 凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。 绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：x|x 0；根据单调性定义，可以求出y = x + 1 的单调区间增区间：（- ,-1U1,+ ）减区间：-1,0）,（0,1函数的

4、值域为：（- ,-2U2,+ ）函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为： y= x, x = 0函数的图像如下：11例 3、根据 y= x与 y = 1 的函数图像，绘制函数 y=x-1 的图像，并结合函数图像指出函【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出y = x - 1的图像x|x 0；根据单调性定义，可以判断出y = x - 1的单调性，单调增区间为：（- ,0）,（0,+ ） R 函数的奇偶性：奇函数 函数图像的渐近线为： y= x, x = 0 函数的图像如下：【反思】结合刚才的两 个例子， y=-x-1 与 y = 1 - x的图像又是怎样的呢？思考y=2x+1 与 y=3x-2 的

5、图像是怎样的呢？ y =ax+ b （a,b R, ab 0）的图像呢？x x x可以根据y=x+1 的图像，对称的画出y = -x - 1的图像。同样的道理y = 1 - x的图像与 x x xy = x - 1的图像关于x轴对称，所以图像如下： x（iii） y = ax + b （a 0） x（iv） y = ax + b （a 0, b 0） 来源:学+科+网 Z+X+X+K xy =ax+ b （a,b R, ab 0）的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。ax 2 +bx +c 探究任务二：函数y= ax +bx+c （a,b,c,d,e, f R）的图像与性质dx 2

6、 +ex +f2x2 +x+1 问题3：函数y= 2x +x+1的图像是怎样的？单调区间如何？x + 12x2+ x+1 2（x+1）2-3（x+1）+2 2【分析】 y= = = 2（x+1） + -3 x + 1 x + 1 x + 12 左1 2 下 3 2x+x+1y=2 x+ y= 2（ x+ 1） + y =x x +1 x +12x2 +x+1 2所以y= 2 x + x +1的图像与y = 2x + 2的图像形状完全相同，只是位置不同。x + 1 x图像的对称中心为： （-1, -3） 单调增区间为：（- ,-2U0,+ ） 单调减区间为：-2,-1）,（-1,0 值域： （-

7、 , -7 U1, + ） 图像如下：【小结】对于分式函数y= ax +bx+c （a,b,c,d,e, f R）而言，分子次数高于分母时，可以采用问题 3 中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的 四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次 数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为 0），再着力研 究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：x +1 12x+x+12x+x+1我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性当方程Dx2 + Ex + F = 0有解,设x1,x2

8、（x1 x2）是Dx2 + Ex + F=0两个根 .则函数定义 域xR|x x xx .当Ax2+Bx + C 0, lim = 或Ax 2+Bx + C 0, lim =.12 1 1 x x 2 2 x x此时函数无界.当Ax12+ Bx1 + C=0且Ax22+ Bx2 +C=0,函数有界且为常值函数（很少遇到的x2 -1情况,比如y= x -1 ）.所以通常当E2 - 4 DF 0 ,二次分式函数是无界的.x=x1,x=x2x2 - 1是函数的渐近线.当E2-4DF 0 ,函数定义域为R .函数有界.2. 单调性,极值,值域当 E2-4DF 0, Dx2+Ex+F 0 , 可 以 将

9、 函 数 化 为 x的方程y（Dx2+Ex+F）=Ax2+Bx+C. .即x2（Dy-A）+x（Ey-B）+Fy-C=0.对于 值域中的每一个 y,方程都有实数解,当Dy-A 0, 0,当Dy- A=0,验证是否有解 .这 样就可以求出值域.值域的两个端点（方程的两个解）为函数极大值和极小值.但为了计算在何 处取得极值,需将极值代入x2（Dy-A）+x（Ey-B）+Fy-C=0函数解出x ,计算可能有 点慢.下文会给出一个简便的计算方法.AAlim f（x）= A ,根据极值与 A 的大小即可判断单调区间. E2 - 4 DF 0这种情况最多有三 x D D个单调区间.当E2-4DF 0 ,用

10、判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y R .出现这种情况,求解Dx2+Ex+F =0和Ax2+Bx+C=0 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分取x=1,y=0,所以函数值域 y| y 0且y 1 .分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例 子.3x2 +3x-2y = 3x2+3x-2 . 首 先 定 义 域 x|-x2 +x+5 0 解得-x2 + x + 5x|x 1（1- 21） x （1（1+ 21） .分离分子中的二次项得y = -3+ 6x+13 .t - 13 令t =6x+13,x= t-13 .代入得66x +13= -3 + 115+ （-13+ t） - （-13+t）t= -3+ -67+32t-t236t 167 t 8 +-36t 36 9当t 0 y = - 3-y = -3- 67 t 8+-函数值域（- ,- 31+ 2 67 ） （-31+2 67 ,+ ）有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像y