曾谨言量子力学第五版答案.docx
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曾谨言量子力学第五版答案
曾谨言量子力学第五版答案
【篇一：
量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案】
量子力学的诞生
1
m?
2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。
2
p?
2m[e?
v（x）]v（）
n?
1,2,?
解：
能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为x?
a
（1）其中a由下式决定：
e?
v（x）x?
a?
由此得a?
1
m?
2a2。
?
a0ax2
2e/m?
2，
（2）
x?
?
a即为粒子运动的转折点。
有量子化条件
p?
得a?
2
a2?
nh
代入（en
x,y,z轴三个x
xx
即px?
2a?
nxh（2a：
一来一回为一个周期）
?
px?
nxh/2a,
同理可得，py?
nyh/2b,pz?
nzh/2c,
nx,ny,nz?
1,2,3,?
粒子能量
enxnynz
1?
2?
2222?
（px?
py?
pz）?
2m2m
222?
?
nxnyn?
?
?
2?
z
22?
?
abc?
?
nx,ny,nz?
1,2,3,?
1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。
提示：
利用
?
2?
2
p?
d?
?
nh,n?
1,2,?
p?
是平面转子的角动量。
转子的能量e?
p?
/2i。
解：
平面转子的转角（角位移）记为?
。
它的角动量p?
?
i?
（广义动量），p?
是运动惯量。
按量子化条件
.
?
2?
p?
dx?
2?
p?
?
mh,m?
1,2,3,?
?
因而平面转子的能量
p?
?
mh，
2
em?
p?
/2i?
m2?
2/2i，
m?
1,2,3,?
1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值
.
设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单
bevc又利用量子化条件,令电荷角动量转角
2?
pdq?
?
mrvd?
?
2?
mrv?
nh
（2）
12be?
n
mv?
22mc
即mrv?
nh（3）由
（1）
（2）求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能
v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?
r2*b
?
?
=,v是电荷的旋转频率,v?
代入前式得
2?
rccc
be?
n
（符号是正的）2mc
be?
n
点电荷的总能量=动能+磁势能=e=（n?
1,2,3）
2mc
运动电荷的磁势能=
1.5，1.6未找到答案
1.7
（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律
nsin?
?
nsin?
1
1
2
2
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理
射定律
?
0这将导得下述折
n
sin?
?
nsin?
1
3
3
1
媒质到另一种媒质e仍不变，仍有?
e是粒子能量，从一种?
pdl?
0a到定点b的
i?
n设ai?
n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而
?
，?
1
2
存在约束条件：
atg?
1?
btg?
2?
c
（2）
求
（1）的变分,而将
?
?
1
2
看作能独立变化的,有以下极值条件
?
i?
n1asec?
1tg?
1d?
1?
n2bsec?
2tg?
2d?
2?
0（3）
再求
（2）的变分asec
2
2
?
bsec?
1d?
1?
2d?
2?
?
c?
0
（3）与（4）消去d
?
和d?
12
2
2
得
nsin?
?
nsin?
1
1
（5）
[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有:
i?
n
1
a2?
x2?
n2b2?
（c?
x2）
求此式变分,令之为零,有：
?
i?
x?
x
1
a?
x
22
?
（c?
x）?
x
2
?
（c?
x）
22
?
0
这个式子从图中几何关系得知,就是（5）.
（2）按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度
v
g
光程原理作?
?
依前题相速
v
p
?
c2
v
而
v
g
?
c2
g
v
?
cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用
p
量原理仍可以化成最小光程原理.
?
?
ndl?
0
前一非难是将光子的传播速度v看作相速度
v
p
的误解.
1.8对高速运动的粒子（静质量m）
（3）
.计算速度并证明它大于光速.
（解）根据（3）式来组成哈氏正则方程式组:
q
?
?
i
?
h?
本题中
i
q
?
i
?
v,
p?
p,因而
i
?
m2c4?
c2p2?
v?
?
p
c2pmc?
cp
2
4
2
2
（4）
从前式解出p（用v表示）即得到
（2）.又若将
（2）代入（3）,就可得到
（1）式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度
v
g
间的关系.运用德氏的假设:
p?
?
k于（3）式右方,又用
e?
?
?
于（3）式左方,遍除h:
m2c422
?
?
?
ck?
?
（k）2
?
按照波包理论，波包群速度
v
g
是角频率丢波数的一阶导数：
?
?
vg?
k
=
m2c422
?
ck2
?
c2kmc22
?
ck2
?
2
4
?
c2pmc?
cp
2
4
2
2
最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度
v
g
?
v。
v
g
是由下式规定
vp?
?
?
?
?
k
（?
是频率）
利用（5）式得知
m2c42?
?
c?
c（6）
vp?
2k2
e?
p
补充：
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
?
?
x?
0,x?
a
v（x）?
?
0,0?
x?
a?
试用debroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
【篇二：
《量子力学导论》习题答案（曾谨言版,北京大学）1】
/p>?
?
x?
0,x?
a
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，v（x）?
?
0,0?
x?
a?
试用debroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：
据驻波条件，有a?
n?
?
2
（n?
1,2,3,?
）
?
?
?
2a/n
（1）
又据debroglie关系p?
h/?
（2）而能量
e?
p2/2m?
?
2/2m?
2
h2n2?
2?
2n2
?
?
2m?
4a22ma2
?
n?
1,2,3,?
?
（3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：
除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x方向，有
p
x
?
dx?
nxh,
?
nx
?
1,2,3,?
?
即px?
2a?
nxh（2a：
一来一回为一个周期）
?
px?
nxh/2a,
同理可得，py?
nyh/2b,pz?
nzh/2c,
nx,ny,nz?
1,2,3,?
粒子能量enxnynz
1?
2?
2222?
（px?
py?
pz）?
2m2m
nx,ny,nz?
1,2,3,?
222?
?
nxnynz?
?
?
?
?
a2b2c2?
?
?
1.3设质量为m的粒子在谐振子势v（x）?
提示：
利用p?
dx?
nh,
1
m?
2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。
2
p?
2m[e?
v（x）]v（）
n?
1,2,?
解：
能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为x?
a
（1）
其中a由下式决定：
e?
v（x）x?
a?
由此得a?
1
m?
2a2。
?
a0ax2
2e/m?
2，
（2）
x?
?
a即为粒子运动的转折点。
有量子化条件
?
?
?
p?
dx?
2?
?
dx?
2m?
?
?
a
?
?
2m?
a2?
得a?
2
?
2
?
m?
?
a2?
nh
nh2?
n
?
（3）m?
?
m?
代入
（2），解出en?
n?
?
n?
1,2,3,?
（4）
ua2u22
a?
udu?
a?
u?
arcsin?
c
22a
2
2
积分公式：
?
2?
1.4设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。
提示：
利用
?
2
p?
d?
?
nh,n?
1,2,?
p?
是平面转子的角动量。
转子的能量e?
p?
/2i。
解：
平面转子的转角（角位移）记为?
。
它的角动量p?
?
i?
（广义动量），p?
是运动惯量。
按量子化条件
.
?
2?
p?
dx?
2?
p?
?
mh,m?
1,2,3,?
?
因而平面转子的能量
p?
?
mh，
2
em?
p?
/2i?
m2?
2/2i，
m?
1,2,3,?
第二章波函数与schr?
dinger方程
2.1设质量为m的粒子在势场v（r?
）中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为e?
?
d3
r?
?
，
?
?
2
?
2m
?
?
*?
?
?
*v?
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式?
w?
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?
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2?
?
?
*s?
2m?
?
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*?
?
?
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?
?
?
t?
?
?
（能流密度）?
证：
（a）粒子的能量平均值为（设?
已归一化）
?
?
2e?
?
?
*
?
?
?
2?
2m?
?
v?
?
?
d3
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v
（1）
?
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v?
?
d3r?
*v?
（势能平均值）
（2）
t?
?
d3
r?
*
?
?
?
?
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22?
2m?
?
?
?
?
（动能平均值）?
?
?
22m
?
d3r?
?
?
?
?
*?
?
?
?
?
?
?
*?
?
?
?
?
?
?
其中t的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。
?
2t?
2m
?
d3r?
?
*?
?
?
（3）结合式
（1）、
（2）和（3），可知能量密度?
?
?
2
2m
?
?
*?
?
?
?
?
*v?
（4）且能量平均值e?
?
d3
r?
?
。
（b）由（4）式，得
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2
?
...
?
t?
2m?
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2m?
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因此
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e?
（?
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几率密度）
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s（定态波函数，几率密度?
不随时间改变）
所以
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w?
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s?
0。
?
t
2.2考虑单粒子的schr?
dinger方程
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r,t?
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r,t?
（1）?
t2m
v1与v2为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积?
内的几率随时间的变化为
?
2v2d?
3***
dr?
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