曾谨言量子力学第五版答案.docx

1、曾谨言量子力学第五版答案曾谨言量子力学第五版答案【篇一：量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案】 量子力学的诞生 1 m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。 2 p?2me?v(x)v() n?1,2,?, 解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1） 其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a? 1 m?2a2。 ?a 0 a x 2 2e/m?2 ， （2） x?a即为粒子运动的转折点。有量子化条件 p?得a? 2 a2?nh 代入（ en x,y,z轴三个x xx 即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期） ?px?nxh/2a, 同理可得

2、， py?nyh/2b, pz?nzh/2c, nx,ny,nz?1,2,3,? 粒子能量enxnynz 1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m 222?nxnyn? ?2?z 22?abc? nx,ny,nz?1,2,3,? 1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。 提示：利用 ? 2? 2 p?d?nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量p?i?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件 . ? 2? p?dx?2?p? ?mh,m?1,2,3,? ? 因而平面转子的能量 p?mh，

3、 2 em?p?/2i?m2?2/2i， m?1,2,3,? 1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值.,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单 bevc又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 2? pdq? mrvd?2?mrv?nh (2) 12be?n mv? 22mc 即 mrv?nh(3) 由(1)(2)求得电荷动能= 再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能 v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b ?=,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得 2?rcccbe?n (符号是正的) 2mc be?n 点电荷的总能量=动能+磁势能=e=

4、 ( n?1,2,3) 2mc 运动电荷的磁势能= 1.5，1.6未找到答案 1.7（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律 nsin?nsin? 1 1 2 2 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理射定律 ?0这将导得下述折 nsin?nsin? 1 3 3 1 媒质到另一种媒质e仍不变，仍有? e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的 i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而 ?，? 1 2 存在约束条件： atg?1?btg?2?c（2） 求(1)的变分,而将 ?,? 1 2 看作能独立变化的,

5、有以下极值条件 ?i?n1asec?1tg?1d?1?n2bsec?2tg?2d?2?0 (3) 再求（2）的变分asec 2 2 ?bsec?1d?1?2d?2?c?0(3)与(4)消去d ?和d? 12 2 2 得 nsin?nsin? 1 1 (5) 乙法见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: i? n 1 a2?x2?n2b2?(c?x2) 求此式变分,令之为零,有： ?i? x?x 1 a?x 22 ? (c?x)?x 2 ?(c?x) 22 ?0 这个式子从图中几何关系得知,就是(5). (2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度 v g 光程原理作? ?,依

6、前题相速 v p ? c2 v ,而 v g ? c2 g v ?cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用 p 量原理仍可以化成最小光程原理. ?ndl?0 前一非难是将光子的传播速度v看作相速度 v p 的误解. 1.8对高速运动的粒子(静质量m)(3) .计算速度并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: q ? ? i ?h? ,本题中 i q ? i ?v, p?p,因而 i ? m2c4?c2p2?v?p c2pmc?cp 2 4 2 2 (4) 从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和

7、它的物质波的群速度 v g 间的关系.运用德氏的假设: p?k于(3)式右方, 又用e?于(3)式左方,遍除h: m2c422 ?ck?(k) 2 ? 按照波包理论，波包群速度 v g 是角频率丢波数的一阶导数： ?vg?k = m2c422 ?ck 2 ? c2kmc22 ?ck2 ? 2 4 ? c2pmc?cp 2 4 2 2 最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度 v g ?v。 v g 是由下式规定 vp? ? k （?是频率） 利用（5）式得知 m2c42?c?c （6）vp?2k2 e?p 补充： 1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， ?

8、,x?0,x?a v(x)? 0,0?x?a? 试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。【篇二：量子力学导论习题答案(曾谨言版,北京大学)1】/p ?,x?0,x?a 1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， v(x)? 0,0?x?a? 试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 a?n? ? 2 (n?1,2,3,?) ?2a/n （1） 又据de broglie关系 p?h/?（2） 而能量 e?p2/2m?2/2m?2 h2n2?2?2n2 ?2m?4a22ma2 ?n?1,2,3,? （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别

9、为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有 p x ?dx?nxh, ?nx ?1,2,3,? 即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期） ?px?nxh/2a, 同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c, nx,ny,nz?1,2,3,? 粒子能量 enxnynz 1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m

10、nx,ny,nz?1,2,3,? 222?nxnynz? ?a2b2c2? 1.3设质量为m的粒子在谐振子势v(x)? 提示：利用 p?dx?nh, 1 m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。 2 p?2me?v(x)v() n?1,2,?, 解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1）其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a? 1 m?2a2。 ?a 0ax 2 2e/m?2 ， （2） x?a即为粒子运动的转折点。有量子化条件?p?dx?2? ?dx?2m?a ?2m?a2? 得a? 2 ? 2 ?m?a2?nh nh2?n ?（3） m?m? 代入（2）

11、，解出 en?n?, n?1,2,3,?（4） ua2u22 a?udu?a?u?arcsin?c 22a 2 2 积分公式： ? 2? 1.4设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。 提示：利用 ? 2 p?d?nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量p?i?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件 . ? 2? p?dx?2?p? ?mh,m?1,2,3,? ? 因而平面转子的能量 p?mh， 2 em?p?/2i?m2?2/2i， m?1,2,3,? 第二章 波函数与schr?dinger方程

12、2.1设质量为m的粒子在势场v(r? )中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 e? d3 r?， ?2 ?2m ?*?*v?（能量密度） （b）证明能量守恒公式 ?w?t?s?0?2?*s?2m?*?t?t?（能流密度） ? 证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化） ?2e?* ?2?2m?v?d3 r?t?v（1） ? v?d3r?*v?（势能平均值） （2） t?d3 r?* ?22? 2m? (动能平均值) ?22m ?d3r?*?*? 其中t的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。?2t?2m ?d3r?*?（3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度?2

13、 2m ?*?*v?, （4） 且能量平均值 e? d3 r? 。 （b）由（4）式，得 ?2 ?. ?t?2m? ?*?v?*v?t?t? ?t?t ?2?.2m?.?*?.?.2?2*?. ? ?t?t?t?t?v?*v ?t?t .?2?. ?s?22?*?t?2m?2 ?v?t?2m?v? ? ?s?e?.?. * ?t?t? ? 因此? ?s?e? （? ：几率密度） ?t? ?s （定态波函数，几率密度?不随时间改变） 所以 ?w? ?s?0 。 ?t 2.2考虑单粒子的schr?dinger方程 ?22? i?r,t?r,t?v1?r?iv2?r?r,t?（1） ?t2m v1与v2为实函数。 （a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为 ?2v2d?3* dr?ds?d