3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修.docx

3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修.docx

《3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修

（建议用时：

50分钟）

1.（2015·江苏卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：

△ABD∽△AEB.

证明　因为AB＝AC，

所以∠ABD＝∠C.

又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，

又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.

2.（2015·湖南卷）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：

（1）∠MEN＋∠NOM＝180°；

（2）FE·FN＝FM·FO.

证明　

（1）如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.

（2）由

（1）知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得

FE·FN＝FM·FO.

3.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点.若CF∥AB.

证明：

（1）CD＝BC；

（2）△BCD∽△GBD.

证明　

（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.

因为CF∥AB，所以＝，

所以BC＝AF，故CD＝BC.

（2）因为FG∥BC，所以＝，故GB＝CF.

由

（1）可知BD＝CF，所以GB＝BD.

所以∠BGD＝∠BDG，

因为CD＝BC，

所以∠CBD＝∠CDB.

因为∠BGD＝∠EFC＝∠DBC，

故△BCD∽△GBD.

4.（2015·全国Ⅰ卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.

（1）若D为AC的中点，证明：

DE是⊙O的切线；

（2）若OA＝CE，求∠ACB的大小.

（1）证明　如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.

在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，

则∠OBE＝∠OEB.

又∠ACB＋∠ABC＝90°，

所以∠DEC＋∠OEB＝90°，

故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.

（2）解　设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2，BE＝.由射影定理可得AE2＝CE·BE，

所以x2＝，即x4＋x2－12＝0.

可得x＝，所以∠ACB＝60°.

5.（2015·陕西卷）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.

（1）证明：

∠CBD＝∠DBA；

（2）若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径.

（1）证明　因为DE为⊙O直径，

则∠BED＋∠EDB＝90°，

又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，

从而∠CBD＝∠BED，

又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，

所以∠CBD＝∠DBA.

（2）解　由

（1）知BD平分∠CBA，

则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3，

所以AC＝＝4，所以AD＝3，

由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，

故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.

6.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.

（1）求证：

FB＝FC；

（2）求证：

FB2＝FA·FD；

（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.

（1）证明　因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.

因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.

因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，

所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.

（2）证明　因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，

∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，

所以＝，所以FB2＝FA·FD.

（3）解　因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，

又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，

∠DAC＝∠EAC＝60°，因为BC＝6，

所以AC＝BCtan∠ABC＝2，

所以AD＝＝4（cm）.

7.（2015·全国Ⅱ卷）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.

（1）证明：

EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积.

（1）证明　由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，

故AD⊥EF.从而EF∥BC.

（2）解　由

（1）知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD所在直线是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.

连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为××－×

（2）2×＝.

8.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆.

（1）证明：

CA是△ABC外接圆的直径；

（2）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

（1）证明　因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径.

（2）解　连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

（建议用时：

50分钟）

1.（2015·江苏卷）已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.

解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.

圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.

则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

即（x－1）2＋（y＋1）2＝6，所以圆C的半径为.

2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上.

（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；

（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系.

解　

（1）由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，

所以圆C的圆心为（1，0），半径r＝1，

因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，

所以直线l与圆C相交.

3.（2013·新课标全国Ⅰ卷）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）.

解　

（1）∵C1的参数方程为

∴

∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，

即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，

化简得：

ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，

解方程组

得或

∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.

∴C1与C2交点的极坐标为，.

4.在直角坐标系xOy中，圆C1：

x2＋y2＝4，圆C2：

（x－2）2＋y2＝4.

（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；

（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.

解　

（1）圆C1的极坐标方程为ρ＝2，

圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

解得ρ＝2，θ＝±，

故圆C1与圆C2交点的坐标为，.

注：

极坐标系下点的表示不唯一.

（2）法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1，），（1，－）.

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.

法二　将x＝1代入

得ρcosθ＝1，从而ρ＝.

于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为

－≤θ≤.

5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）.M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.

（1）求C2的方程；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

解　

（1）设P（x，y），则由条件知M.

由于M点在C1上，所以即

从而C2的参数方程为（α为参数）

（2）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.

6.（2015·湖南卷）已知直线l：

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.

解　

（1）ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①

将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②

（2）将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.

（1）求C1与C2交点的极坐标；

（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值.

解　

（1）圆C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

解得

所以C1与C2交点的极坐标为，，

注：

极坐标系下点的表示不唯一.

（2）由

（1）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0，2），（1，3）.

故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，

由参数方程可得y＝x－＋1，

所以解得a＝－1，b＝2.

8.已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.

解　

（1）由已知可得A，

B，

C，

D，

即A（1，），B（－，1），C（－1，－），D（，－1）.