自动控制原理习题及其解答第三章docx.docx
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第三章
例3・1系统的结构图如图3」所示。
己知传递函数0（5）=10/（0.25+1）0今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间6减小为原来的0.1倍，并保证总放犬系数不变。
试确定参数Kh和K。
的数值。
解首先求出系统的传递函数妙（s）,并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间入与其时间常数成正比。
根据要求，总传递函数应为
C（s）_K°G⑴_10K。
R（s）1+KhG（s）0.2s+1+10K”
10K。
1+10心-、
-H0（$）
（0.2…“以丿1+10心5+
比较系数得
叭=10V1+10心[1+10心=10
解之得
Kh=0.9、K°=10
解毕。
例3・10某系统在输入信号心）=（l+/）l（f）作用下，测得输岀响应为:
c（t）=（t+0.9）-0.9严（G0）
已知初始条件为零，试求系统的传递函数0（3）。
解因为
R©）=
109
C（5）=L[c（0]=^+—
5"5
故系统传递函数为
解毕。
例3-3设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解由图得闭坏传递函数为
系统是一阶的。
动态性能指标为
td=Q.69（T+bK）tr=2.2（T+bK）ts=3（T+bK）
因此，b的取值人将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
解毕。
例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3・34所示。
试确定系统的传递函数。
图3-34二阶控制系统的单位阶跃nitict?
解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3。
系统模型为
然后由响应的M“％、「及相应公式，即可换算出5。
4—3
T"
==33%
fp~/—r-01
换算求解得：
歹=0.33、©=33.2
解毕。
例3-13设系统如图3-35所示。
如果要求系统的超调量等于15%,峰值时间等于0.85,试确定增益K】和速度反馈系数&。
同时，确定在此K】和K数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
解由图示得闭坏特征方程为
$・+（1+K[KI）s+Ar1=0
即
l加上1+Kg：
2®
由已知条件
==0.15
tp-:
-0.8
©身
解得
岳=0.517,©=4.5885-1
于是
（-21.05K,-2^,C°"-0.178
£
1+0.6£+0.2£2八…
乙_“_o.297s
◎
解毕。
例3・14设控制系统如图3-36所示。
试设计反馈通道传递函数H（s）,使系统阻尼比提高到希望的J值，但保持增益K及自然频率血不变。
解由图得闭环传递函数
0（S）=
图g例3・14控制系统结构图s2++研+K忒H（s）
在题意要求下，应取H（s）=Kts
此时，闭环特征方程为：
s'+（2g+KK®）©s+co；=0
令：
2g+KKgf解出,Kf=2（§—§）/K®
故反馈通道传递函数为：
g
解毕。
例3-15系统特征方程为
56+30s5+20b+10s'+5代+20=0试判断系统的稳定性。
解特征式各项系数均人于零，是保证系统稳定的必要条件。
上述方程中S—次项的系
数为零，故系统肯定不稳定。
解毕。
例3・16已知系统特征方程式为
s4+8，+18"+16s+5=0
试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解劳斯表为
18
16
例3・17己知系统特征方程为
55+54+2s‘+2s2+3$+5=0
试判断系统稳定性。
解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。
如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数£来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯行列式为
55123
54125
s'wa0—2
2w+2=
5"5
£
j_4£_4_5，
2w+2
由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数£来代替；第四行第一列系数为（2£+2/£,当£趋于零时为正数；第五行第一列系数为（一4£—4—5卩）/（2£+2）,当£趋于零时为-2。
由于第一列变号两次，故有两个根在右半S平面，所以系统是不稳定的。
例3・18已知系统特征方程为
十+2,+8b+12,+20，+16s+16=0
试求：
（1）在S右半平面的根的个数；
（2）虚根。
解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轨虚根或（和）共轨复数根。
此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。
对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。
劳斯行列表为
S6
1
8
20
16
S5
2
12
16
s4
2
12
16
53
0
0
由于，行中各项系数全为零,
于是可利用S4行中的系数构成辅助多项式，即
F（s）=2b+122+16
求辅助多项式对$的导数，得
原劳斯行列表中卩行各项,变为
用上述方程式的系数，即8和24代替。
此时，劳斯行列表
20
2.67
12
16
12
16
24
16
新劳斯行列表中第一列没有变号，对原点对称的根可解辅助方程求得。
令
所以没有根在右半平面。
得到
+122+16=0
s=±7V2和s=±j2
G（s）=“
s（as+l）（bs^+cs+l）
（1）
试求:
位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数;
（2）当参考输入为rxl（r）,Xl（r）和卅Xl（f）时系统的稳态误差。
解根据误差系数公式，有位置误差系数为
K=I1111G（s）=liin；=oo
•to*to+l）（bs~+cs+1）
速度误差系数为
Kv=I1111sG（s）=liins=K
$T0、tos（qs+-+cs+1）
加速度误差系数为
Ka=I1111$'G（s）=liins2二=0
yogo$（处+]）（b$・+cs+1）
对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。
参考输入为rxl（Q,即阶跃函数输入时系统的稳态误差为
j===u
"1+K“1+s
参考输入为rtxl（r）,即斜坡函数输入时系统的稳态误差为
e=—=—
MKvK
参考输入为rrxl（O,即抛物线函数输入时系统的稳态误差为
2r
2r
==co
例3・20单位反馈控制系统的开环传递函数为
G（s）=
$（l+7]s）（l+0s）
输入信号为r（r）A为常量，69=0.5弧度/秒。
试求系统的稳态误差。
解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。
此时，输入信号的一般形式可表示为
系统的稳态误差，町应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。
所以，系统的稳态误差可按下式计算：
对于本例，系统的稳态误差为
本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以
Kp=s
K严卿G⑸弋Fg+G）（]+◎厂10
系统的稳态误差为
解毕。
例3・21控制系统的结构图如图3-37所示。
假设输入信号为r（t）=at（Ci为任意常数）。
证明：
通过适当地调节K的值，该系统对•斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。
图3-37例3-21控制系统的结构图
解系统的闭坏传递函数为
C（5）_K（K（s+l）
R（s）s（Ts+1）+K
小K（K”s+l）门
C（S）=Ts^s+K'R（S）
因此
当输入信号为时，系统的稳态误差为
rd[C+（l—KK,）]aQ_KKJ
=Inn=
goTs2+s+KK
要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即如=0,必须满足
\-KKt=0
所以
K:
=\/K
解毕。
例3・22设单位负反馈系统开环传递函数为G（S）=Kr-^~。
如果要求系统的位置稳
75+1
态误差弘=0,单位阶跃响应的超调量M“％=4・3%,试问心、7；各参数之间应保持什么关系？
解开环传递函数
尺人#KJT_研
$（7\+l）$（$+丄）5（5+2^,）
显然
Il
解得:
KpKT=1/4^
M/,%=严疔x100%<4.3%
故应有W20.707。
于是，各参数之间应有如下关系
Kf,KJ<0.5
本例为I型系统，位置稳态误差6尸0的要求自然满足。
解毕。
例3-23设复合控制系统如图3-38所示。
其中
（=2K：
=1,T2=0.25s,K艮=1
试求«f）=（l+f+F/2）l（f）时，系统的稳态误差。
解闭坏传递函数
图3-38复合
等效单位反馈开环传递函数
6（»匹-=2（2"1）
1—0（S）52
表明系统为II型系统，且
K“=K=2
当r（r）=（l+r+f2/2）l（o时，稳态误差为
ess=l/Ka=0.5
解毕。
例3・24己知单位反馈系统的开环传递函数G（s）=K/s（Ts+l）.试选择参数K及
丁的值以满足下列指标:
（1）当心）=/时，系统的稳态误差
（2）当时，系统的动态性能指标M“％W30%,ts^Q3s（A=5%）
解e„=l<0.02
开环增益应取KM50o现取K=60o因
故有
了=1/2做「a）;=K/T
于是co”=2Kg取M〃％=0・2%,计算得
5=54.72
此时
ts=3.5/纠=0.14<0.3（5）
满足指标要求。
最后得所选参数为：
K=607=0.02⑸
解毕。
例3・25—复合控制系统如图3・39所示。
K］、Tn人均为已知正值。
当输入量心）=广/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数a和bo
解系统闭坏传递函数为
C（s）=Gfiifj+幻=G/G+G）
R（s）1+G］丿1+G&r
误差为
代入R（s）=l/s‘及G“G「G八得
C（s）_K2[as2+（b+K{T2）s+KJ
丽一T&s'+（7；+7；）$'+（1+K'KJJs+K、K,
闭坏特征方程为
7]T253+（7；+T2）s2+（1+（心0）$+K\K?
=0
易知，在题设条件下，不等式
（7；+0）（1+（KJ；）>（K/0
成立。
由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数a、b无关。
此时，讨论稳态误差是有意义的。
而
_7]T253+（7]+T2-K2a）s2+（1-K2b）s1
§-+（T[+T2）s2+（l+KlK2T2）s+KlK2?
Tl+T2-K2a=Q
则有
系统的稳态误差为
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