第九章92第1课时总体取值规律的估计Word文档格式.docx
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频数
12
13
24
15
16
7
则样本数据落在[10,40）上的频率为（ ）
A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64
答案 C
解析 由题意可知样本数据落在[10,40）的频数为13＋24＋15＝52，所以频率为
＝0.52.故选C.
反思感悟 频率分布是指各个小范围内的样本数据所占比例的大小.
跟踪训练1 容量为100的某个样本，数据拆分为10组，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组频率为________.
答案 0.12
解析 设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1，而由频率和为1得0.79＋（x－0.05）＋（x－0.1）＋x＝1，解得x＝0.12.
二、画频率分布直方图
例2 为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高（单位：
cm）进行了测量，结果如下：
154 159 166 169 159 156 166 162 158 159
156 166 160 164 160 157 151 157 161 162
158 153 158 164 158 163 158 153 157 168
162 159 154 165 166 157 155 146 151 158
160 165 158 163 163 162 161 154 165 161
162 159 157 159 149 164 168 159 153 160
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图.
解 第一步，求极差：
上述60个数据中最大为169，最小为146.故极差为169－146＝23（cm）.
第二步，确定组距和组数，可取组距为3cm，
则组数为
＝7
，可将全部数据分为8组.
第三步，分组[145.5,148.5），[148.5,151.5），[151.5，154.5），[154.5,157.5），[157.5,160.5），[160.5,163.5），[163.5,166.5），[166.5,169.5].
第四步，列频率分布表：
频率
[145.5,148.5）
1
0.017
[148.5,151.5）
3
0.050
[151.5,154.5）
6
0.100
[154.5,157.5）
8
0.133
[157.5,160.5）
18
0.300
[160.5,163.5）
11
0.183
[163.5,166.5）
10
0.167
[166.5,169.5]
合计
60
1.000
第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图：
反思感悟
（1）分点的决定方法：
若数据为整数，则减去0.5作为分点数；
若数据是小数点后一位的数，则减去0.05作为分点数；
依次类推.
（2）画频率分布直方图中小矩形的高的方法：
①小矩形的高＝
；
②假设频数为1的小矩形的高为h，则频数为k的小矩形的高为kh.
跟踪训练2 为了了解九年级学生中女生的身高（单位：
cm）情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：
[145.5,149.5）
0.02
[149.5,153.5）
4
0.08
[153.5,157.5）
20
0.40
[157.5,161.5）
0.30
[161.5,165.5）
0.16
[165.5,169.5]
m
n
M
N
（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少；
（2）画出频率分布直方图；
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率.
解
（1）方法一 N＝1.00，n＝1－（0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16）＝0.04，
＝
∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.
方法二 M＝
＝50，m＝50－（1＋4＋20＋15＋8）＝2，
N＝1.00，n＝
＝0.04.
（2）作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示
，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示.
（3）由频率分布直方图可知，样本中身高在[153.5,157.5）范围内的人数最多，且身高在161.5cm以上的频率为0.16＋0.04＝0.2，由此可估计全体女生中身高在[153.5，157.5）范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率为0.2.
三、频率分布直方图的应用
例3 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，则该校高一年级全体学生的达标率约是多少？
解
（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
因为第二小组的频率＝
所以样本容量＝
＝150.
（2）由直方图可估计该校高一年级全体学生的达标率约为
×
100%＝88%.
反思感悟
（1）频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×
＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③
＝样本容量.
（2）频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.
跟踪训练3 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：
小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
[0,2）
2
[2,4）
[4,6）
17
[6,8）
22
5
[8,10）
25
[10,12）
[12,14）
[14,16）
9
[16,18]
100
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.
解
（1）根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10（名），
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－
＝0.9.
故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的比例为0.9.
（2）课外阅读时间落在[4,6）组内的有17人，频率为0.17，所以a＝
＝0.085.
课外阅读时间落在[8,10）组内的有25人，频率为0.25，
所以b＝
＝0.125.
（3）样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.总体容量越大，估计越精确
B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确
D.样本容量越小，估计越精确
解析 由用样本估计总体的性质可得.
2.一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
则样本在[10,50）内的频率为（ ）
A.0.5B.0.24C.0.6D.0.7
答案 D
解析 因为样本在[10,50）内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10,50）内的频率为
＝0.7.
3.某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45kg的人数是（ ）
A.10B.2C.5D.15
答案 A
解析 由题图及频率＝
组距，知体重在40～45kg的女生的频率＝0.02×
5＝0.1.∴女生中体重在40～45kg的人数为0.1×
100＝10.
4.某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽出100人做电话询访，则月工资在区间[30,35）内的工薪阶层应抽出________人.
答案 15
解析 月工资落在区间[30,35）内的频率为1－（0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01）×
5＝0.15，
所以月工资在区间[30,35）内的应抽出100×
0.15＝15（人）.
5.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：
千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为________.
答案 48
解析 设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×
5＝1，解得a＝0.125，
所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝
，所以n＝48.
1.知识清单：
（1）频数与频率.
（2）频率分布表.
（3）频率分布直方图.
2.方法归纳：
图表识别、数据分析.
3.常见误区：
频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义易错.
1.从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：
克）：
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为（ ）
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
解析 在125,120,122,105,130,114,116,95,120,134这10个数字中，落在[114.5,124.5）内的有116,120,120,122，共4个，
∴样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为
＝0.4.故选C.
2.在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则|a－b|等于（ ）
A.hmB.
C.
D.h＋m
答案 B
解析
＝h，故|a－b|＝组距＝
3.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
x
14
第三组的频数和频率分别是（ ）
A.14和0.14B.0.14和14
C.
和0.14D.
和
解析 x＝100－（10＋13＋14＋15＋13＋12＋9）＝100－86＝14，第三组的频率为
＝0.14.
4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出（单位：
元）在[50,60]内的学生有30人，则n的值为（ ）
A.100B.1000C.90D.900
解析 由题意可知，
前三组的频率之和为（0.01＋0.024＋0.036）×
10＝0.7，
∴支出在[50,60]内的频率为1－0.7＝0.3，
∴n＝
＝100.
5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命在100～300h的电子元件的数量与寿命在300～600h的电子元件的数量的比是（ ）
A.1∶2B.1∶3
C.1∶4D.1∶6
解析 由题意，知数量的比即为所对应的小矩形的面积和之比，即1∶4.
6.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余4个小长方形面积之和的
，且中间一组的频数为10，则这个样本容量是______.
答案 40
解析 设中间长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝
（1－x），解得x＝
，即中间一组的频率为
，∴
，n＝40.
7.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：
克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________.
答案 90
解析 ∵样本中产品净重小于100克的频率为
（0.050＋0.100）×
2＝0.3，频数为36，
∴样本容量为
＝120.
∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为（0.100＋0.150＋0.125）×
2＝0.75，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×
0.75＝90.
8.已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆.
答案 80
解析 速度在[70,80]之间的频率为
1－（0.01×
10＋0.03×
10＋0.04×
10）＝0.2，
∴在[70,80]内的频数为0.2×
400＝80.
9.某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示.
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25）
a
0.5
第2组
[25,35）
第3组
[35,45）
b
0.9
第4组
[45,55）
0.36
第5组
[55,65]
y
（1）分别求出a，b，x，y的值.
（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人？
解
（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
＝25，再结合频率分布直方图可知
n＝
＝100，
所以a＝100×
0.01×
10×
0.5＝5，
b＝100×
0.03×
0.9＝27，
x＝
＝0.9，y＝
＝0.2.
（2）第2,3,4组回答正确的共有18＋27＋9＝54（人）.
所以利用分层随机抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为第2组：
6＝2（人）；
第3组：
6＝3（人）；
第4组：
6＝1（人）.
10.从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数）的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图所示），从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数为6.
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
解 在频率分布直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
（1）小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左边的一组所占的频率为
∴样本容量＝
＝48.
（2）105.5～120.5这一组的频率为
∴频数为48×
＝18.
（3）成绩大于120分的频率为
∴考试成绩的优秀率为
100%＝31.25%.
11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A.588B.480
C.450D.120
解析 ∵少于60分的学生人数为600×
（0.05＋0.15）＝120，
∴不少于60分的学生人数为480.
12.样本容量为100的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10）内的频数为a，样本数据落在[2,10）内的频率为b，则a，b分别是（ ）
A.32,0.4B.8,0.1
C.32,0.1D.8,0.4
解析 样本数据落在[6,10）内的频率为0.08×
4＝0.32，
则a＝100×
0.32＝32；
由于样本数据落在[2,6）内的频率为0.02×
4＝0.08，
则样本数据落在[2,10）内的频率b＝0.08＋0.32＝0.4.
13.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图所示），由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
答案 0.030 3
解析 因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1，所以有10×
（0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010）＝1，解得a＝0.030.由频率分布直方图可知在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生总数为100×
（0.030＋0.020＋0.010）＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为100×
0.010＝10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为
10＝3.
14.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000）（单位：
元）内的应抽取________人.
解析 月收入在[1500,2000）的频率为1－（0.0002＋0.0005×
2＋0.0003＋0.0001）×
500＝0.2，故应抽取200×
0.2＝40（人）.
15.在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（n－1）个小矩形面积之和的
，且样本容量为3200，则中间一组的频数为________.
答案 400
解析 因为中间一个小矩形的面积等于其余（n－1）个小矩形面积之和的
，所以中间一个小矩形的面积为所有矩形面积和的
，因此中间一组的频数为3200×
＝400.
16.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60）内的频率为0.6，试计算样本在[40,50），[50,60）内的数据个数之和.
解 根据题意，设分布在[40,50），[50,60）内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20,60）内的频率为0.6，样本容量为50，
∴
＝0.6，
解得x＋y＝21.
即样本在[40,50），[50,60）内的数据个数之和为21.
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