参考答案与解析Word格式.docx
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③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×
(-2)=2,由这两式得m=2.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。
经检验知m=1和m=2符合条件.
∴m=1或m=2.
14.解:
(1)假设存在实数a,使得对任意实数b,都有A⊆B成立,当且仅当A⊆{1,2}.
∵A={a+4,a-4},
∴或預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。
显然,这样的a不存在.
(2)∵A⊆B成立,
由
(1)得或或或渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。
求得实数对(a,b)为(-3,-7),(5,9),(-2,-6),(6,10).
15.解:
A中不等式的解集应分三种情况讨论:
①若a=0,则A=R;
②若a<
0,则A=;
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵。
③若a>
0,则A=.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢。
(1)当a=0时,若A⊆B,此种情况不存在;
当a<
0时,若A⊆B,如图1,
则∴贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉。
又a<
0,∴a<
-8;
当a>
0时,若A⊆B,如图2,
则∴坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱。
又a>
0,∴a≥2.
综上所述,当A⊆B时,实数a的取值范围是(-∞,-8)∪[2,+∞).
图1
图2
(2)当a=0时,显然B⊆A;
0时,若B⊆A,如图3,
则∴蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦。
∴-<
a<
0.
0时,若B⊆A,如图4,
则∴買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌。
∴0<
a≤2.
综上所述,当B⊆A时,实数a的取值范围是.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪。
图3
图4
(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时,A=B.
由
(1)
(2)知,a=2.
16.解:
(1)当n=0,1,2,3时,x=22n分别为1,4,16,64,
∴A={1,4,16,64}.
∵-1<
b<
4,且a,b∈Z,
∴若a=0,则b=1,2,3;
若a=1,则b=2,3;
若a=2,则b=3.
当a=0且b=1,2,3时,x分别为,,;
驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼。
当a=1且b=2,3时,x分别为,;
当a=2且b=3时,x=.
∴B=.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬。
(2)由
(1)得A∩B=∅,
A∪B=.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝。
(3)∵A∩C={1,4,16},
∴∁U(A∩C)=.構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲。
第2天函数的概念与表示
1.12解析:
由题意知=5,∴a=12.
2.[0,1)∪(1,2) 解析:
要使函数有意义,需满足即∴函数的定义域为[0,1)∪(1,2).輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧。
3.①②④解析:
对于①,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);
对于②,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·
2x=2f(x).故恒有f(2x)=2f(x);
对于④,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);
对于③,f(2x)=2x+1=2f(x)-1,∴③不符合要求.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰。
4.0解析:
由题意,得g(π)=0,∴f(g(π))=f(0)=0.
5.②③解析:
对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,∴二者不是同一函数;
对于②,若x=1不在y=f(x)的定义域中,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1在y=f(x)的定义域中,由函数定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;
对于③,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,∴f(x)和g(t)表示同一函数;
对于④,由于f=-=0,∴f=f(0)=1.综上可知,判断正确的是②③.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减。
6.解析:
令=t,则x=,代入f=,得f(t)==,∴f(x)=.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄。
7.{y|y≥0且y≠1}解析:
定义域要求1-≥0且x≠0,∴1-≥0且1-≠1,∴函数的值域为{y|y≥0且y≠1}.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻。
8.{1,2,3,4}解析:
由题意,知对a∈A,|a|∈B,
故函数值域为{1,2,3,4}.
9.{x|x≠-1且x≠-2}解析:
∵f(x)=,∴f(x)的定义域为{x|x≠-1},则在f(f(x))中,f(x)≠-1,即≠-1,解得x≠-2.∴f(f(x))的定义域为{x|x≠-2且x≠-1}.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬。
10.-解析:
0时,1-a<
1,1+a>
1,由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a=-,不合题意;
0时,1-a>
1,1+a<
1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶。
11.1解析:
由g(x)对应表,得当x=2时,g
(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)对应表,得当x=1时,f
(1)=2,∴x=1.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙。
12.13解析:
该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(m3)满足的关系式为
y=氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓。
由y=16m,可知x>10.令2mx-10m=16m,解得x=13.
设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,
即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,
∴解得釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷。
∴f(x)=2x+7.
(1)∵1-=1-(+1)=-<
-1,∴f(-)=-2+3.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨。
又f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2,
∴f(f(f(-2)))=f
(2)=1+=.
(2)∵f(a)=,∴a>
1或-1≤a≤1.
1时,1+=,∴a=2;
当-1≤a≤1时,a2+1=,∴a=±
.
∴a=2或a=±
(3)若3x-1>
1,即x>
,则f(3x-1)=1+=;
谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋。
若-1≤3x-1≤1,即0≤x≤,则f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳。
若3x-1<
-1,即x<
0,则f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
∴f(3x-1)=熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰。
(1)∵对任意x∈R有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,∴f(f
(2)-22+2)=f
(2)-22+2.又f
(2)=3,从而f
(1)=1.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣。
若f(0)=a,则f(f(0)-02+0)=f(0)-02+0,即f(a)=a.
(2)∵对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x+x0=x0.纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨。
又f(x0)=x0,∴x0-x=0,解得x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)=x2-x,方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0;
若x0=1,则f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件.
综上,所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
底角为45°
,AB=2cm,
∴BG=AG=DH=HC=2cm.
又BC=7cm,∴AD=GH=3cm.
①当点F在线段BG上时,即x∈(0,2]时,y=x2;
②当点F在线段GH上时,即x∈(2,5]时,
y=×
2×
2+2(x-2)=2x-2;
③当点F在线段HC上时,即x∈(5,7]时,
y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF
=×
(7+3)×
2-(7-x)2
=-(x-7)2+10.
综上,l左侧图形的面积
y=颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负。
其图象如图.
第3天函数的图象与性质
1.(-∞,0),(0,+∞) 解析:
由函数y=-的图象可知单调增区间为(-∞,0),(0,+∞).濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖。
2.④解析:
根据函数定义,对每一个自变量x,有且只有一个函数值与之对应,因而④不是函数图象.①②③都是函数图象.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎。
3.1解析:
∵f(x)=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,
∴f(-x)=f(x)对x∈R恒成立,
∴(1-a)x=(a-1)x恒成立,
∴1-a=0,∴a=1.
4.(-∞,1) 解析:
当x≥1时,f(x)是单调增函数;
当x<
1时,f(x)是单调减函数,∴f(x)的单调减区间为(-∞,1).挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷。
5.3解析:
若a≥0,则f(-a)=f(a)=f(|a|)=3;
若a<
0则f(-a)=f(|a|)=3.故对a∈R,总有f(-a)=3.赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕。
6.2解析:
当x≥1时,函数f(x)=为单调减函数,∴f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.塤礙籟馐决穩賽釙冊庫麩适。
7.2解析:
由题意可知f
(2)=0,f(0)=4,f(4)=2.
因此f(f(f
(2)))=f(f(0))=f(4)=2.
8.f(x)=x+2解析:
由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过点(-1,1)、(0,2).设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2.∴f(x)=x+2.裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺递灿。
9.x2-2解析:
f(-x)+g(-x)=x2-x-2.由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得f(x)-g(x)=x2-x-2.又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得f(x)=x2-2.仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁絛鯛。
10.2解析:
当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-x2-2x=-f(x),∴f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬。
11.-6解析:
f(x)=|2x+a|=易知函数的单调增区间为,∴-=3,∴a=-6.骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙骠弒。
12.解析:
当x≥0时,y=|x|(1-x)=x(1-x)=x-x2=-+;
0时,y=|x|(1-x)=-x(1-x)=x2-x=-.故y=作出函数图象如图,∴函数的单调增区间为.瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕。
(1)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|.
则f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
(2)f(x)=x2-2|x|=鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類碍穑。
画出图象如图所示.
根据图象知,函数f(x)的最小值是-1.
单调增区间是[-1,0],[1,+∞);
单调减区间是(-∞,-1),(0,1).
∵y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(1-x)+f(1-3x)<0可化为f(1-x)<f(3x-1).
∵y=f(x)在(-1,1)上是单调减函数,
∴解得0<x<.栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛。
∴原不等式的解集为.辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应頁諳。
(1)设x<
0,则-x>
0,于是f(-x)=-2x-x2.
又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=2x+x2,
即当x<
0时,f(x)=2x+x2(x<
0).
(2)分下述三种情况:
①若0<
b≤1,则>
1,而当x≥0时,f(x)的最大值为1,故此时不可能使g(x)=f(x);
峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺诈機。
②若0<
1<
b,此时若g(x)=f(x),则g(x)的最大值为g
(1)=f
(1)=1,得a=1,这与0<
b矛盾;
詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜靈韬。
③若1≤a<
b,∵当x≥1时,f(x)是单调减函数,f(x)=2x-x2,
∴即则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷华缙。
∵1≤a<
b,∴a=1,b=.
综上所述,a=1,b=.
(1)∵a=-2,∴f(x)=.
任设x1<
x2<
-2,则f(x1)-f(x2)=-=.胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻锵咏。
∵(x1+2)(x2+2)>
0,x1-x2<
0,
∴f(x1)<
f(x2),
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)任设1<
x1<
x2,则
f(x1)-f(x2)=-=.鳃躋峽祷紉诵帮废掃減萵輳。
∵f(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴f(x1)-f(x2)>
∵a>
0,x2-x1>
∴(x1-a)(x2-a)>
0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1.
0,∴实数a的取值范围是(0,1].
第4天指数与指数函数
1.解析:
100-====.稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜椤灣。
2.解析:
∵a<0,∴==(-a)×
=(-a)=.陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟麗鲍。
3.(0,+∞) 解析:
由题意知2a+1>
1,∴a>
0,∴实数a的取值范围是(0,+∞).
4.(3,4) 解析:
∵函数y=ax(a>
0,且a≠1)过定点(0,1),在函数y=ax-3+3中,令x=3,得y=1+3=4,∴函数的图象过定点(3,4).沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應釵蔼。
5.(-2,+∞) 解析:
<
4,即<
.又y=在(-∞,+∞)上为单调减函数,∴x>
-2.钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺缔嵛。
6.b<
c解析:
a=20.4,b=20.3,c=20.5.又y=2x在R上为单调增函数,∴b<
c.懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮揚銥。
7.a(1+n%)12解析:
2014年的产值为a(1+n%),2015年的产值为a(1+n%)2,…,2025年的产值为a(1+n%)12.謾饱兗争詣繚鮐癞别瀘鯽礎。
8.(0,16] 解析:
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤=16.又>0,∴函数y=的值域为(0,16].呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚趱為。
9.b<
d<
作直线x=1,即可得出b<
c.
10.3解析:
当a>1时,函数f(x)在[1,2]上是单调增函数,有f
(2)=a2=3a,解得a=3(a=0舍去);
当0<a<1时,函数f(x)在[1,2]上是单调减函数,有f
(1)=a=3a,解得a=0,不符合题意.综上可知a=3.莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减籩诹。
11.解析:
y=-+1=-+1=+.麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶尔摊。
∵x∈[-3,2],∴≤≤8.当=时,ymin=;
当=8时,ymax=57,∴函数y的值域为.納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬颤階。
12.f<f<f解析:
由题设知,当x≤1时f(x)单调递减,当x≥1时f(x)单调递增且直线x=1为对称轴,∴f=f=f=f,風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙誑繃。
∴f>f>f.灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹狰廚。
(1)设u=x2-6x+17.
由于函数y=及u=x2-6x+17的定义域都是R,铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝吶转。
故函数y=的定义域为R.攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸鐙浍。
∵u=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,
∴≤.趕輾雏纨颗锊讨跃满賺蚬騍。
又>
0,夹覡闾辁駁档驀迁锬減汆藥。
故函数的值域为.视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝佥爾。
(2)函数u=x2-6x+17在[3,+∞)上是单调增函数,即对任意的x1、x2∈[3,+∞),且x1<
x2,有u1<
u2,从而>
,即y1>
y2,∴函数y=在[3,+∞)上是单调减函数,同理可知y=在(-∞,3]上是单调增函数.偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠铃铋。
综上,y=的单调增区间为(-∞,3],緦徑铫膾龋轿级镗挢廟耬癣。
单调减区间为[3,+∞).
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
0时,-x>
f(x)=-f(-x)=-=-2x.騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼揽齊。
∴函数f(x)的解析式为f(x)=疠骐錾农剎貯狱颢幗騮鸪詼。
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由函数f(x)的图象可知,f(x)的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞).
(4)由函数f(x)的图象可知,f(x)的值域是(-1,1).
(1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,
∴f(-x)=-f(x),即+=-,镞锊过润启婭澗骆讕瀘載撻。
整理得(ex+e-x)=0,榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛纬闼。
即a+=0,即a2+1=0,显然无解.
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
即+=+,邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑幟结。
整理得(e-x-ex)=0,嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲饃励。
∴a-=0,解得a=1.
∴f(x)=e-x+ex.
取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2=,该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭谟贛。
其中ex1·
ex2>0,ex1-ex2<0,
当ex1+x2-1>0时,f(x1)<f(x2),f(x)为单调增函数,
此时需要x1+x2>0,即单调增区间为[0,+∞),
反之(-∞,0]为单调减区间.
由题设知f(x)=则[f(x)]a=f(ax),∴原不等式等价于f[a(x+1)-x]≥f(ax).∵f(x)在R上是单调增函数,∴x≤a恒成立.∵x∈[1-2a,2a-1],∴当x=2a-1时,x取得最大值为2a-1,因此2a-1≤a,解得a≤1.又1-2a<
2a-1,∴a>
,∴实数a的取值范围是.劇妆诨貰攖苹埘呂仑庙痙湯。
第5天对数与对数函数
1.3解析:
由对数定义知,若ab=N,则logaN=b;
∴由a3=10,得loga10=3.
log4x=-,即4-=x,∴x=.臠龍讹驄桠业變墊罗蘄嚣驮。
3.4解析:
(log29)×
(log34)=×
=4.鰻順褛悦漚縫冁屜鸭骞阋苈。
4.(-2,8] 解析:
由题意可知1-lg(x+2)≥0,整理得lg(x+2)≤lg10,则解得-2<
x≤8,故函数y=的定义域为(-2,8].穑釓虚绺滟鳗絲懷紓泺視娇。
5.a>c>b解析:
a=log23.6=log43.62=log412.96.∵y=log4x(x>0)是单调增函数,3.2<3.6<12.96,∴a>c>b.隶誆荧鉴獫纲鴣攣駘賽涝鈧。
原不等式等价于解得-2<x<-.浹繢腻叢着駕骠構砀湊農瑤。
7.-1解析:
当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>
0,且a≠1都有y=loga1-=-,∴函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-=3-2+b,∴b=-1.鈀燭罚櫝箋礱颼畢韫粝銨鹏。
8.(-∞,-3] 解析:
令t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8.∵y=logt为单调减函数,∴logt≤log8=-3.惬執缉蘿绅颀阳灣熗鍵舣讷。
9.解析:
由2a=5b=m,得a=log2m,b=log5m,
∴+=logm2+logm5=logm10.∵+=2,∴logm10=2,即m2=10,解得m=(负值舍去).贞廈给鏌綞牵鎮獵鎦龐朮戗。
10.1解析:
∵x≥1,∴f(x)≥lg(2-b).又f(x)≥0,∴lg(2-b)=0,即b=1.
11.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:
当m>
0时,由f(m)<
f(-m),得logm<
log2m,解得m>
1;
当m<
f(-m)得log2(-m)<
log(-m),解得-1<
m<
0.∴实数m的取值范围是嚌鲭级厨胀鑲铟礦毁蕲鷯鑭。
(-1,0)∪(1,+∞).
12.∪(1,2) 解析:
若0<
1,当x≥2时,logax<
0,∴logax<
-1.由题意得,loga2<
-1,∴a∈;
若a>
1,当x≥2时,logax>
0,∴logax>
1.由题意得loga2>
1,∴a∈(1,2).综上可知<
1或1<
2.薊镔竖牍熒浹醬籬铃騫违紗。
(1)由2x-1>
0,得x>
,
函数f(x)的定义域是,值域是R.齡践砚语蜗铸转絹攤濼絡減。
(2)令u=2x-1,则由x∈,知u∈[1,8].绅薮疮颧訝标販繯轅赛怃贿。
∵函数y=logu在[1,8]上是单调减函数,
∴y=logu∈[-3,0],
∴函数f(x)在x∈上的值域为[-3,0].饪箩狞屬诺釙诬苧径凛骗橥。
(1)要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).烴毙潜籬賢擔視蠶贲粵貫飭。
∵f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),
∴f(-x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
(2)