命题逻辑的自然演译系统文档格式.docx
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4.2自然演繹系統的推論規則
自然演繹系統有許多不同的表達方式，常見的兩種是：
（1）提出基本推論規則，以引進規則與消去規則這兩類的推論規則為主，加上RAA（歸謬法）等規則。
（2）將推論規則不分基本與衍生（derived）一併提出，取而代之的是語句涵蘊規則與語句等值規則的區分。
這裏將選擇第一種方式，另外會在附錄中依據第二種表達方式列出一些衍生規則。
4.2.1自然演繹系統的原型
自然演繹系統中的結構規則與上一章所提出來的相同：
（1）假設規則（Ass.）φ├φ
（2）弱化規則（Thin）如果Γ├φ，則Γ,ψ├φ
（3）捷徑規則（Cut）如果Γ├φ且φ,Δ├ψ，則Γ,Δ├ψ
我們先將自然演繹系統的一個原型（prototype）描述如下：
（→E）ModusPonendoPonens（MP）φ,φ→ψ├ψ
（→I）Ruleofconditionalproof（CP）假定φ├ψ，則可以得到├φ→ψ
（˄I）Ruleof˄-introductionφ,ψ├φ˄ψ
（˄E）Ruleof˄-eliminationφ˄ψ├φ；
φ˄ψ├ψ
（˅I）Ruleof˅-introductionφ├φ˅ψ；
ψ├φ˅ψ
（˅E）Ruleof˅-elimination如果Γ,φ├θ，且Δ,ψ├θ，則Γ,Δ,φ˅ψ├θ
這一組推論規則再加上前述的結構規則就成為自然演繹系統的一個原型。
（→E）是上一節介紹的條件句的消去規則，（→I）是條件句引進規則。
底下我們先定義什麼是論證的證明。
定義4.2.1（論證的證明）
論證的證明意謂著我們可以從一組前提的集合（可以是空集合），經由形變規則（結構規則與推論規則）導出結論。
我們還會使用邏輯歸結（logicalconsequence）的概念，其定義如下：
定義4.2.2（邏輯歸結）
當句串Γ;
φ是一有效論證時，可以說φ是Γ的邏輯歸結。
可以用一簡單的證明來例示條件句的消去規則（→E）與並言的引進規則（˄I），論證P,P→Q├P˄Q的證明：
{1}
（1）PP
{2}
（2）P→QP
{1,2}（3）Q1,2,→E
{1,2}（4）P˄Q1,3,˄I
論證P→Q,Q→R├P→R的證明可以例示（→I）規則：
{1}
（1）P→QP
{2}
（2）Q→RP
{3}（3）PA
{1,3}（4）Q1,3,→E
{1,2,3}（5）R2,4,→E
{1,2}（6）P→R3,5,→I
第三步驟是依據假設規則（A）而假設的句式，可以當作臨時前提，所以左側給予前提號3。
右側以A表示它是一假設。
第六步驟是條件句引進規則（→I）的例示，要注意的是第三個前提P要去前提化，所以第六步驟的前提只剩下{1,2}。
以論證P˄Q,Q→R˄S├S來例示並言消去規則（˄E）：
{1}
（1）P˄QP
{2}
（2）Q→R˄SP
{1}（3）Q1,˄E
{1,2}（4）R˄S2,3,→E
{1,2}（5）S4,˄E
（˅I）與（˅E）分別是選言的引進規則與消去規則。
應用（˅I）規則，我們隨時可以從P導出P˅Q。
這和（˄I）規則不同，我們需要兩個命題P與Q，才可以導出P˄Q。
可以用論證P,P˅Q→R├R˅S來例示（˅I）：
{1}
（1）PP
{2}
（2）P˅Q→RP
{1}（3）P˅Q1,˅I
{1,2}（4）R2,3,→E
{1,2}（5）R˅S4,˅I
例題4.1：
證明P→Q,Q˅R→S├P→S。
（˅E）的例子比較複雜，可以用論證P˅Q,P→R,Q→R├R例示：
{1}
（1）P˅QP
{2}
（2）P→RP
{3}（3）Q→RP
{4}（4）PA
{2,4}（5）R2,4,→E
{6}（6）QA
{3,6}（7）R3,6,→E
{1,2,3}（8）R1,4,5,6,7,˅E
第四與第六步驟是（˅E）規則所需要用到的假設。
第五步驟的句式是第二與第四步驟的邏輯歸結；
第七步驟的句式是第三與第六步驟的邏輯歸結。
在這個證明中，（˅E）規則所要用到的步驟是1,4,5,6,7，前提中的{4,6}必須去前提化，所以結論的前提剩下{1,2,3}。
4.2.2否定號的一些規則
應用在否定號上的規則有許多不同主張，我們選擇的規則比較接近博斯塔克（DavidBostock）。
一共有五條：
DNI、DNE、RAA、TND、EFQ。
（DNI）φ├¬
¬
（DNE）¬
φ├φ
（RAA）如果φ├ψ˄¬
ψ；
則可以得到├¬
（TND）如果φ├ψ且¬
φ├ψ；
則可以得到├ψ
（EFQ）φ,¬
φ├ψ
（DNI）是雙否定的引進規則，（DNE）是雙否定消去規則。
我們會在RAA規則的例示之後，再例示DNE規則。
（RAA）是所謂的歸謬法（reductioadabsurdum），以論證P→Q,¬
Qê
P來例示：
{2}
（2）¬
QP
{3}（3）PA
{1,3}（4）Q1,3,→E
{1,2,3}（5）Q˄¬
Q2,4,˄I
{1,2}（6）¬
P3,5,RAA
以句式P這個假設導出矛盾句式Q˄¬
Q，然後將導出這個矛盾的假設加以否定而得到¬
P。
一句式與自己的否定句式以並言連起來，是一矛盾句。
根據（RAA）規則，如果一前提（或假設）會導出矛盾，則可以導出該前提的否定。
被否定的前提需要去前提化。
接下來例示DNE規則，論證¬
Q,¬
P→Q├P的證明：
{1}
（1）¬
P→QP
{3}（3）¬
PA
{2,3}（4）Q2,3,→E
Q1,4,˄I
¬
P3,5,RAA
{1,2}（7）P6,DNE
當我們使用RAA規則，以前提3的否定為新的結論時，得到的是¬
P，而不是P。
因為前提3的否定是在¬
P前再加上一個否定號，這才稱為前提3的否定，而不是拿掉否定號。
（TND）（tertiumnondatur）意謂著排中律的邏輯歸結必然為真。
排中律├φ˅¬
φ表示一句式為真時，它的否定為假；
這一句式為假時，它的否定為真。
一句式與它的否定之間沒有第三種可能。
φ˅¬
φ是邏輯真理，是恆真句，恆真句的邏輯歸結也一定是恆真句。
也就是說，如果φ˅¬
φ├ψ，則├ψ。
我們可以用（TND）來證明下面這個論證P→Q,¬
P→Q├Q
P→QP
{5}（5）¬
PA
{2,5}（6）Q2,5,→E
{1,2}（7）Q3,4,5,6,TND
這個證明中的（3）與（5）是兩個臨時前提，使用（TND）規則時，要將這兩個前提去前提化。
這表示（TND）所導出句式的真不是由臨時前提的真所保證的。
（EFQ）（exfalsoquodlibet）意謂不一致的前提可以導出任何句式。
論證P˅Q,¬
P├Q是一選言三段論（disjunctivesyllogism），它的證明可以用來例示（EFQ）規則：
PP
{2,3}（4）Q2,3,EFQ
{5}（5）QA
{1,2}（6）Q1,3,4,5,˅E
例題4.2：
證明¬
P→Q├¬
（¬
P˄¬
Q）（建議：
可以用RAA）。
4.2.3雙條件句的規則
有些自然演繹系統不把雙條件句當作基本語句連詞，只用雙條件句的定義來處理它。
這裏將雙條件句當作基本語句連詞，有一對規則：
（↔E）如果Γ├φ↔ψ，則Γ├（φ→ψ）˄（ψ→φ）
（↔I）如果Γ├（φ→ψ）˄（ψ→φ），則Γ├φ↔ψ
雷蒙（E.J.Lemmon）把雙條件句用定義加以處理：
φ↔ψ若且唯若（φ→ψ）˄（ψ→φ）。
雙條件句規則的例示論證：
P↔Q,Q├P。
{1}
（1）P↔QP
{2}
（2）QP
{1}（3）（P→Q）˄（Q→P）1,↔E
{1}（4）Q→P3,˄E
{1,2}（5）P2,4,→E
4.2.4推論規則的總結
除了雙條件句的引進規則（↔I）與消去規則（↔E）之外，將上述的規則做一個表：
（˄I）
（˄El）
φ˄ψ
（˄Er）
[ψ]（n）
（˅Il）
（˅Ir）
（˅E）
φ˅ψ
θ
（→I）
（→E）
（DNI）
（DNE）
（RAA）
ψ˄¬
[¬
φ]（n）
（TND）
（EFQ）
4.3證明的例子
Q˄R├P→R，可以用→I加以證明，並且會用到結構規則中的弱化（Thin）規則：
Q˄RP
{1,3}（4）P˄（P˅Q）1,3,˄I
{1,3}（5）P4,˄E
{2}（6）R2,˄E
{1,2,3}（7）P˄R5,6,˄I
{1,2,3}（8）R7,˄E
{1,2}（9）P→R3,8,→I
第4、5步驟是弱化規則的應用，這是為了將前提{1}變成句式P的前提。
第7、8步驟也是弱化規則的應用，這是為了將前提{1,3}變成句式R的前提。
當有效論證的前提的集合是空集合，而僅僅只有結論句式時，具備這種邏輯型的句串，稱為定理（theorem）。
它是不依靠任何前提就能夠被導出的句式。
例如句串├P→（（P→Q）→Q）
{1}
（1）PA
{2}
（2）P→QA
{1,2}（3）Q1,2,→E
{1}（4）（P→Q）→Q2,3,→I
Λ（5）P→（（P→Q）→Q）1,4,→I
接下來的例子會用到RAA規則，但情況比較複雜。
證明句串：
Q→¬
P，會先假設→I規則所需要的前提¬
Q，由這個假設，我們希望導出¬
為了導出¬
P，需要使用RAA規則。
QA
{3}（3）PA
Q2,4,˄I
P3,5,RAA
{1}（7）¬
P2,6,→I
例題4.3：
證明P→R,¬
Q→P├P˅Q（建議：
可以用TND規則，且需要用到弱化規則）。
例題4.4：
證明├P˄Q→（（P→R）→R˅S）。
例題4.5：
證明P˄¬
（P→Q）
Exercisesfor4命題邏輯的自然演譯系統
證明底下的論證：
（1）├P˄Q→（¬
Q→（P→R））（建議：
可以用EFQ導出P→R）
（2）P˄Q,Q→R├P→R（建議：
需要用到弱化規則）
（3）P˄Q├¬
（P→¬
可以用RAA）
附錄1自然演繹中衍生的推論規則
衍生的推論規則可以用基本推論規則加以證明，所以它們不是必要的。
可以完全不採用，也可以採用一部分。
但是基本推論規則的要求就不是那麼寬鬆，它們必須能證明所有形式有效的論證，也就是它們所構成的演繹系統必須是完備的。
下列衍生的推論規則將分成語句涵蘊規則與語句等值規則。
一語句涵蘊規則
ModusTollens（MTT）（否定後件因而否定前件）
φ→ψ,¬
ψ├¬
φ→¬
ψ,ψ├¬
DisjunctiveSyllogism（DS）（選言三段論）
φ˅ψ,¬
ψ├φ
φ˅ψ,φ├ψ
ψ,ψ├φ
HypotheticalSyllogism（HS）（假言三段論）
φ→ψ,ψ→θ├φ→θ
一般常見的MP規則，就是前面的→E規則。
二語句等值規則
在介紹語句等值規則之前，先引進一個導出記號的反向符號‘┤’，這個符號只用來與正向符號並列為‘┤├’，形成的新符號意謂可以從左句式導出右句式，同時也可以從右句式導出左句式。
當左右句式有上述關係時，我們稱它們語句等值的（sententialequivalent）。
這表示它們在任何解釋下，真假值相等。
語句等值的關係也可以用雙條件句表示。
DeMorgan’sLaw（DeM）（狄摩根律）
（φ˄ψ）┤├¬
（φ˅ψ）┤├¬
φ˄¬
Commutation（Com）（交換律）
φ˄ψ┤├ψ˄φ
φ˅ψ┤├ψ˅φ
Association（Assoc）（結合律）
φ˄（ψ˄θ）┤├（φ˄ψ）˄θ
φ˅（ψ˅θ）┤├（φ˅ψ）˅θ
Distribution（Dist）（分配律）
φ˄（ψ˅θ）┤├（φ˄ψ）˅（φ˄θ）
φ˅（ψ˄θ）┤├（φ˅ψ）˄（φ˅θ）
IdempotentLaw（Idem）（冪等律）
φ┤├φ˄φ
φ┤├φ˅φ
Contraposition（Contra）（異質位換律）
φ→ψ┤├¬
ψ→¬
Exportation（Exp）（移出律）
φ→（ψ→θ）┤├φ˄ψ→θ
Conditional-Disjunction（CD）（條件句與選言之等值律）
Biconditional-Conditional（BC）（雙條件句與條件句之等值律）
φ↔ψ┤├（φ→ψ）˄（ψ→φ）
Biconditional-Disjunction（BD）（雙條件句與選言之等值律）
φ↔ψ┤├（φ˄ψ）˅（¬
ψ）
附錄2：
邏輯思考概論一百零四學年第二學期期中考模擬試題
1依照下述有效論證的邏輯型，給出一個前提皆真的健全論證：
（邏輯型不可改變）（15﹪）
如果羅馬在義大利，則地球不是衛星。
地球是衛星。
∴羅馬不在義大利。
2使用間接真值表判定句串P˄Q,¬
Q˅R;
P→R是有效論證或無效論證。
（15﹪）
3下述論證前提皆真，結論也真，卻是無效論證。
試說明其為何是無效論證。
（15﹪）
如果地球是行星，則地球繞太陽公轉。
地球繞太陽公轉。
∴地球是行星。
4用真值表判定P˅¬
Q與下列那一句式表達相同的真值函數：
（1）P→¬
Q；
（2）¬
P→¬
Q
5根據底下的翻譯圖式，寫出下述論證的邏輯型：
P：
德國足球代表隊在2018年世界杯晉級八強
Q：
日本足球代表隊在2018年世界杯晉級十六強
R：
西班牙足球隊獲得2018年FIFA世界杯冠軍
（1）如果日本足球代表隊在2018年世界杯晉級十六強，則西班牙足球隊獲得2018年FIFA世界杯冠軍。
西班牙足球隊沒有獲得2018年FIFA世界杯冠軍且德國足球代表隊在2018年世界杯晉級八強。
所以如果德國足球代表隊沒有在2018年世界杯晉級八強，則日本足球代表隊沒有在2018年世界杯晉級十六強。
（2）如果德國足球代表隊沒有在2018年世界杯晉級八強，則日本足球代表隊沒有在2018年世界杯晉級十六強。
西班牙足球隊沒有獲得2018年FIFA世界盃冠軍且德國足球代表隊在2018年世界杯晉級八強。
所以如果日本足球代表隊在2018年世界杯晉級十六強，則西班牙足球隊獲得2018年FIFA世界盃冠軍。
6以自然演繹法證明下列有效句串：
（25﹪）
（1）P,P˅Q→R├R˅S
（2）P˅Q,P→R,Q→R├R
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