高中数学经典高考难题集锦解析版11.docx

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高中数学经典高考难题集锦解析版11

2015年10月18日杰的高中数学组卷

一．选择题（共5小题）

1．（2013•）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值围是（　　）

A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）

2．（2012•）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）

A．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=

3．（2008•）已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值围是（　　）

A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，﹣4）

4．（2006•）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（　　）

A．B．C．D．

5．（2004•）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（　　）

A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+

二．解答题（共25小题）

6．（2007•）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．

7．（2007•）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am﹣1，…，am=a1，即ai=am﹣i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．

（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；

（3）设{dn}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）．

8．（2007•）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

9．（2007•）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1=an，a2=an﹣1…an=a1即ai=an﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．

（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项

（2）已知{cn}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？

最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．

10．（2006•）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn．

（Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．

11．（2006•）已知数列{an}中，，点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，其中n=1，2，3…．

（Ⅰ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证数列{bn}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项；

（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？

若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．

12．（2006•）已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…

（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；

（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项；

（3）记，求数列{bn}的前n项Sn，并证明．

13．（2006•）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；

（2）当λ＞0时，证明；当λ＞1时，证明：

．

14．（2006•）已知数列{xn}满足x1=x2=1并且为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值；

（2）设0＜λ＜1，常数k∈N*且k≥3，证明．

15．（2005•）已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）

（I）证明数列{an+1}是等比数列；

（II）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'

（1）并比较2f'

（1）与23n2﹣13n的大小．

16．（2005•）数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记．

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．

17．（2004•）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．

（1）若C的方程为=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）

（2）若C的方程为（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；

（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．

18．（2003•）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．

（1）求和：

a1C20﹣a2C21+a3C22，a1C30﹣a2C31+a3C32﹣a4C33；

（2）由

（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．

（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：

S1Cn0﹣S2Cn1+S3Cn2﹣S4Cn3+…+（﹣1）nSn+1Cnn．

19．（2014秋•周村区校级月考）已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．

（1）求数列{bn}的通项bn；

（2）设数列{an}的通项an=loga（1+）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论．

20．（2010•）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对一切k∈N*有a2k＞azk﹣1，求c的取值围．

21．（2010•模拟）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．

（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（3）证明：

y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．

22．（2009•）已知数列{xn}满足x1=，xn+1=，n∈N*；

（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：

．

23．（2009•）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列

（1）若an=3n+1，是否存在m，n∈N*，有am+am+1=ak？

请说明理由；

（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bm•bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；

（3）若an=2n+1，bn=3n试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项，请证明．

24．（2008•）对于每项均是正整数的数列A：

a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：

n，a1﹣1，a2﹣1，…，an﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：

b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．

（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；

（Ⅲ）证明：

对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．

25．（2007•）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．

（Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅱ）证明：

对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2

（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．

26．（2006•）设数列{an}、{bn}、{cn}满足：

bn=an﹣an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），

证明：

{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）

27．（2006•）已知函数f（x）=，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，且a＞0，d＞0．设x0为f（x）的极小值点，在[1﹣]上，f′（x）在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0）），（x1，f′（x1）），（x2，f′（x2，f（x2））依次记为A，B，C．

（Ⅰ）求x0的值；

（Ⅱ）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为2+，求a，d的值．

28．（2005•）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：

a0=1，an+1=（4﹣an），n∈N．

（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；

（2）求数列{an}的通项公式an．

29．（2003•）设a＞0，如图，已知直线l：

y=ax及曲线C：

y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}．

（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）当a=1时，证明．

30．（1977•）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？

2015年10月18日杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2013•）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值围是（　　）

A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）

考点：

其他不等式的解法；函数单调性的性质．菁优网所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的围即可．

解答：

解：

因为2x（x﹣a）＜1，所以，

函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，

所以a的取值围是（﹣1，+∞）．

故选：

D．

点评：

本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．

2．（2012•）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）

A．a＜v＜B．v=C．＜v＜D．v=

考点：

基本不等式．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小

解答：

解：

设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S

则v==

∵0＜a＜b

∴a+b＞0

∴

∵v﹣a===

∴v＞a

综上可得，

故选A

点评：

本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．

3．（2008•）已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值围是（　　）

A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，﹣4）

考点：

一元二次不等式的应用．菁优网所有

专题：

压轴题．

分析：

对函数f（x）判断△=m2﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案．

解答：

解：

当△=m2﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D

当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；

当m=﹣4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=﹣4x显然成立，排除B；

故选C．

点评：

本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．

4．（2006•）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（　　）

A．B．C．D．

考点：

基本不等式在最值问题中的应用．菁优网所有

专题：

压轴题．

分析：

已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式

解答：

解：

若a，b，c＞0且，

所以，

∴，

则（2a+b+c）≥，

故选项为D．

点评：

本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式．

5．（2004•）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（　　）

A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+

考点：

基本不等式．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

先把题设中的三个等式联立可求得a，b和c，再把它们的值代入所求代数式，即可得解．

解答：

解：

∵b2+c2=2，c2+a2=2，

∴b2+c2=c2+a2

∴b2=a2

又a2+b2=1，

所以当a=b=，c=﹣时ab+bc+ca有最小值为：

×+×（﹣）+×（﹣）=﹣，

ab+bc+ca的最小值为﹣，

故选B．

点评：

本题解题的关键是通过已知条件求得a，b和c值，然后代入即可．

二．解答题（共25小题）

6．（2007•）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．

考点：

数列的求和；等差数列的通项公式；不等式的证明．菁优网所有

专题：

计算题；证明题；压轴题．

分析：

（1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1﹣Sn整理得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0求得an+1﹣an=3，判断出{an}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得．

（2）把

（1）中的an代入可求得bn，进而求得前n项的和Tn，代入到3Tn+1﹣log2（an+3）中，令，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0，原式得证．

解答：

解：

（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，

又由

，

得（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0，

即an+1﹣an﹣3=0或an+1=﹣an，因an＞0，故an+1=﹣an不成立，舍去

因此an+1﹣an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，

故{an}的通项为an=3n﹣1

（2）证明：

由可解得；

从而

因此

令，则

因（3n+3）3﹣（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）

特别地，从而3Tn+1﹣log2（an+3）=log2f（n）＞0

即3Tn+1＞log2（an+3）

点评：

本题主要考查了等差数列的通项公式．涉及了不等式的证明，综合考查了学生对数列知识的灵活运用．

7．（2007•）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am﹣1，…，am=a1，即ai=am﹣i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．

（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；

（3）设{dn}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）．

考点：

数列的求和；数列的概念及简单表示法．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题；新定义．

分析：

（1）由b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1=2，b4=11，先求b1，b2，b3，b4，然后由对称数列的特点可写出数列的各项．

（2）由c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c25，c26，…，c49通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和

（3）由d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d51，d52，…，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和

解答：

解：

（1）设数列{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，

∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．

（2）S=c1+c2+…+c49=2（c25+c26+…+c49）﹣c25=2（1+2+22+…+224）﹣1=2（225﹣1）﹣1=226﹣3=67108861．

（3）d51=2，d100=2+3×（50﹣1）=149．

由题意得d1，d2，，d50是首项为149，公差为﹣3的等差数列．

当n≤50时，Sn=d1+d2+…+dn=．

当51≤n≤100时，Sn=d1+d2+…+dn=S50+（d51+d52+…+dn）

=

=

综上所述，

点评：

本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：

等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，还体现了分类讨论在解题中的应用．

8．（2007•）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

考点：

数列的求和；数列递推式．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

（I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系，从而确定数列an的通项；

（II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减．

解答：

解：

（I）∵an+1=2Sn，

∴Sn+1﹣Sn=2Sn，

∴=3．

又∵S1=a1=1，

∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n﹣1（n∈N*）．

∴当n≥2时，an﹣2Sn﹣1=2•3n﹣2（n≥2），

∴an=

（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，

当n=1时，T1=1；

当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②

①﹣②得：

﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1

∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．

又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）

点评：

本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．

9．（2007•）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1=an，a2=an﹣1…an=a1即ai=an﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．

（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项

（2）已知{cn}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？

最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．

考点：

数列与函数的综合．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题；新定义．

分析：

（1）设{bn}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}，

（2）先得到S2k﹣1=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，用二次函数求解，

（3）按照1，2，22…2m﹣1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．

解答：

解：

（1）设{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．

（2）S2k﹣1=c1+c2+…+ck﹣1+ck+ck+1+…+c2k﹣1=2（ck+ck+1+…+c2k﹣1）﹣ck，

S2k﹣1=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，

∴当k=13时，S2k﹣1取得最大值．S2k﹣1的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

①1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；

②1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；

③2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1；

④2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1．

对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+22+…+22007=22008﹣1．

当1500＜m≤2007时，S2008=1+2+…+2m﹣2+2m﹣1+2m﹣2+…+22m﹣2009=2m﹣1+2m﹣1﹣22m﹣2009=2m+2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1．

对于②，当m≥2008时，S2008=22008﹣1．

当1500＜m≤2007时，S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1．