高中数学立体几何之直线平面垂直的判定及其性质讲义Word文件下载.docx
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3.二面角θ的取值范围：
四、平面与平面垂直（简称面面垂直）
两个平面相交，它们所成的二面角是________，就说两个平面互相垂直．
一个平面经过另一个平面的_____，则这两个平面垂直．
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
精讲精练
1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则有（）
A．l和m异面B．l和m相交
C．l∥mD．l不平行于m
2.下列结论不正确的是（）
A．若两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面
B．若两条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另一条也不垂直于这个平面
C．若三条平行线中的一条垂直于某个平面，则这三条直线都垂直于这个平面
D．若三条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另两条中可以有一条和这个平面垂直
已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是（）
A．平行B．异面C．相交D．垂直
4.直线a与b垂直，b⊥α，则a与α的位置关系是（）
A．a⊥αB．a∥α
C．a⊂αD．a⊂α或a∥α
5.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
6.
有以下四个命题：
①a∥α，b⊥α，则a⊥b；
②a⊥b，b⊥α，则a∥α；
③a∥b，b⊥α，则a⊥α；
④a⊥b，b∥α，则a⊥α．
其中正确命题是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
7.
对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m∥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C．m∥n，n⊥β，m⊂α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
8.
若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；
⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，
则m⊥n，m⊥l，n⊥l．
其中正确命题的序号是________．
9.
空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有（）
A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC
第9题图第10题图
10.
如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA=2AB，则下列结论正确的是（）
A．PA⊥AD
B．平面ABCDEF⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°
11.如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D-ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC．
其中正确的是（）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
12.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°
，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（）
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
13.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
第13题图第14题图
14.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．
15.已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，
BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）
A．2B．3C．
D．1
第15题图第16题图第17题图
16.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为（）
A．
aB．
aC．
aD．a
17.已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）
B．
C．
D．
18.自小于90°
的二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）
A．相等B．互补C．互余D．相等或互补
19.正方体ABCD-A′B′C′D′中，二面角D′-AB-D的大小是_____．
第19题图第20题图
20.四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为
的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为________．
21.
已知△ABC中，∠ACB=90°
，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．
求证：
AD⊥平面SBC．
22.
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．
（1）求证：
BC⊥平面PAC；
（2）求证：
平面PAC⊥平面PBC．
23.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°
，求证：
MN⊥平面PCD．
24.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=1，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的余弦值．
25.
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
．
BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值．
回顾与思考
________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
一、1．任意一条垂线垂面垂足
2．相交a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α
3．平行a⊥α，b⊥α⇒a∥b
二、1．射影锐角2．直角0°
3．0°
≤
≤90°
三、1．两个半平面棱α-l-β或P-l-Q
2．垂直于棱∠AOB0°
<
180°
四、1．直二面角2．垂线l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
3．
【精讲精练】
1．D2．D3．A4．D5．C6．C7．C
8．②④⑤9．D10．A11．B12．A13．4
14．垂直15．C16．D17．D18．A19．45°
20．60°
21．证明略22．证明略23．证明略
24．
（1）
；
（2）
25．
（1）证明略；
直线、平面垂直的判定及其性质（随堂检测）
1．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的序号是________．
2．已知P是Rt△ABC平面外的一点，O是斜边AB的中点，并且PA=PB=PC．求证：
PO⊥平面ABC．
【参考答案】
1．①2．证明略
直线、平面垂直的判定及其性质（作业）
1.
下列选项中能得到平面α⊥平面β的是（）
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β
若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
③l∥α，l⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3.下列命题中错误的是（）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
A．①②B．②③C．③④D．①④
5.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成角的大小为（）
A．与点P的位置有关B．45°
C．60°
D．90°
6.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°
，
∠BAD=90°
．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，如图2．则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（）
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD
第6题图第7题图
7.如图，在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°
，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）
A．5B．8C．10D．6
8.如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，则下列垂直关系中正确的序号是________．
①平面PAB⊥平面PBC；
②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD．
第8题图第9题图
9.对于四面体ABCD，给出下列三个命题：
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________．
第10题图第11题图
11.如图，将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_____．
12.如图1，在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，如图2，BC=
AB，这时二面角B-AD-C的大小是___________．
13.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AD，CB=CD，E为BD的中点．求证：
BD⊥平面ACE．
14.如图，在三棱锥D-ABC中，BD⊥底面ABC，AC=BC，N是棱AB的中点．求证：
CN⊥AD．
15.
如图，已知点P是△ABC所在平面外一点，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°
，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
平面PBC⊥平面PAB；
PC⊥平面AEF．
16.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）B1D⊥平面ACD1；
（2）B1D与平面ACD1的交点H是△ACD1的重心（三角形三条中线的交点）．
17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC=60°
，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE．
18.如图，在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱
AA1⊥底面ABCD，E是CC1的中点，O是AC和BD的交点．
AC1∥平面BDE；
平面BDE⊥平面ACC1．
1．D2．C3．D4．A5．D6．D7．B
8．①②9．①10．
11．60°
12．60°
13．证明略14．证明略15．证明略
16．证明略（分析：
（1）先证明CD1⊥平面AB1C1D、AD1⊥平面A1B1CD，得到CD1⊥B1D，AD1⊥B1D，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用正三棱锥的性质
17．证明略18．证明略
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