垂直关系1线面垂直的判定文档格式.docx

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可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可3直线和平面所成的角

（1）定义：

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面_垂直_，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点_叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_垂足_和_斜足_的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角_，叫做这条直线和这个平面所成的角

（2）规定：

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_90_；

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_0_.因此，直线与平面所成的角的范围是_0，90_预习自测1直线l平面，直线m，则l与m不可能（A）A平行B相交C异面D垂直解析直线l平面，l与相交又m，l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知lm.故l与m不可能平行2直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面的关系是（D）Al和平面相互平行Bl和平面相互垂直Cl在平面内D不能确定解析如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能故选D3（20162017福州高二检测）在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是（D）AB2C3D4解析取BC的中点DABACADBC又PA平面ABC，PABC又PAADDBC平面PAD，BCPD在ABC中，ABAC5，BC6AD4PD4故选D命题方向1线面垂直的判定典例1如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证：

（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC；

（3）PC平面AEF思路分析本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、PAAC，这些垂直关系我们需要哪个呢？

我们需要的是PABC，联系已知，问题得证解析

（1）PA平面ABC，BC平面ABCPABCABC90，ABBC又ABPAA，BC平面PAB

（2）BC平面PAB，AE平面PAB，BCAEPBAE，BCPBBAE平面PBC（3）AE平面PBC，PC平面PBCAEPCAFPC，AEAFAPC平面AEF规律方法线面垂直的判定方法：

（1）证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面

（2）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：

在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；

确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

根据判定定理得出结论（3）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：

证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；

菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法跟踪练习1如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC

（1）求证：

SD平面ABC；

（2）若ABBC，求证：

BD平面SAC解析

（1）因为SASC，D是AC的中点所以SDAC在RtABC中，ADBD由已知SASB，所以ADSBDS所以SDBD，又ACBDD所以SD平面ABC

（2）因为ABBC，D为AC的中点所以BDAC，由

（1）知SDBD又因为SDACD，所以BD平面SAC命题方向2直线与平面所成的角典例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成的角思路分析

（1）求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线

（2）中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求解析

（1）直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则ACtanA1CA

（2）连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD1B1，垂足为OA1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角在RtA1BO中，A1OA1C1A1B，A1BO30即A1B与平面BDD1B1所成的角为30规律方法求线面角的方法：

（1）求直线和平面所成角的步骤：

寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角

（2）求线面角的技巧：

在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等跟踪练习2如图，在三棱柱CA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点

（1）证明：

A1D平面A1BC；

（2）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解析

（1）取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE因为ABAC，所以AEBC，故AE平面A1BC由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DEB1B且DEB1B，所以DEA1A所以四边形A1AED是平行四边形，故A1DAE又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC

（2）作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE所以BCA1F，A1F平面BB1C1C所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB由A1EAA1EB90，得A1AA1B4，A1E由DEBB14，DA1EADA1E90，得A1F所以sinA1BF易错系列逻辑推理不严密致误典例3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，D是AB的中点，连接CD求证：

CD平面ABB1A1.错解AA1平面ABC，CD平面ABC，CDAA1又BB1AA1，CDBB1又AA1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1CD平面ABB1A1错因分析错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件正解AA1平面ABC，CD平面ABCCDAA1又ACBC，D是AB的中点CDABAB平面ABB1A1，AA1平面ABB1A1ABAA1ACD平面ABB1A1警示用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.跟踪练习3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A2C190，D为BB1的中点求证：

AD平面A1DC1错解在三棱柱中，AA1平面ABC，B1A1C190ADA1C1；

又从图可知AD平面BCC1B1ADC1DAD平面A1DC1辨析前半部分，虽然由罗列条件能够推证出ADA1C1，但推理过程不严密；

后半部分AD平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据分析先推证C1A1平面ABB1A1得出ADC1A1；

再在矩形ABB1A1中，通过计算证明ADA1D证明AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABCAA1平面A1B1C1A1C1AA1又B1A1C190，A1C1A1B1而A1B1AA1AA1C1平面AA1B1B，AD平面AA1B1BA1C1AD由已知计算得AD，A1D，AA12AD2A1D2AAA1DADA1C1A1DA1AD平面A1DC11线线垂直和线面垂直的相互转化典例4一期末）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点.

（1）求证：

AD平面BCC1B1；

（2）求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值解析

（1）证明：

直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABCBB1ADABAC，D是BC的中点ADBC又BCBB1BAD平面BCC1B1

（2）解：

连接C1D由

（1）AD平面BCC1B1则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角在RtAC1D中，AD，AC1，sinAC1D即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为跟踪练习4如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：

AEBE证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE又AE平面ABE，AEBCBF平面ACE，AE平面ACE，AEBFBF平面BCE，BC平面BCE，BFBCBAE平面BCE又BE平面BCE，AEBE2关于垂直的存在型探索性问题典例5在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，且PA1，边BC上是否存在点Q，使得PQQD？

思路分析关键是将PQQD转化为DQAQ，再使DQAP即可，但ADBCa是变化的，故需对a进行讨论解析PA平面ABCD，PAQD若边BC上存在一点Q，使得QDAQ则有QD平面PAQ，从而QDPQ在矩形ABCD中，当ADa0），PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_2，）_.解析因为PA平面AC，QD平面AC，PAQD又PQQD，PAPQPQD平面PAQ，所以AQQD当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q（即Q1与Q2），使PQQDC级能力拔高1如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解析当F为CD的中点时，D1E平面AB1F连接A1B、CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1又D1E面A1BCD1，AB1D1E又DD1平面BDAFDD1又AFDE，AF平面D1DEAFD1ED1E平面AB1E即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.2如图，在锥体PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，E，F分别是BC，PC的中点求证：

AD平面DEF.证明取AD的中点G，连接PG，BG.因为PAPD所以ADPG设菱形ABCD边长为1在ABG中，因为GAB60，AG，AB1所以AGB90即ADGB又PGGBG所以AD平面PGB从而ADPB因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EFPB，从而ADEF易证DEGB，且ADGB所以ADDE，因为DEEFE所以AD平面DEF