等腰三角形与直角三角形基础过关文档格式.docx
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,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是(B)
A.∠BAC=70°
B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35°
D.∠DAC=55°
5.(2014·
南充)如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为(B)
A.30°
B.36°
C.40°
D.45°
6.(2013·
天门)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°
,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为(C)
A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm
7.(2013·
淄博)如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为(C)
A.
B.
C.3D.4
二、细心填一填
8.(2013·
黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=__15__度.
第8题图)
第9题图)
9.(2014·
天津)如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为__45__度.
10.(2013·
莆田)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积是__10__.
11.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°
且DC=2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是__S1+S3=S2__.
第11题图)
第12题图)
12.(2014·
凉山州)如图,圆柱形容器高18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__cm.
13.(2013·
锦州)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E,垂足为D,连接BE,已知AE=5,tan∠AED=
,则BE+CE=__6或16__.
14.(2013·
沈阳)已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__1或7__.
三、用心做一做
15.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P,求证:
PB=PC.并请直接写出图中其他相等的线段.
解:
∵AE=AF,AC=AB,∠A=∠A,∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠ABF=∠ACE,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠PBC=∠PCB,∴PB=PC.其他相等线段:
BE=CF,PE=PF,BF=CE
16.(2014·
温州)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°
,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°
,∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°
,∴∠F=90°
-∠EDC=30°
(2)∵∠ACB=60°
,∠EDC=60°
,∴△EDC是等边三角形,∴ED=DC=2,∵∠DEF=90°
,∠F=30°
,∴DF=2DE=4
17.(2014·
杭州)把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段长为4个单位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍.
(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?
用尺规作出这些三角形;
(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹)
(2)求出
(1)中所作三角形外接圆的周长.
(1)3,4,5;
4,4,4
(2)R1=2.5,外接圆周长为5π;
R2=
,外接圆周长为
π
18.如图,在△ABC中,∠ABC=45°
,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,点F是BC的中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?
若相等,给予证明,若不相等,请说明理由;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
(1)相等.证△DBH≌△DCA,得BH=AC
(2)连接CG,证△ABE≌△CBE,得EC=EA,在Rt△CGE中,由勾股定理得CG2-GE2=EC2,可证GF垂直平分BC,∴BG=CG,∴BG2-GE2=EA2
挑战技能
19.(2013·
泸州)如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°
,O是斜边AB的中点,点D,E分别在直角边AC,BC上,且∠DOE=90°
,DE交OC于点P,则下列结论:
①图形中全等的三角形只有两对;
②△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;
③CD+CE=
OA;
④AD2+BE2=2OP·
OC.其中正确的结论有(C)
A.1个B.2个C.3个D.4个
20.(2014·
珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,……则OA6的长度为__8__.
21.(2014·
金华)如图,等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.若AE=CF.
(1)求证:
AF=BE,并求∠APB的度数;
(2)若AE=2,试求AP·
AF的值.
(1)由SAS可证△ABE≌△CAF,∴AF=BE,∠ABE=∠CAF,∴∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°
,∴∠APB=180°
-60°
=120°
(2)由
(1)得∠AFC=∠AEP,又∵∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,∴
=
,∴AP·
AF=AE·
AC=2×
6=12
22.(2014·
重庆)如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:
①ME⊥BC;
②DE=DN.
(1)∵∠BAC=90°
,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°
,∵FC⊥BC,∴∠BCF=90°
,∴∠ACF=90°
-45°
=45°
,∴∠B=∠ACF,∵∠BAC=90°
,FA⊥AE,∴∠BAE+∠CAE=90°
,∠CAF+∠CAE=90°
,∴∠BAE=∠CAF,又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF
(2)①过点E作EH⊥AB于H,则△BEH是等腰直角三角形,∴HE=BH,∠BEH=45°
,∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,∴DE=HE,∴DE=BH=HE,∵BM=2DE,∴HE=HM,∴△HEM是等腰直角三角形,∴∠MEH=45°
,∴∠BEM=45°
+45°
=90°
,∴ME⊥BC ②由题意得∠CAE=45°
+
×
45°
=67.5°
,∴∠CEA=180°
-67.5°
,∴∠CAE=∠CEA=67.5°
,∴AC=CE,由HL可证Rt△ACM≌Rt△ECM,∴∠ACM=∠ECM=
=22.5°
,又∵∠DAE=
,∴∠DAE=∠ECM,∵∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC,∴AD=CD=
BC,由ASA可证△ADE≌△CDN,∴DE=DN
23.
(1)操作发现:
如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,你能发现AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你发现的结论;
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF,BF′,探究AF,BF′与AB有何数量关系?
并证明你探究的结论;
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论.
(1)AF=BD,证△BCD≌△ACF(SAS)即可
(2)仍然成立,证△BCD≌△ACF(SAS)即可 (3)Ⅰ.AF+BF′=AB.由
(1)知△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF.同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,∴AF+BF′=BD+AD=AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′.易证△BCF′≌△ACD(SAS),∴BF′=AD.由
(2)知AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′