等腰三角形与直角三角形基础过关文档格式.docx
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，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（B）
A．∠BAC＝70°
B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35°
D．∠DAC＝55°
5．（2014·
南充）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（B）
A．30°
B．36°
C．40°
D．45°
6．（2013·
天门）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°
，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（C）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
7．（2013·
淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（C）
A.
B.
C．3D．4
二、细心填一填
8．（2013·
黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__15__度．
第8题图）
第9题图）
9．（2014·
天津）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为__45__度．
10．（2013·
莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是__10__．
11．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°
且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是__S1＋S3＝S2__．
第11题图）
第12题图）
12．（2014·
凉山州）如图，圆柱形容器高18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__cm.
13．（2013·
锦州）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE＝5，tan∠AED＝
，则BE＋CE＝__6或16__．
14．（2013·
沈阳）已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__1或7__．
三、用心做一做
15．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：
PB＝PC.并请直接写出图中其他相等的线段．
解：
∵AE＝AF，AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.其他相等线段：
BE＝CF，PE＝PF，BF＝CE
16．（2014·
温州）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF的长．
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°
，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°
，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°
，∴∠F＝90°
－∠EDC＝30°
（2）∵∠ACB＝60°
，∠EDC＝60°
，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°
，∠F＝30°
，∴DF＝2DE＝4
17．（2014·
杭州）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？
用尺规作出这些三角形；
（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求出
（1）中所作三角形外接圆的周长．
（1）3，4，5；
4，4，4
（2）R1＝2.5，外接圆周长为5π；
R2＝
，外接圆周长为
π
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°
，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，点F是BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.
（1）线段BH与AC相等吗？
若相等，给予证明，若不相等，请说明理由；
（2）求证：
BG2－GE2＝EA2.
（1）相等．证△DBH≌△DCA，得BH＝AC
（2）连接CG，证△ABE≌△CBE，得EC＝EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，可证GF垂直平分BC，∴BG＝CG，∴BG2－GE2＝EA2
挑战技能
19．（2013·
泸州）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°
，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°
，DE交OC于点P，则下列结论：
①图形中全等的三角形只有两对；
②△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
③CD＋CE＝
OA；
④AD2＋BE2＝2OP·
OC.其中正确的结论有（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．（2014·
珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，……则OA6的长度为__8__．
21．（2014·
金华）如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P.若AE＝CF.
（1）求证：
AF＝BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE＝2，试求AP·
AF的值．
（1）由SAS可证△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF，∴∠ABE＋∠BAF＝∠CAF＋∠BAF＝∠BAC＝60°
，∴∠APB＝180°
－60°
＝120°
（2）由
（1）得∠AFC＝∠AEP，又∵∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴
＝
，∴AP·
AF＝AE·
AC＝2×
6＝12
22．（2014·
重庆）如图，△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
BE＝CF；
（2）在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：
①ME⊥BC；
②DE＝DN.
（1）∵∠BAC＝90°
，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°
，∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°
，∴∠ACF＝90°
－45°
＝45°
，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝90°
，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°
，∠CAF＋∠CAE＝90°
，∴∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF
（2）①过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，∠BEH＝45°
，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°
，∴∠BEM＝45°
＋45°
＝90°
，∴ME⊥BC ②由题意得∠CAE＝45°
＋
×
45°
＝67.5°
，∴∠CEA＝180°
－67.5°
，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°
，∴AC＝CE，由HL可证Rt△ACM≌Rt△ECM，∴∠ACM＝∠ECM＝
＝22.5°
，又∵∠DAE＝
，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°
，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝
BC，由ASA可证△ADE≌△CDN，∴DE＝DN
23．
（1）操作发现：
如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？
并证明你发现的结论；
（2）类比猜想：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与
（1）相同，猜想AF与BD在
（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？
并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？
若不成立，是否有新的结论？
并证明你得出的结论．
（1）AF＝BD，证△BCD≌△ACF（SAS）即可
（2）仍然成立，证△BCD≌△ACF（SAS）即可 （3）Ⅰ.AF＋BF′＝AB.由
（1）知△BCD≌△ACF（SAS），则BD＝AF.同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′.易证△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′＝AD.由
（2）知AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′
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