高中数学高考二轮复习等差数列与等比数列教案含答案全国用.docx

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高中数学高考二轮复习等差数列与等比数列教案含答案全国用

第1讲　等差数列与等比数列

1．（2016·课标全国乙）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于（　　）

A．100B．99C．98D．97

答案　C

解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，

∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.

2．（2016·北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

答案　6

解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.

又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋×（－2）＝6.

3．（2016·江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

答案　20

解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：

解得

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.

4．（2016·课标全国乙）设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．

答案　64

解析　设等比数列{an}的公比为q，

∴⇒解得

∴a1a2…an＝（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）

∵n∈N*，

∴当n＝3或4时，取到最小值－6，

此时取到最大值26＝64，

∴a1a2…an的最大值为64.

1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.

热点一　等差数列、等比数列的运算

1．通项公式

等差数列：

an＝a1＋（n－1）d；

等比数列：

an＝a1·qn－1.

2．求和公式

等差数列：

Sn＝＝na1＋d；

等比数列：

Sn＝＝（q≠1）．

3．性质

若m＋n＝p＋q，

在等差数列中am＋an＝ap＋aq；

在等比数列中am·an＝ap·aq.

例1　

（1）已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5等于（　　）

A.B.C.D.

（2）已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，则S8等于（　　）

A．15（1＋）B．15

C．15D．15（1＋）或15（1＋）

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.

∴＝＋2d＝10，解得a5＝.

（2）由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以或因为等比数列{an}的各项都为正数，所以公比q>0.当时q＝＝，所以S8＝＝15（1＋）；

当时，q＝＝，所以S8＝＝15.故选D.

思维升华　在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

跟踪演练1　

（1）（2015·浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.

（2）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2＝________.

答案　

（1）　－1　

（2）1006

解析　

（1）∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，

即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d），∴a1＝－d.

∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1，即3a1＋d＝1，

∴a1＝，d＝－1.

（2）在等比数列中，（a1＋a2）q2＝a3＋a4，

即q2＝2，所以a2013＋a2014＋a2015＋a2016

＝（a1＋a2＋a3＋a4）q2012＝3×21006，

所以log2＝1006.

热点二　等差数列、等比数列的判定与证明

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

（1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数；

②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）．

（2）证明{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明（n∈N*）为一常数；

②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1（n≥2）．

例2　已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an＋Sn＝2n＋1.

（1）求证：

数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

＋＋…＋<.

证明　

（1）∵an＋Sn＝2n＋1，令n＝1，

得2a1＝3，a1＝.

∵an＋Sn＝2n＋1，

∴an－1＋Sn－1＝2（n－1）＋1（n≥2，n∈N*）．

两式相减，得2an－an－1＝2，整理an＝an－1＋1，

an－2＝（an－1－2）（n≥2），

∴数列{an－2}是首项为a1－2＝－，公比为的等比数列，

∴an－2＝－n，∴an＝2－.

（2）∵＝

＝＝－，

∴＋＋…＋

＝（－）＋（－）＋…＋（－）

＝－<.

思维升华　

（1）判断一个数列是等差（比）数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．

（2）＝q和a＝an－1an＋1（n≥2）都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．

跟踪演练2　

（1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，若数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b（a为非零常数）上运动，则称数列{bn}为“抛物数列”．已知数列{bn}为“抛物数列”，则（　　）

A．{bn}一定为等比数列

B．{bn}一定为等差数列

C．{bn}只从第二项起为等比数列

D．{bn}只从第二项起为等差数列

答案　

（1）2n＋1－3　

（2）B

解析　

（1）由已知可得an＋1＋3＝2（an＋3），

又a1＋3＝4，

故{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋3＝4×2n－1，

∴an＝2n＋1－3.

（2）由已知条件可知，若数列{bn}为“抛物数列”，设数列{bn}的前n项和为Tn，则数列{bn}满足各项均为正项，并且以（bn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay＝x2＋x＋b（a为非零常数）上运动，即aTn＝·b＋·bn＋b，当n＝1时，aT1＝·b＋·b1＋b⇒ab1＝·b＋·b1＋b⇒·b－·b1＋b＝0⇒a·b－a·b1＋2b＝0，

即b1＝；

当n≥2时，由aTn＝·b＋·bn＋b，

及aTn－1＝·b＋·bn－1＋b，

两式相减得

a·bn＝·（b－b）＋·（bn－bn－1）

⇒·（b－b）－·（bn＋bn－1）＝0，

由各项均为正项，可得bn－bn－1＝1（n≥2），

由等差数列的定义可知{bn}一定为等差数列．

热点三　等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．

例3　已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.

（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；

（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn

解　

（1）由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，

∴an＝5－n，从而Sn＝.

（2）由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，

设等比数列{bn}的公比为q，

则q＝＝，

∴Tm＝＝8[1－（）m]，

∵（）m随m增加而递减，

∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8.

又Sn＝＝－（n2－9n）＝－[（n－）2－]，

故（Sn）max＝S4＝S5＝10，

若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn

则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为（6，＋∞）．

思维升华　

（1）等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．

（2）数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．

（3）数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．

跟踪演练3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3（an－1），n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．

解　

（1）由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，得a1＝1，

又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an⇒an＋1＝an，

所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1.

（2）由

得

所以bn＋1－bn＝（n＋1）·n－n·n－1＝（2－n），

所以（bn）max＝b2＝b3＝，所以t≥.

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为（　　）

A．6B．7

C．12D．13

押题依据　等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．

答案　C

解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，

∴S12>0，S13<0，

∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.

2．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于（　　）

A．1B．2

C．4D．8

押题依据　等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点．

答案　C

解析　设等差数列{an}的公差为d，因为a4－2a＋3a8＝0，所以a7－3d－2a＋3（a7＋d）＝0，即a＝2a7，解得a7＝0（舍去）或a7＝2，所以b7＝a7＝2.因为数列{bn}是等比数列，所以b2b12＝b＝4.

3．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

押题依据　本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向．

答案　A

解析　由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1（与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去），又由＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝（m＋n）（＋）

＝（＋＋5）≥（2＋5）＝，

当且仅当＝，m＋n＝6，

即n＝2m＝4时取得最小值.

4．定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的如下函数：

①f（x）＝x2；②f（x）＝2x；③f（x）＝；④f（x）＝ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）

A．①②B．③④

C．①③D．②④

押题依据　先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中