特殊平行四边形教师用Word格式文档下载.docx
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矩形的判定方法．
矩形判定方法1：
对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法3：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4：
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
例1已知：
如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
例一.分析：
（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
解：
设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：
，解得x=6．则AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：
AE×
DB＝AD×
AB，解得AE＝4.8cm．
例2已知：
如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：
CE＝EF．
例二分析：
CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°
，且AD∥BC．∴∠1=∠2．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°
．
∴∠B=∠AFD．又AD=AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∴AF=BE．
∴EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
变式练习
1．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
2、如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：
AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
二．菱形
菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形
（1）是平行四边形；
（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等；
性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：
（1）是一个平行四边形；
（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:
四边都相等的四边形是菱形．
例1
已知：
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：
∠AFD=∠CBE．
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD，CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又CE=CE，
∴△BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2已知：
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：
四边形AFCE是菱形．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴
AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
1、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，
若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
AM=BE。
2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°
=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．求线段
的长．
3、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。
请你猜想DE与DF的大小有什么关系？
并证明你的猜想
DE＝DF
证明如下：
连结BD
∵四边形ABCD是菱形
∴∠CBD＝∠ABD（菱形的对角线平分一组对角）
∵DF⊥BC，DE⊥AB
∴DF＝DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
4、
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
②有一个角是直角的平行四边形（矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：
对边平行，四边相等；
角：
四个角都是直角；
对角线：
对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°
；
正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
•
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
•
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．
•注意：
1、正方形概念的三个要点：
•
（1）是平行四边形；
•
（2）有一个角是直角；
•（3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
例1已知：
如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
OE=OF．
分析：
要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°
，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°
，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°
．
∴∠EAO=∠FDO．
∴△AEO≌△DFO．
∴OE=OF．
例2已知：
如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
四边形PQMN是正方形．
由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴PN∥QM，∠PNM=90°
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°
，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°
又 ∠3+∠2=90°
，∴ ∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN．
∴AM=DN．同理AN=DP．
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
变式练习
1．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB
试判断△ADE的形状，并给出证明．
【解析】△ADE是等边三角形．
理由如下：
∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，
∵∠B=∠C．
∴E为BC的中点，
∵BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
∵
∴△ABE≌△DCE．
∵AE=DE．
∴AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AB=DE
∵AB=AD，
∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
例5：
（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°
，AD＝5，求CD的长．
2：
（1）证明：
∵AE∥BD,∴∠E＝∠BDC
∵DB平分∠ADC∴∠ADC＝2∠BDC
又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
（2）解：
由第
（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°
，且BC＝AD＝5
∵在△BCD中，∠C＝60°
∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10
多边形的内角和与外角和
一．求多边形的边数
例1．一个正多边形的内角和是900°
，则这个多边形的边数是_________.
设此多边形边数为n，利用多边形内角和公式，得到（n-2）180°
=900°
，解得n=7，所以这个多边形的边数为7．
例2．一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是__________.
设多边形边数为n，其内角和为（n-2）180°
，外角和为360°
，因为这个多边形内、外角和相等，可得（n-2）180°
=360°
解得n=4．所以这个多边形是四边形．
例3．如果正多边形的一个外角为72°
，那么它的边数是（）
其中一种思考方法为：
因为多边形的外角和为360°
，而一个外角为72°
，所以它的边数
为360°
÷
72°
=5；
另一种思考方法为：
因为正多边形的一个外角为72°
，可以得出与它相邻的内角为180°
-72°
=108°
，因多边形的内角和为（n-2）180°
，可得（n-2）180°
n，解这个方程得：
n=5．
例4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．
此题可设多边形的边数为n，因为多边形内角和为（n-2）180°
，多边形的外角和为360°
，所以根据题意可得：
（n-2）180°
×
4，解得n=10．所以这个多边形的边数为10．
二．求多边形的内角度数
例3：
正六边形每个内角的度数为_________.
，所以正六边形每个外角的度数为
所以每个内角的度数为180°
-60°
=120°
;
此题也可利用多边形的内角和来解为
三．求多边形对角线的条数
例4：
一个多边形的每个外角都为36°
，则这个多边形的对角线有_______条.
因为这个多边形的每个外角都是36°
，所以这个多边形是正多边形．设这个正多边形的边数为n，则n=
，所以这个多边形是正十边形．因为多边形对角线的总条数为
，所以这个多边形的对角线的条数为
四．实际应用
1．某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能
买（）
A正三角形的地砖B正方形地砖C正五边形地砖D正六边形地砖
要使买的同样一种多边形的地砖能平铺地面，则它的几个角能构成360°
，因正三角形三个内角和为180°
，所以它符合标准；
正方形的四个内角和为360°
，所以它也符合要求；
而正五边形它的一个内角为108°
，360°
不能被108°
整除，所以正五边形不符合要求；
用同样的道理可知正六边形符合要求．所以此题选C．
特殊平行四边形复习练习
基础知识点复习：
（一）矩形：
1、矩形的定义：
__________________________的平行四边形叫矩形．
2、矩形的性质：
①．矩形的四个角都是______；
矩形的对角线__________________________．
②.矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.
3、矩形的判定：
①．有_____个是直角的四边形是矩形．
②．对角线____________________________的平行四边形是矩形．
③．对角线________________________________的四边形是矩形．
4、练习：
①如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°
，AB=4cm，
则矩形对角线AC长为______cm．
②．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）
A．AO=CO，BO=DOB．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=COD．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
③．如图，AD
BC，则四边形ABCD是____，又对角线AC，BD交于点O，若∠1=∠2，则四边形ABCD___．
（二）菱形：
1、菱形的定义：
有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．
2、菱形的性质：
①．菱形的四条边______；
菱形的对角线_____________，且每条对角线______________．
②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.
3、菱形的判定：
①．__________________边都相等的四边形菱形．
②．对角线_____________________________的平行四边形是菱形．
③．对角线_____________________________________________的四边形是菱形．
4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________
5、练习：
①．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65°
，则∠A=_____．
②．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于cm。
面积=cm2
③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为
（三）正方形:
1、正方形的定义：
的平行四边形叫正方形。
2、正方形的性质：
①．正方形的四个角是_____角，四条边_____，对角线_______________________．
②．正方形是______对称图形，又是对称图形,它有______条对称轴．
3．正方形的判定：
先判定这个四边形是矩形，再判定这个矩形还是_____形；
或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是_____形．
4．练习：
①正方形的面积为4，则它的边长为____，对角线长为_____．
②已知正方形的对角线长是4，则它的边长是，面积是。
③如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需增加条件：
_______．
巩固提高
（一）选择题
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.
A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分
2、下列对矩形的判定：
“
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（ ）
A、3个B、4个C、5个D、6个
3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A、对边平行且相等B、对角线互相平分
C、内角和等于外角和D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴
4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（）
A、对角线互相平分的四边形B、对角线互相垂直且平分的四边形
C、对角线相等的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形
5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）
A、AB=CDB、AC=BDC、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°
时，它是矩形
6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）。
A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直
7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）。
A、对角线相等B、对角线互相垂直平分C、四条边相等D、一条对角线平分一组对角
8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（）。
A、对角线互相垂直且相等的四边形B、一条对角线平分一组对角的矩形
C、对角线相等的棱形D、对角线互相垂直的矩形
9、下列命题中，假命题是（）。
A、四个内角都相等的四边形是矩形B、四条边都相等的平行四边形是正方形
C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
10、在四边形
中，
是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（）。
A、
，
B、
C、
D、
11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°
，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ）
A、6B、5.8C、2（1+
）D、5.2
第12题
12、如图，菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ ）
A、4和2B、1和2
C、2和2
D、2和
13、如图，矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE的形状最准确的判断是（ ）
A、平行四边形B、菱形C、矩形D、正方形
第15题
第14题
第13题
14、如图，设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于E,若S正方形ABCD=64，S△CEF=50，
则S△CBE=（ ）
A、20B、24C、25D、26
15、如图，在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为（）
A、
B、
C、
D、2
（二）填空题
16、已知一个菱形的面积为8
㎝2，且两条对角线的比为1∶
，则菱形短的对角线长为_________。
17、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为____________________。
18、在Rt△ABC中,斜边AB上的中线长为3,则AC2+BC2+AB2=______________________。
19、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4，则它的各内角度数为___________________。
20、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°
，则下列结论①△ODC是等边三角形；
②BC=2AB；
③∠AOE=135°
④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是___________________。
21、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为______________。
第22题
22、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,且PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、AD满足条件__________时,四边形PEMF是矩形。
23、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE=_______________。
（三）解答题
24、已知：
如图，在□ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：
□ABCD是矩形．
25、已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=
菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
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