北京丰台区高三一模数学理试题及答案.docx
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北京丰台区高三一模数学理试题及答案
北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习
（一）
数学试题（理）
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B铅笔作图，要求线条、图形清晰.
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.
一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．如果为纯虚数，则实数a等于（）
A．0B．-1C．1D．-1或1
2．设集合，则集合是
（）
A．B．C．D．
3．若则的值是（）
A．84B．-84C．280D．-280
4．奇函数上单调递增，若则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）
A．36B．48C．52D．54
6．在，的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．设则（）
A．a+b有最大值8B．a+b有最小值8
C．ab有最大值8D．ab有最小值8
8．已知整数以按如下规律排成一列：
（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是（）
A．（10，1）B．（2，10）C．（5，7）D．（7，5）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，DE与AC交于点F，若的面积是1cm2，则的面积是cm2.
10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：
cm），则该几何体的体积是
cm3.
11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x的值为，样本数据落在内的频数为.
12．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆C的参数方程为（参数），则圆心到直线的距离是.
13．在右边的程序框图中，若输出i的值是4，
则输入x的取值范围是.
14．函数图象上点P处的切线与直线
围成的梯形面积等于S，则S的最大
值等于，此时点P的坐标是.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，
演算步骤或证明过程.
15．（12分）
已知函数的图象经过点
（I）求实数a、b的值；
（II）若，求函数的最大值及此时x的值.
16．（13分）
如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.
（I）求证：
BD⊥FG；
（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.
（III）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.
17．（14分）
某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为
（I）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（III）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值E.
18．（13分）
已知函数
（I）当a<0时，求函数的单调区间；
（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是求a的值
19．（13分）
在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
20．（14分）
设集合W由满足下列两个条件的数列构成：
①
②存在实数M，使（n为正整数）
（I）在只有5项的有限数列
；试判断数列是否为集合W的元素；
（II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；
（III）设数列且对满足条件的M的最小值M0，都有.
求证：
数列单调递增.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
BCAABCBC
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．4
10．
11．0.09,680
12．
13．
14．
三、解答题：
（本大题共6小题，共80分）
15．（12分）
解：
（I）∵函数的图象经过点，
…………4分
解得：
…………5分
（II）由（I）知：
…………8分
…………9分
时，
取得最大值…………12分
16．（13分）
证明：
（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD.
∴BD⊥平面APC，
平面PAC，
∴BD⊥FG…………7分
（II）当G为EC中点，即时，
FG//平面PBD，…………9分
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD，
故FG//平面PBD.…………13分
（III）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，…………11分
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角…………12分
连结EH，则
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………14分
解：
以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）
…………5分
（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，
而，
由可得，解得
…………7分
故当时，FG//平面PBD…………9分
设平面PBC的一个法向量为
则，而
，取z=1，得，
同理可得平面PBC的一个法向量
设所成的角为0，
则
即
…………12分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
…………14分
17．（14分）
解：
（I）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，
则
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是…………3分
（II）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p，
由（I）知，
师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
0
1
2
P
徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
0
1
2
P
所以…………9分
（III）的分布列为
0
1
2
3
4
P
…………13分
的期望为…………14分
18．（13分）
解：
函数的定义域为…………1分
…………3分
（1）
故函数在其定义域上是单调递增的.…………5分
（II）在[1，e]上，发如下情况讨论：
①当a<1时，函数单调递增，
其最小值为
这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；…………6分
②当a=1时，函数单调递增，
其最小值为
同样与最小值是相矛盾；…………7分
③当时，函数上有，单调递减，
在上有单调递增，所以，
函数满足最小值为
由…………9分
④当a=e时，函数单调递减，
其最小值为还与最小值是相矛盾；…………10分
⑤当a>e时，显然函数上单调递减，
其最小值为
仍与最小值是相矛盾；…………12分
综上所述，a的值为…………13分
19．（13分）
解：
（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为…………3分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得
…………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
②…………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（-2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点…………13分
20．（14分）
解：
（I）对于数列，
取显然不满足集合W的条件，①
故不是集合W中的元素，…………2分
对于数列，当时，
不仅有
而且有，
显然满足集合W的条件①②，
故是集合W中的元素.…………4分
（II）是各项为正数的等比数列，是其前n项和，
设其公比为q>0，
整理得
…………7分
对于
且
故，且…………9分
（III）证明：
（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数k，
使，易证于任意的，都有，证明如下：
假设
当n=m+1时，由
而
所以
所以，对于任意的
显然这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为；
所以与这题矛盾.
所以假设不成立，故命题得证.…………14分
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