高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限文档格式.docx
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=,且0）1（=f,求）（xf
令tex
=,txln=,因此ln（）（）xt
feftt
==
221
ln1
1（）
（1）lnln12
2xxtfxfdttxt-===⎰
（1）0f=,∴xxf2
ln2
1）（=
三、有关四种性质
例1设（）（）Fxfx'
=,则下列结论正确的是[]
（A）若）（xf为奇函数,则）（xF为偶函数（B）若）（xf为偶函数,则）（xF为奇函数（C）若）（xf为周期函数,则）（xF为周期函数（D）若）（xf为单调函数,则）（xF为单调函数例2求dxxxeexxIxx⎰
--++-+=
11
25）]1ln（）（[
解xxeexf--=）（1是奇函数,）（）（11xfeexfxx-=-=--
）1ln（）（22++=xxxf是奇函数,1
）1（ln
）1ln（）（2
222
2++-+=++-=-xxxxxxxf
）（）1ln（1ln22xfxx-=++-=
因此）1ln（）（2++--xxeexxx是奇函数
于是⎰⎰
=
=+=
-10
61
1
6
7
220dxxdxxI
例3设）（）,（xgxf是恒大于零的可导函数,且（）（）（）（）0fxgxfxgx'
-<
则当bxa<
<
时,下列结论成立的是
[]（A））（）（）（）（xgbfbgxf>
（B））（）（）（）（xgafagxf>
（C））（）（）（）（bgbfxgxf>
（D））（）（）（）（agafxgxf>
四、函数方程
例1.设）（xf在）,0[∞+上可导,0）0（=f,反函数为）（xg,且
⎰
=）（0
2）（xfxexdttg,求）（xf。
两边对x求导得2[（）]（）2xxgfxfxxexe'
=+,于是（）
（2）xxfxxxe'
=+,故（）
（2）x
fxxe
=+,
Cexxfx++=）1（）（,由0）0（=f,得1-=C,则1）1（）（-+=xexxf。
例2设）（xf满足xxfxf=-）3
（sin31）（sin,求）（xf解:
令）（sin）（xfxg=,则
xxgxg=-）31
（31）（,
xxgxg22231
）31（31）31（31=-,22334
11111（）（）33333gxgxx-=,……
xxgxgnnnnn）
1（2113
）31（31）31
（
31---=-
各式相加,得]9
911[）31（31）（1-+++=-nnnxxgxg
1）（≤xg,∴0）3
（31lim=∞→xgnnn
8
99
11]9
1911[lim1=
-=+++
-∞
→nn因此xxg89
）（=
于是πkxarcxf289sin）（+=或9
（21）sin8
karcxπ+-（k为整数）
二、极限
一、极限的概念与基本性质二、无穷小
常见的等价无穷小,当0→x时
xx~sin,xx~tan,xxarc~sin,xxarc~tan,2
2
1~
cos1xx-,xex~1-,xx~）1ln（+,
（1）1~xxαα+-。
三、求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1:
单调有界数列极限一定存在准则2:
夹逼定理3.两个重要公式
公式1:
1sinlim
0=→x
公式2:
ennn=+∞→）11（lim;
eu
u
u=+∞→）11（lim;
evvv=+→1
0）1（lim
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式
当0→x时,2
1（）2!
!
n
xnxxexoxn=+++++35
21
21sin
（1）（）3!
5!
（21）!
nn
nxxxxxoxn++=-++
-++
24
22cos1
（1）（）2!
4!
（2）!
nxxxxoxn=-+-
+-+
23
ln
（1）
（1）
（）23n
nnxxxxxoxn
++=-+-
-+35
21tan
（1）（）3521
nnnxxxarcxxoxn+++=-+-
+-++2
（1）
（1）[
（1）]
（1）1（）2!
nnnxxxxoxnααααααα----+=++
+
6.洛必达法则
法则1:
型）设
（1）0）（lim,0）（lim==xgxf
（2）x变化过程,（）fx'
（）gx'
皆存在
（3）（）
lim（）
fxA
gx'
='
（或∞）
则Axgxf=）
（）
（lim
（或∞）法则2:
∞
型）设
（1）lim（）,lim（）fxgx=∞=∞
（2）x变化过程,（）fx'
皆存在（3）（）
lim
（或∞）则Axgxf=）
（或∞）7.利用导数定义求极限
基本公式:
0000
（）（）
（）xfxxfxfxx
∆→+∆-'
=∆[如果存在]
8.利用定积分定义求极限
基本公式⎰∑==∞→101
）（）（1limdxxfnk
fnnkn
[如果存在]
9.变量替换
10.其它综合方法
11.求极限的反问题有关方法
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限二、用两个重要公式
例1求nnxxx2
cos4cos2cos
lim∞
→解:
当0=x,原式=1
当0≠x时,原式nnnnnnxxxxx2
sin22cos4cos2cos2sin
2lim∞→=nnnnnnxxxxx2sin22sin2cos4cos2cos2lim111---∞→⋅==…
xxxx
xxxxnnnnnnsin2
sin2sinlim2sin2sinlim=⋅==∞→∞→三、用夹逼定理求极限
例1求）212654321（limn
nn-⋅⋅
∞→解:
令nnxn212654321-⋅⋅=,1
225432+⋅=nnyn,则nnyx<
0,于是12102+=<
nyxxnnn由夹逼定理可知:
0lim2
=∞→nnx,于是原极限为0例2求∑=∞→++n
knknnk12lim解:
121212122+++++≤++≤+++++∑=nnnk
nnknnnnnk而21）2（）1（21lim221lim2=++=++++∞→∞→nnnnn
nnnn2
11）1（21lim121lim22=+++=+++++∞→∞→nnnnnnnnn由夹逼定理可知21lim
12=++∑=∞→nknknnk例3.求∑=∞→++nknknk
n12lim。
（2003）
四、用定积分定义求数列的极限
例1.求∑=∞→+n
knknn122lim分析:
如果还想用夹逼定理的方法来考虑
1222221+≤+≤+∑=nnk
nnnnnnk而21lim222=+∞→nnnn,11
lim222
=+∞→nnn由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑解:
∑∑==∞→∞→+=+n
knknnn
knknn12122）（111limlim⎰==+=1
02401tan1πxarcxdx例2.求∑=∞→+nknk
nnk11sinlimπ解:
∑∑∑===≤+≤+nknknknknknnknkn111
sin11sinsin11ππ
π而⎰∑===∞→101
2sinsin1limπππxdxnknnkn∑∑==∞→∞→=+=+nknknnnknnnnkn11
2）sin1）（1（limsin11limπππ由夹逼定理可知,ππ21sinlim1=+∑=∞→nknk
nnk
五、用洛必达法则求极限
1.0"
0"
型和∞
∞"
"
型例1.求101
02limx
ex
x-→解:
若直接用0"
型洛必达法则1,则得913010）2（lim2xexxx-→=12
105lim2xexx-→（不好办了,分母x的次数反而增加）为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令tx=21
于是ttttxxettexe55101
limlimlim2
+∞→--+∞→-→==（∞∞"
型）4
55!
limlim0tttttee→+∞→+∞====
◆例2.2050sin（）limx
xxt
dt
x→⎰（2003）
◆例3.计算:
（）（）200cos2limtan1xt
xxetdtxxx→--
--⎰。
（2004
）◆例4.计算:
（）（）2340
0sinln
（1）38
limsin1
xxxxxttdtxxe→+-
（2005）2."
∞-∞型和"
⋅∞型
例1求）cossin1（lim2220xx
xx-→
例2设0>
a,0>
b常数。
求）（lim1
1x
xxbax-+∞→
3.“∞1”型,“00”型和“0∞”型
例1求xxx2sin0lim+→
b
常数,求nn→∞六、求分段函数的极限
七、用导数定义求极限
例1设曲线）（xfy=与xysin=在原点相切,求）2（limn
nfn∞→解:
由题设可知0）0（=f,0（0）（sin）1xfx='
==于是2（）（0）2lim（）lim22（0）20nnffnnffnn
→∞→∞-'
=⋅==-
八、递推数列的极限
例1设301<
x,）3（1nnnxxx-=+,证明nxlim存在,并求其值。
九、变量替换
十、求极限的反问题
例1设221lim3sin
（1）
xxaxbx→++=-,求a和b解:
由题设可知2
1lim（）0xxaxb→++=,10ab∴++=,再由洛必达法则得32
2）1cos（22lim）1sin（lim21221=+=-+=-++→→axxaxxbaxxxx5,4-==ba
例2设）（xf在）,0（∞+内可导,0）（>
xf,1）（lim=∞→xfx,且满足xhhexfhxxf1
10]）
（）（[lim=+→,求）（xf。
解:
）]（ln）（[ln1lim100]）（）（[limxfhxxfhhhhexfhxxf-+→→=+
0lim[ln（）ln（）][ln（）]hxfxhxfxxfxhxee→+-'
==因此,1[ln（）]xfxx'
=,21[ln（）]fxx'
=,1ln（）fxcx'
=-+xcexf1
）（-=,由1）（lim=+∞
→xfx,可知1=c则xexf1
）（-=
十一、用等价无穷小量
例1已知54lim[（73）]0a
xxxxb→∞++-=≠,求a,b的值。
例23limln（12）ln
（1）xxx
→+∞++◆例3.
求极限limx→。
（2002）
三、连续
一、函数连续的概念
二、函数的间断点及其分类
三、初等函数的连续性
四、闭区间上连续函数的性质
一、讨论函数的连续性
例1讨论函数
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>
=<
=0,1sin0
00,）（1
xxxxxexfx在点0=x处的连续性。
二、间断点问题
三、用介值定理讨论方程的根
例1证明五次代数方程0155=--xx在区间（1,2）内至少有一个根。
例2设）（xf在]1,0[上连续,且）1（）0（ff=。
求证:
在]1,0[上至少存在一点ξ使）（）1（ξξfnf=+
（2≥n正整数）证:
令）（）1（）（xfnxfxG-+=,]1,0[n
nx-∈则）0（）1
（）0（fn
fG-=）1（）2（）1（n
fnfnG-=）2（）3（）2（n
fnfnG-=
）1（）1（）1（n
nffnnG--=-于是0）0（）1（）1（）1（）0（=-=-+++ffn
nGnGG（ⅰ）如果）1,,1,0（）（-=nin
iG有为0,则已经证明∵0）（,==ξξGni,）（）1（ξξfn
f=+成立。
（ⅱ）如果）1,,1,0（）（-=nin
iG全不为0,则不可能同号,否则相加后不为0,矛盾。
所以其一定有异号,不妨假设1021-≤<
≤nii,）（1ni
G与）（2n
iG异号。
根据介值定理推论存在）,
（21nini∈ξ使0）（=ξG则）1,0（∈ξ,使）（）1（ξξfn
例3证明:
若对任意实数,xy,有（）（）（）fxyfxfy+=+,且）（xf在0x=处连续,则）（xf在
区间（,）-∞+∞上连续。
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