高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限文档格式.docx

1、=,且0）1（=f ,求）（x f令t e x=,t x ln =,因此ln （）（）x tf e f t t=, 221ln 11（）（1）ln ln 122x x t f x f dt t x t -=（1）0f =,x x f 2ln 21）（=三、有关四种性质例1 设（）（）F x f x =,则下列结论正确的是 （A ）若）（x f 为奇函数,则）（x F 为偶函数 （B ）若）（x f 为偶函数,则）（x F 为奇函数 （C ）若）（x f 为周期函数,则）（x F 为周期函数 （D ）若）（x f 为单调函数,则）（x F 为单调函数 例2 求dx x x e e x x I x

2、 x -+-+=1125）1ln（）（解 x x e e x f -=）（1是奇函数,）（）（11x f e e x f x x -=-=-）1ln（）（22+=x x x f 是奇函数, 1）1（ln）1ln（）（22222+-+=+-=-x x x x x x x f）（）1ln（1ln 22x f x x -=+-=因此）1ln（）（2+-x x e e x x x 是奇函数于是=+=-1061167220dx x dx x I例3 设）（）,（x g x f 是恒大于零的可导函数,且（）（）（）（）0f x g x f x g x -,则当b x a （B ）（）（）（）（x g a

3、f a g x f （C ）（）（）（）（b g b f x g x f （D ）（）（）（）（a g a f x g x f 四、函数方程例1.设）（x f 在）,0+上可导,0）0（=f ,反函数为）（x g ,且=）（02）（x f x e x dt t g ,求）（x f 。两边对x 求导得2（）（）2x x g f x f x xe x e =+,于是（）（2）x xf x x x e =+,故（）（2）xf x x e=+,C e x x f x +=）1（）（,由0）0（=f ,得1-=C ,则1）1（）（-+=x e x x f 。例2 设）（x f 满足x x f x f =

4、-）3（sin 31）（sin ,求）（x f 解:令）（sin ）（x f x g =,则x x g x g =-）31（31）（,x x g x g 22231）31（31）31（31=-, 2233411111（）（）33333g x g x x -=, x x g x g n n n n n ）1（2113）31（31）31（31-=-, 各式相加,得9911）31（31）（1-+=-n n n x x g x g1）（x g ,0）3（31lim =x g n n n8991191911lim 1=-=+-n n 因此x x g 89）（=,于是 k x arc x f 289sin

5、 ）（+=或9（21）sin 8k arc x +-（k 为整数）二、极限一、极限的概念与基本性质 二、无穷小常见的等价无穷小,当0x 时x x sin ,x x tan ,x x arc sin ,x x arc tan ,221cos 1x x -,x e x 1-,x x ）1ln（+,（1）1x x +-。三、求极限的方法1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则2.两个准则准则1:单调有界数列极限一定存在 准则2:夹逼定理 3.两个重要公式公式1:1sin lim0=x公式2:e n n n =+）11（lim ;e uuu =+）11（lim ;e v v v =+10）1（lim4.

6、用无穷小重要性质和等价无穷小代换5.用泰勒公式当0x 时,21（）2!nx n x x e x o x n =+ 352121sin （1）（）3!5!（21）!n nn x x x x x o x n +=-+-+2422cos 1（1）（）2!4!（2）!n x x x x o x n =-+-+-+23ln（1）（1）（）23nn n x x x x x o x n+=-+-+ 3521tan （1）（）3521n n n x x x arc x x o x n +=-+-+-+ 2（1）（1）（1）（1）1（）2!n n n x x x x o x n -+=+6.洛必达法则法则1:型

7、）设（1）0）（lim ,0）（lim =x g x f （2）x 变化过程,（）f x ,（）g x 皆存在（3）（）lim （）f x Ag x =（或）则A x g x f =）（）（lim（或） 法则2:型）设（1）lim （）,lim （）f x g x = （2）x 变化过程,（）f x 皆存在 （3）（）lim（或） 则A x g x f =）（或） 7.利用导数定义求极限基本公式:0000（）（）（）x f x x f x f x x+-=如果存在8.利用定积分定义求极限基本公式=101）（）（1lim dx x f n kf n n k n如果存在9.变量替换10.其它综合方

8、法11.求极限的反问题有关方法一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 二、用两个重要公式例1 求n n x x x 2cos 4cos 2coslim 解:当0=x ,原式=1当0x 时,原式n n n n n n x x x x x 2sin 22cos 4cos 2cos 2sin2lim = n n n n n n x x x x x 2sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim 111-= =x x x xx x x x n n n n n n sin 2sin 2sin lim 2sin 2sin lim = 三、用夹逼定理求极限例1求）212654321（lim n

9、n n - 解:令n n x n 212654321-= ,1225432+=n n y n , 则n n y x 0,于是12102+=a ,0b 常数。求）（lim 11xx x b a x -+3.“1”型,“00”型和“0”型例1 求x x x 2sin 0lim +b常数,求n n 六、求分段函数的极限七、用导数定义求极限例1 设曲线）（x f y =与x y sin =在原点相切,求）2（lim nnf n 解:由题设可知0）0（=f ,0（0）（sin ）1x f x = 于是2（）（0）2lim （）lim 22（0）20n n f f n nf f n n-=-八、递推数列的

10、极限例1 设301x f ,1）（lim =x f x ,且满足x h h e x f hx x f 110）（）（lim =+,求）（x f 。 解:）（ln ）（ln 1lim 100）（）（lim x f hx x f h h h h e x f hx x f -+=+0lim ln （）ln （）ln （）h x f x hx f x x f x hx e e +-= 因此,1ln （）x f x x =,21ln （）f x x =,1ln （）f x c x =-+ x ce x f 1）（-=,由1）（lim =+x f x ,可知1=c 则x e x f 1）（-=十一、用等价

11、无穷小量例1 已知54lim（73）0ax x x x b +-=,求a,b 的值。 例2 3lim ln（12）ln（1）x x x+ 例3.求极限lim x 。（2002）三、连续一、函数连续的概念二、函数的间断点及其分类三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质一、讨论函数的连续性例1 讨论函数=0,1sin 0,00,）（1x x x x x e x f x 在点0=x 处的连续性。二、间断点问题三、用介值定理讨论方程的根例1 证明五次代数方程0155=-x x 在区间（1,2）内至少有一个根。例2设）（x f 在1,0上连续,且）1（）0（f f =。求证:在1,0上至少存在一点

12、使）（）1（f n f =+（2n 正整数） 证:令）（）1（）（x f n x f x G -+=,1,0nn x - 则）0（）1（）0（f nf G -= ）1（）2（）1（nf n f n G -= ）2（）3（）2（nf n f n G -=）1（）1（）1（nn f f n n G -=- 于是0）0（）1（）1（）1（）0（=-=-+f f nn G n G G （）如果）1,1,0（）（-=n i ni G 有为0,则已经证明 0）（,=G n i ,）（）1（f nf =+成立。 （）如果）1,1,0（）（-=n i ni G 全不为0, 则不可能同号,否则相加后不为0,矛盾。所以其一定有异号,不妨假设1021-n i i ,）（1n iG 与）（2ni G 异号。 根据介值定理推论存在）,（21n i n i 使0）（=G 则）1,0（,使）（）1（f n 例3 证明:若对任意实数,x y ,有（）（）（）f x y f x f y +=+,且）（x f 在0x =处连续,则）（x f 在区间（,）-+上连续。