复数章节教案.docx

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复数章节教案

课程

数学

第20章

第20.1节复数的概念

授课时数

2

授课方法

讲授法

授课时间

授课班级

轮机1501

教学目的

知识目标：

通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念，并能理解复数的几何意义

能力目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维力；

教学重点

和难点

重点：

复数的定义和复数的几何意义。

难点：

复数的引入，理解复数引入的必要性以及复数与复平面和向量的一一对应关系

复习提问与

作业布置

P6练习2预习

教学思路、方法、手段

（1）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识复数

（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；

（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．

教学备品

教学课件、尺子

【教学过程】

师生活动

设计意图

知识导入

活动1：

给出4个方程求解的问题。

以下4个方程在对应的数系中是否有解？

x+1=0

老师给出4个方程求解的问题，引导学生回顾数系的一步一步扩充的过程，为引入复数做铺垫。

.

本次活动，旨在提供学生参与活动的空间，调动学生的主观能动作用，激发学生的好奇心与求知欲。

为本节课的学习作好准备.

历史回顾

老师带领大家一起学习数学史的相关知识，回顾在数学的发展史上，复数的的发现以及发展历程，让同学们从历史的角度认识到复数学习的重要性和必要性。

数学的发展是伴随着社会的需要和数学本身发展的需要的。

同学们在学习数学史的过程中，可以帮助他们理清数学学习的思路和某些数学问题的历史重要性。

教学过程设计

师生活动

设计意图

辨析定义

活动3：

（1）引入虚数单位,并规定

复数的概念：

形如这样的数称为复数，其中称为复数的实部，称为复数的虚部，且都为实数。

并引入复数集，用大写字母表示。

（2）根据复数的基本形式，对复数进一步分类。

当时，就是实数，

当时，是虚数，其中且时称为纯虚数。

（3）复数相等的概念

如果两个复数与相等，则等价于且.

并在此强调，复数一般不能比较大小。

思考：

的充要条件是什么？

（4）典型例题选讲：

1．已知,其中,求.

2．已知,求实数的值.

学生通过看书，预先了解复数的概念，并在老师的引导下进一步认识复数的基本形式。

通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论，让同学们理解复数与实数的关系。

对复数定义的更深一步理解。

通过例题的讲解，了解学生的知识掌握程度。

可以让学生先自己解答，老师再做讲解。

类比研究

复数的几何意义。

（1）复数与复平面的一一对应

复数与直角坐标系中的点一一对应。

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面，简称复平面，其中轴称为实轴，轴称为虚轴（虚轴不包括原点）。

通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应，理解数形结合的思想，并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。

教学过程设计

师生活动

设计意图

类比研究

（2）复数与平面向量的一一对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数一一对应，这样，我们可以用平面向量来表示复数。

复数与平面向量一一对应

（3）典型例题选讲

已知复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围。

分析：

第二象限横坐标小于0，纵坐标大于0，则

解决实际问题。

体会数形结合的思想。

表示复数的点所在象限的问题。

（几何问题）

复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题。

（代数问题）

把新学习的知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识点之间的关系，有利于对新知识的理解和旧知识的巩固。

在解决具体问题时所发现的新的数学思想方法，可以帮助同学们在今后的学习中多角度的思考问题，解答问题，有利于学生思维的拓展。

共轭复数概念：

一般地，如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。

复数的共轭复数记作，即，则

.

典型例题精讲：

已知，且

，求这个复数的共轭复数。

教学过程设计

师生活动

设计意图

课堂反馈

1.下列命题是真命题的是（）

A.是方程的一个根B.是无理数

C.复数为虚数D.不是纯虚数

2.，则=（）

3.，求的值。

4.若不等式成立，求

的值。

课后反思

我们之前在学习是实数时，都会涉及到数的运算问题，那么对于复数，我们是不是也可以定义相关的运算呢？

可以的话，怎么定义呢？

思考题给学生留有继续学习的空间和兴趣。

课堂总结

1、通过数系的扩充过程引入复数。

通过对数学史知识的了解知道了复数的重要性和学习复数的必要性。

2、在理解复数的有关概念时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；（4）两个复数不全是实数就不能比较大小

3、通过本节课的学习,你有哪些收获？

你还有什么疑惑吗？

教师组织学生回顾本节课学习的内容。

谈谈自己的收获，不拘形式，有多少说多少，鼓励学生大胆质疑.

作业布置

1．

2．当为何值时，是

（1）实数；

（2）纯虚数；（3）虚数

教学反思

1．要注意知识的连续性：

复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．2．注意数形结合的数形思想：

由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

课程

数学

第20章

第20.2节复数的运算

授课时数

4

授课方法

讲授法

授课时间

授课班级

轮机1501

教学目的

知识目标：

掌握复数的加减乘除的运算及几何意义

能力目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维力；

教学重点

和难点

重点：

掌握复数的运算及几何意义

难点：

复数的减法和除法

复习提问与

作业布置

P6练习2预习

教学思路、方法、手段

复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将换成；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；在反思交流中，总结知识，品味学习方法．

教学备品

教学课件

【教学过程】

第12课时

（一）导入新课：

复数的概念及其几何意义；

（二）推进新课：

建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。

设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，我们规定：

1、复数的加法运算法则：

z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.

2、复数的加法运算律:

交换律：

z1+z2=z2+z1

结合律:

：

（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）

3、复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，

由于=+=（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d），所以和的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量

4、复数的减法运算法则：

z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.

5、复数减法的几何意义：

类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=（a－c）+（b－d）i，而向量=-=（a，b）-（c，d）=（a-c，b-d），所以和的差就是与复数（a－c）+（b－d）i对应的向量

6、例题讲解：

例1、计算：

（5-6i）+（-2-i）-（3+4i）

例2、已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？

解：

由已知得：

z=z2－z1=（1+2i）－（2+i）=－1+i，

∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，

∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：

任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。

即所表示的复数是zB－zA.　，而所表示的复数是zA－zB。

例3、复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

分析一：

利用，求点D的对应复数。

解法一：

设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi（x，y∈R），是：

=（x+yi）－（1+2i）=（x－1）+（y－2）i

=（－1－2i）－（－2+i）=1－3i

∵，即（x－1）+（y－2）i=1－3i，

∴

解得

故点D对应的复数为2－i。

分析二：

利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解。

解法二：

因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，

于是有（－2+i）+（x+yi）=0，

∴x=2，y=－1.

故点D对应的复数为2－i.

点评：

根据题意画图，通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

（三）课堂练习：

1.设O是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（D）

A．B．C．D．

2.当时，复数在复平面内对应的点位于（D）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.在复平面内表示的点在第二象限.

4.计算：

（1）=5

（2）=-2-2i

（3）=-2-8i（4）=2i

（四）课堂小结：

复数的加法与减法的运算及几何意义

（五）课后作业：

课本第112页习题A：

1、2、3、4。

【第34课时】

【知识链接】

1.复数与的和的定义：

；

2.复数与的差的定义：

；

3.复数的加法运算满足交换律:

；

4.复数的加法运算满足结合律:

；

5.复数的共轭复数为.

【问题探究】

探究一、复数的乘法运算

引导1:

乘法运算规则

设、是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且

把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

引导2:

试验证复数乘法运算律

（1）

（2）（3）

点拨：

两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

探究二、复数的除法运算

引导1：

复数除法定义：

满足的复数叫复数除以复数的商，记为：

或者.

引导2：

除法运算规则：

利用.于是将的分母有理化得：

原式=

.

∴（a+bi）÷（c+di）=.

点拨：

利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数