总结高中三角函数公式总结.docx

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总结高中三角函数公式总结

高中三角函数公式总结

锐角三角函数公式

sinα=∠α的对边/斜边

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?

CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：

SinA^2是sinA的平方sin2（A））

三倍角公式

sin3α=4sinα・sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cosα・cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3a=tana・tan（π/3+a）・tan（π/3-a）

三倍角公式推导

sin3a

=sin（2a+a）

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

tant=B/A

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

降幂公式

sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=（sinα/2+cosα/2）^2

=2sina（1-sina）+（1-2sina）sina

=3sina-4sina

cos3a

=cos（2a+a）

=cos2acosa-sin2asina

=（2cosa-1）cosa-2（1-sina）cosa

=4cosa-3cosa

sin3a=3sina-4sina

=4sina（3/4-sina）

=4sina[（√3/2）-sina]

=4sina（sin60°-sina）

=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

cos3a=4cosa-3cosa

=4cosa（cosa-3/4）

=4cosa[cosa-（√3/2）]

=4cosa（cosa-cos30°）

=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

半角公式

tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2

cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

三角和

sin（α+β+γ）=sinα・cosβ・cosγ+cosα・sinβ・cosγ+cosα・cosβ・sinγ-sinα・sinβ・sinγ

cos（α+β+γ）=cosα・cosβ・cosγ-cosα・sinβ・sinγ-sinα・cosβ・sinγ-sinα・sinβ・cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα・tanβ・tanγ）/（1-tanα・tanβ-tanβ・tanγ-tanγ・tanα）

两角和差

cos（α+β）=cosα・cosβ-sinα・sinβ

cos（α-β）=cosα・cosβ+sinα・sinβ

sin（α±β）=sinα・cosβ±cosα・sinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα・tanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα・tanβ）

和差化积

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

积化和差

sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

诱导公式

sin（-α）=-sinα

cos（-α）=cosα

tan（―a）=-tanα

sin（π/2-α）=cosα

cos（π/2-α）=sinα

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=-sinα

sin（π-α）=sinα

cos（π-α）=-cosα

sin（π+α）=-sinα

cos（π+α）=-cosα

tanA=sinA/cosA

tan（π/2+α）=-cotα

tan（π/2-α）=cotα

tan（π-α）=-tanα

tan（π+α）=tanα

诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^（α/2）]

cosα=[1-tan^（α/2）]/1+tan^（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^（α/2）]

其它公式

（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可

（4）对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan（A+B）=tan（π-C）

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

（9）sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0