《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第二部分31.docx

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《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第二部分31

第三部分图形运动中的计算说理问题

这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究,然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化,进而进行证明.解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系,通过计算进行说理.

§3.1　代数计算及通过代数计算进行说理问题

计算说理是通过计算得到结论;说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值.

压轴题中的代数计算题,主要是函数类题.

函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标.

还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律.

代数计算和说理较多的一类题目,是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程,然后根据Δ确定交点的个数.

我们介绍一下求函数图象交点坐标的几何方法.

如图,已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+1交于A、B两点,求点B的坐标的代数方法,就是联立方程组,方程组的一个解是点A的坐标,另一个解计算点的坐标.

几何法是这样的:

设直线AB与y轴交于C,那么tan∠CAO=1.

作BE⊥x轴于E,那么=1.

设B（x,x2-2x-3）,于是=1.

请注意,这个分式的分子因式分解后,=1.这个分式能不能约分,为什么?

因为x=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合,所以x≠-1,因此约分以后就是x-3=1.

这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分,直接化为一元一次方程,很简便.

例1　2016年北京市中考第29题

在平面直角坐标系中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若P、Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图为点P、Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）,

①若点B的坐标为（3,1）,求点A、B的“相关矩形”面积;

②点C在直线x=3上,若点A、C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;

（2）☉O的半径为,点M的坐标为（m,3）,若在☉O上存在一点N,使得点M、N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.

请打开几何画板文件名“16北京29”,拖动点C在直线x=3运动,可以体验到,以AC为对角线的正方形有两个.点击屏幕左下方的按钮“第

（2）题”,拖动点M运动,可以体验到,经过点M与坐标轴夹角为45°的直线与☉O相交或相切于点N时,存在以MN为对角线的正方形.

1.“相关矩形”的形状、大小是由对角线的两个端点确定的.

2.“相关矩形”是正方形,那么对角线与坐标轴的夹角为45°.

例2　2016年大连市中考第26题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.

（1）填空:

点B的坐标是　　　　; 

（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0）与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长（用含k的式子表示）,并判断点P是否在抛物线上,说明理由;

（3）在

（2）的条件下,若点C关于直线BP的对称点C'恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.

请打开几何画板文件名“16大连26”,拖动点C在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P始终在抛物线上,当点C'落在抛物线的对称轴上时,四边形C'BCP是菱形,而且△BCP是等边三角形.

1.用含k的式子表示点C的坐标,再设点P的纵坐标为m,根据PB=PC列关于k、m的方程,得到m关于k的关系式.

2.第（3）题:

先说理四边形C'BCP是菱形.

例3　2016年福州市中考第27题

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点,顶点为A（h,k）（h≠0）.

（1）当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;

（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点,求a与t之间的关系式;

（3）当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.

请打开几何画板文件名“16福州27”,拖动点A在象限内运动,可以体验到,两条抛物线的形状相同,开口方向相反.点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”,拖动点A在蓝色抛物线y=x2-x的自变量-2和1之间运动,观察绿色抛物线y=ax2+bx+c,可以体验到,当点A在自变量-2和0之间运动时,绿色抛物线的开口向下;当点A在自变量0和1之间运动时,绿色抛物线的开口向上.

1.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（h,k）,可以写出顶点式.

2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点,可以用h、k表示a.

3.将点A（h,k）代入y=tx2,结合y=a（x-h）2+k,消去k,就得到a、t的关系式.

4.第（3）题:

先用h表示a,再讨论a随h变化的取值范围.

例4　2016年河北省中考第26题

如图,抛物线L:

y=-（x-t）（x-t+4）（常数t>0）与x轴从左到右的交点为B、A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=（k>0,x>0）于点P,且OA·MP=12.

（1）求k的值;

（2）当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;

（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G,用t表示图象G最高点的坐标;

（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.

请打开几何画板文件名“16河北26”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,抛物线与双曲线的交点的横坐标x0在4≤x0≤6时,交点可能在抛物线的对称轴的右侧,也可能在左侧,因此对应的点A的运动区间有两个.

1.由抛物线的交点式可以写出A、B两点的坐标,AB=4为定值.

2.第（3）题:

按照对称轴与直线MP的位置关系,分两种情况讨论最高点.

3.第（4）题:

分三步,先根据双曲线的解析式求x=4和x=6时的两个交点坐标,再代入到抛物线的解析式解关于t的方程,最后讨论t的范围.

例5　2016年江西省中考第23题

抛物线的解析式为y=ax2,过点B1（1,0）作x轴的垂线,交抛物线于点A1（1,2）;过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bn（n为正整数）作x轴的垂线,交抛物线于点An.连结AnBn,Bn,得Rt△AnBn.

（1）求a的值;

（2）直接写出线段AnBn,BnBn+1的长（用含n的式子表示）;

（3）在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:

①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?

②设1≤k

是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似?

若存在,求出其相似比;若不存在,请说明理由.

请打开几何画板文件名“16江西23”,可以体验到,从最大的△A1B1B2开始,这些三角形“衰减”地很快,第3个△A3B3B4看上去是等腰直角三角形.还可以感受到,△A3B3B4右侧的三角形是“挺立的”,左侧的三角形是“躺下的”,所有三角形的斜边没有平行的.

1.第

（2）题如果错了,第（3）题就没有办法做对了.

2.第（3）题的等腰直角三角形根据直角边相等,列关于n的方程,没有什么障碍.

3.第（3）题中,讨论两个直角三角形相似分三步.第一步说理斜边不平行,因此不存在同位角相等的情形;第二步列关于k、m的方程,得到k+m=6;第三步分两种情况计算相似比,（k,m）存在（1,5）和（2,4）两种情况.

例6　2016年吉林省中考第25题

如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8cm,AD⊥BC于D.点P从点A出发,沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°（点M、C位于PQ异侧）.设点P的运动时间为x（s）,△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）.

（1）当点M落在AB上时,x=　　　　; 

（2）当点M落在AD上时,x=　　　　; 

（3）求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

图1备用图

请打开几何画板文件名“16吉林25”,拖动点P从A向C运动,可以体验到,重叠部分的形状依次是等腰三角形、四边形和等腰三角形.

1.由点P引发的全部动态线段的长,都可以用x表示出来.

2.第

（1）、

（2）题的结果,就是第（3）题分段函数的临界值.

例7　2016年南京市中考第27题

如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.

类似地,我们可以认识其他函数.

（1）把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的　　　　倍,横坐标不变,得到函数y=的图象;也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的　　　　倍,纵坐标不变,得到函数y=的图象. 

（2）已知下列变化:

①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.

（i）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数　　　　的图象; 

（ii）为了得到函数y=-（x-1）2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点（　　）.

A.①→⑤→③B.①→⑥→③

C.①→②→⑥D.①→③→⑥

（3）函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-的图象?

（写出一种即可）

请打开几何画板文件名“16南京27”,依次拖动表示实数m、k、n的点运动,可以体验到,m向左平移2个单位,k由1变到1.5,n向下平移1个单位,函数y=的图象就与函数y=-的图象重合.

1.第

（1）题有陷阱,其实函数y=和x=的变换是相同的.

2.第

（2）题中,上下平移不影响横坐标或纵坐标缩放的.

3.第（3）题中,要先对解析式进行变形,分离出系数k.

例8　2016年陕西省中考第24题

如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1,3）和点N（3,5）.

（1）试判断该抛物线与x轴的交点情况;

（2）平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A（-2,0）,且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.

请打开几何画板文件名“16陕西24”,可以体验到,平移前的抛物线与x轴没有交点,等腰直角三角形AOB存在两种情况.

1.待定两个系数,已知两个点的坐标,列关于a、b的方程组.

2.等腰直角三角形AOB存在两种情况.

3.抛物线平移的过程中,二次项系数不变.

例9　2016年天津市中考第25题

已知抛物线C:

y=x2-2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F.

（1）求点P、Q的坐标;

（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C',点Q平移后的对应点为Q',且FQ'=OQ'.

①求抛物线C'的解析式;

②若点P关于直线Q'F的对称点为K,射线FK与抛物线C'相交于点A