天津市南开区届高三第二次高考模拟考试 数学理.docx

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天津市南开区届高三第二次高考模拟考试数学理

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（二）

数学试卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）．P（AB）=P（A）•P（B）．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh，·球的体积公式V球=πR3，

其中S表示棱柱的底面积，其中R表示球的半径．

h表示棱柱的高．

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设i是虚数单位，则复数=（）．

（A）6–5i（B）6+5i　

（C）–6+5i（D）–6–5i

（2）已知命题p：

∀x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）≥0，则⌝p是（）．

（A）∃x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）≤0

（B）∀x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）≤0

（C）∃x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）＜0

（D）∀x1，x2∈R，（f（x2）–f（x1））（x2–x1）＜0

（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）．

（A）10（B）11

（C）12（D）13

（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（）．

（A）k＜132?

（B）k＜70?

（C）k＜64?

（D）k＜63?

（5）已知双曲线C：

–=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）．

（A）–=1（B）–=1

（C）–=1（D）–=1

（6）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）．

（A）　（B）　　　

（C）　　　（D）

（7）由曲线y=x2，y=围成的封闭图形的面积为（）．

　（A）（B）

（C）（D）1

（8）在△ABC中，若|+|=|–|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）．

　（A）（B）

（C）（D）

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（二）

答题纸（理工类）

题号

二

三

总分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

得分

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得分

评卷人

二、填空题：

本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x–1|≤2}，则A∩B=．

（10）（x2–）6的展开式中x3的系数为______．

（11）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为m3．

（12）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为（4，），则|CP|=．

（13）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交

直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，

则EB=．

（14）已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为．

三、解答题：

（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得分

评卷人

（15）（本小题满分13分）

已知函数f（x）=–sin（2x+）+6sinxcosx–2cos2x+1，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

得分

评卷人

（16）（本小题满分13分）

某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：

在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级

摸出红.蓝球个数

获奖金额

一等奖

3红1蓝

200元

二等奖

3红0蓝

50元

三等奖

2红1蓝

10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X）．

得分

评卷人

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．若M，N分别为棱PD，PC上的点，O为AC的中点，且AC=2OM=2ON．

（Ⅰ）求证：

平面ABM⊥平面PCD；

（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；

（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．

得分

评卷人

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆C：

（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数λ的值．

得分

评卷人

（19）（本小题满分14分）

在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）设数列{an2–an}的前n项和为Sn，记bn=，求证：

数列{bn}的前n项和Tn＜；

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（二）

数学试卷（理工类）参考答案

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

D

C

C

B

A

A

B

B

二、填空题：

（9）（–，3]；（10）–20；（11）18+9π；

（12）；（13）；（14）（2π，2016π）

三、解答题：

（其他正确解法请比照给分）

（15）解：

（Ⅰ）f（x）=–sin2xcos–cos2xsin+3sin2x–cos2x

=2sin2x–2cos2x=2sin（2x–）．…………6分

所以，f（x）的最小正周期T==π．…………7分

（Ⅱ）因为f（x）在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．

又f（0）=–2，f（）=2，f（）=2，

故函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为=–2．………13分

（16）解：

设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai（i=0，1，2，3）与Bj（j=0，1）相互独立．

（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P（A1）==．…………4分

（Ⅱ）X的所有可能值为：

0，10，50，200，

P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=•=，

P（X=50）=P（A3B0）=P（A3）P（B0）=•=，

P（X=10）=P（A2B1）=P（A2）P（B1）=•==，

P（X=0）=1–––=．…………11分

X

0

10

50

200

P

所以X的分布列为

所以X的数学期望E（X）=0×+10×+50×+200×=4．…………13分

（17）解：

（Ⅰ）依题设知，AC=2OM，则AM⊥MC．

又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，

所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD．…………4分

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），

C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

设平面ACM的一个法向量n=（x，y，z），

由n⊥，n⊥可得：

，

令z=1，则n=（2，–1，1）．

设所求角为α，则．…………9分

（Ⅲ）由条件可得，AN⊥NC．

设=λ=（2λ，4λ，–4λ），则=+=（2λ，4λ，4–4λ），

所以•=（2λ，4λ，4–4λ）•（2，4，–4）=36λ–16=0

解得λ=，所以=（，，），

设点N到平面ACM距离为h，则h==．…………13分

（18）解：

（Ⅰ）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2–c2=3，

椭圆的标准方程是．…………4分

（Ⅱ）由=λ，可知A，B，M三点共线，

设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．…………5分

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x–4）．

由消去y得，（3+4k2）x2–32k2x+64k2–12=0．①…………7分

由①的判别式△=322k4–4（4k2+3）（64k2–12）=144（1–4k2）＞0，解得k2＜，

x1+x2=，x1x2=．…………9分

由==，可得k2=，即有k=．…………10分

将k2=代入方程①，得7x2–8x–8=0，

则x1=，x2=．…………11分

又因为=（4–x1，–y1），=（x2–4，y2），=λ，

所以λ==．…………13分

（19）解：

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：

2（a1+a3）=a2+a4，

即2（a1+a1q2）=a1q+a1q3，解得q=2，

又∵a1=2，

∴an=a1qn–1=2n；…………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

Sn=（a12+a22+a32+…+an2）–（a1+a2+a3+…+an）

=（4+42+43+…+4n）–（2+22+23+…+2n）

=–=（2n–1）（2n+1–1）…………9分

∴bn==（–）…………11分

∴Tn=（–+–+–+…+–

+–）

=（1–）＜．…………14分

（20）解：

（Ⅰ）由f'（x）=–a≤0即≤a对x∈（1，+∞）恒成立，∴．

而由x∈（1，+∞）知＜1，∴a≥1．

由g'（x）=ex–a令g'（x）=0则x=lna

当x＜lna时，g'（x）＜0，g（x）在（–∞，lna）单调递减，

当x＞lna时，g'（x）＞0，g（x）在（lna，+∞）单调递增，

∵g（x）在（1，+∞）上有最小值，

∴lna＞1，∴a＞e．

综上所述：

a的取值范围为（e，+∞）．…………4分

（Ⅱ）∵g（x）在（–1，+∞）上是单调增函数，

∴g'（x）=ex–a≥0即a≤ex对x∈（–1，+∞）恒成立，

∴a≤（ex）min，而当x∈（–1，+∞）时，ex＞，∴a≤．…………6分

f（x）的零点个数⇔f（x）=lnx–ax=0的根的个数⇔a=的根的个数，

设h（x）=，则h'（x）=，

当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）