工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全.docx
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工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全
L
u
技
工程数学
T!
线性代数
第六版
*
同产尢宇翰学乎编
>
1:
第一章
行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
201
（1）141
183
201解141
183
2（4）30
（1）
（1）118
0132
（1）81（4）
（1）
2481644
abc解bcacab
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
1b2
1C2
1cc2
1bb2
1aa2
23
2
ba
2
c
a
23
a
xyxy
（4）yxyx
xyxy
xyxy
解yxyx
xyxy
x（xy）yyx（xy）（xy）yxy（xy）x
3xy（xy）y33x2yx3y3x3
2（x3y3）
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
（1）1234
解逆序数为
（2）4132
解逆序数为
41434232
（3）3421
解逆序数为
314241,21
（4）2413
解
逆序数为
（5）1
3（2n
逆序数为
1）24n（n1）
2
（2n）
32（1个）
54（2个）
7476（3个）
（2n
1）2（2n1）4（2n1）6
（2n1）（2n2）（n1个）
（6）1
解
（2n1）（2n）（2n2）逆序数为n（n1）
32（1个）
5254（2个）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6
（2n1）（2n2）（n1个）
42（1个）
6264（2个）
（2n）2（2n）4（2n）6（2n）（2n2）（n1个）
3写出四阶行列式中含有因子aiia23的项
解含因子aiia23的项的一般形式为
（1）taiia23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和
42
所以含因子aiia23的项分别是
t1
（1）aiia23a32a44
（1）aiia23a32a44aiia23a32a44
t2
（1）ana23a34a42
（1）ana23a34a42ana23a34a42
4计算下列各行列式
102
123
41
o
X—
o4
1210
4207
2021
1251
41100
1
2021
1230
41wo
577
4207
2021
1251
41100
o
024
90仃
90仃
Q-C3
1-2GG0241234110
1122
4236
1120
2315
020o
4234
1121
2312
q
LT
0202
4236
1120
2315
C2
1122
4236
1120
2315
角
o
0200
4230
1120
2310
ab
ac
ae
bd
cd
de
bf
cf
ef
11
adfbce11
11
4abcdef
1
oo1d
O1C1
1b1Oa1oo
oo1da1C1b
ab1o
O1ooa
oo1d
O1C1
1b1O
a1oo
角
1aba
1）211c
01
Qdc21abaad
1c1cd010
（1）
（1）321
abad
11cd
abcdabcdad1
ab
ac
ae
b
c
e
bd
cd
de
adf
b
c
e
bf
cf
ef
b
c
e
解
5证明:
T—
2b
b21
2a
X—
scc
2b
■D21
r2a1
2）
2-b2
2
aa
bb
a
^1
3
a22a
aba2b2a2
ba2b2a
00
（ba）（ba）ib2a（ab）3
axbyaybzazbx
aybzazbxaxby（a3azbxaxbyaybz
xyzb3）yzx
zxy
axbyaybzazbx
aybzazbxaxby
azbxaxbyaybz
xaybzazayazbxax
zaxbyay
bx
by
bz
yaybzazbx
bzazbxaxby
xaxbyaybz
x
a2y
z
x
a3y
z
aybzz
yzazbx
azbxx
b2
zxaxby
axbyy
xyaybz
yz
yzx
zx
b3
zxy
xy
xyz
xyz
3
a3yzxzxy
xyzb3yzx
zxy
w）
c2
C3
8
得
C2
8
zXyyzXXyz
3a
o
abed
2222
2222
x\7
1111
（awcg
2222abed
cc
z/（\
2222
①®3®
be
（a
Q2）刁Q
2222x\7x\71111
（a2（c（d
2222abed
c4
5555
222b2c2d
3333
222b222d
1111
abcd
2222
2222abcd
o
2222
2222
1111
abed
2222
a2b2c2（j2
・241ddd1cc241bb2b41aaa
24
1ddd
1gd
1bb2b4
1a^4a
（b
a）（c
a）（d
a）
1bb2（b
11
cc
a）c2（ca）d2（d
a）
（b
a）（c
a）（d
a）0
1cb0c（cb）（cb
a）d（d
1dbb）（dba）
（b
a）（c
a）（d
a）（cb）（db
c（c
ba）d（dba）
=（a
b）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
O1
oaa
ooX32
oo
T—
xna1xn1
an1Xan
1
1
1
1
0
b
a
c
a
da
0b（b
a）
c（c
a）
d（da）
0b2（b2
a2）
c2（c2
a2）
d2（d2a2）
证明用数学归纳法证明
当n2时D2axxaX2a〔xa2命题成立
假设对于（n1）阶行列式命题成立即
Dn1Xn1a1Xn2an2Xan1
则Dn按第一列展开有
oo
X—
ooX
O1
DnXDn1an（胖1
T—
xDn1anXna1Xn1an1Xan
因此对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet（aj）,把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副对角线翻转依次得
D1
an1
ann
D2
a1n
ann
D3
ann
ain
an
ain
an
an1
an1
an
n（n1）
证明D1D2
（1）丁DD3D
证明因为D
det（aj）
所以
an1
ann
a,
1
ain
D1
（
1）n1
an1
ann
a11
a1n
a：
21
a2n
a11
ain
1）n2
a21
a2n
（1）n1（
an1
ann
a31
a3n
n（n
1）
（1）12
（n2）
（n1）
D（
1）2
D
同理可证
n（n1）
al1
D2
（1）2
ain
an1
ann
n（n1）
（1）丁dt
n（n1）
（1）丁D
n（n1）
D3
（1）2D2
n（n1）n（n1）
（1）2
（1）2D
（1）n（n1）D
其中对角线上元素都是a未写出的元素
都是0
0a0
0
0
a
0
0
0
0
0
0
100
0
0
0
a
0
a
1）n1
a
（1）2na
a
（n1）（n1）
（n1）（n1）
an2（a21）
ananan2
1）n1（
1）n
a
0
0
a
0
0
a
0
1
0
0
0
0
a
0
0
a
（按第n行展开）
Dn
（n2）（n2）
解将第一行乘
⑵Dn
x
a
a
a
a
x
xa
0
0
a
x
0
xa
0
a
x
0
0
0xa
（1）分别加到其余各行
Dn
noo
aao
XaaoXa
aoo
[X（n1）a]（xa）n1
（an）n
（an）n
an（a1）n
⑶Dn1
an1（a1）n1
aa1
11
解根据第6题结果有
1
1
1
a
a1
an
an1
（a1）n1
（an）n1
an
（a1）n
（an）n
n（n1）
Dn1
（1）2
此行列式为范德蒙德行列式
n（n1）
Dm
（1）丁[（ai1）（aj1）]
n1ij1
n（n1）
（1）2[（ij）]
n1ij1
n（n1n（n1）1
（1）2
（1）2（ij）
n1ij1
（ij）
n1ij1
bn
⑷D2n
aib
Cidi
dn
an
ai
bn
Ci
di
Cn
dn
a>i
D2n
（按第1行展开）
bni
an
bi
di
dni
0
o
dn
an1
bni
（i）2n
ibn
ai
Ci
bi
di
Cn
Cn1
dn-
0
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bnCnD2n2
即D2n
（andnbnCn）D2n2
于是D2n
n
佝djbC）D2
ai
di
a〔dib|C[
n
所以D2nGdjg）
i1
（5）Ddet（aj）其中aj|ij|;解aj|ij|
1234
o
nnnn
oooo
n
4
3210
n
3
2101
n
2
1012
n
T—
0123
n
a-
et
d
T—
T—T—T—
T—T—T—
T—
4
n
3
n
2nT—
ooo2
oo
0222T—T—T—T—
5
2n
4
n
2
3
n
2
X—
n
an
T—
2n
T—
n
T—
31
25—
T—
T—
Dn
a〔a2
1
1
1a2
1
1
1an
a1
0
0
0
0
1
还
a2
0
0
0
1
0
a3
a3
0
0
1
0
0
0
an1
an1
1
0
0
0
0
an
1an
1
ai
1
ci
C2
C2
an
an
aj
a21
aj1
an）（1
8用克莱姆法则解下列方程组
X1
⑴工
3x1
x2x3x452x2Xj4x4
3x2x35x4
x22x311x4
an11
an1
q1
a21
aj1
an11
n
ai
i1
42
1451
X—
1112
12
X—
284
1451
T—
1112
5220
1123
42
14
12
X—
解因为
1123
D
522
42
5220
T—
12
T—
1123
426
T—
5220
12
T—
1123
5
4
X—
X—
DD-D
3
DD3D
XX
2
rd
XX
3d
ooO
11
65xx
2）
00065
00651
06510
1OOO1
51000
07
5
00065
00651
06510
65100
51000为
因D
00065
00651
06510
65100
1OOO1
D1
00065
1OOO1
06510
65100
51000
03
7
00065
00651
1OOO1
65100
51000
2
2
1OOO100651065106510051000
5
所以
1507
V
1665
1145
X2665
703XsX4
3665
395
665
X4
212
665
X]
X2
X30
9问
取何值时
齐次线性方程组
X!
2
30有非
X!
2x2
30
零解？
解系数行列式为
1
D1
12
令DO得
0或1
于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解
（12x24x30
10问取何值时齐次线性方程组2为（3）X2X30有
NX2
（1）X30
非零解?
解系数行列式为
1
2
4
1
3
4
D
3
1
2
1
1
1
1
1
0
1
（1）3（3）4
（1）2
（1）（3）
（1）32
（1）23
令DO得
02或3
于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解
第二章矩阵及其运算
1已知线性变换
X2y1
X23y1
X33y1
2y2y3
y25y3
2y2
3y3
求从变量X1X2X3
；到变量
y1
y2ys的线性变换
解由已知
x1221
y
x2315
y2
x3323
y2
yi
221
x1
749
y1
故
y2
3
15
x2
63:
7y2
y2
3
23
x3
324y3
yi
7xi
4x2
9X3
y2
6x1
3x2
7X3
3X]
2x2
4X3
2
已知两个线性变换
x
2yi
y3
y13Z1
Z2
X2
2yi
3y2
2y3
y22z1
Z3
x
4yi
目25y3
y3Z2
3z3
求从Z1
Z2
Z3
到X1
X2
X3的线性变换
解
由已知
Xi
2
01
y
201
310
Z1
X2
232
y2
232
201
Z2
X3
4
15
y2
415
013
Z3
61
3
z1
12
49
Z2
10
116
Z3
xi
6zZ23z3
所以有
X?
12z14z29z3
X3
10z1
Z216Z3
11
1
123
3
设A
11
1
B
124
求3AB
2A及AtB
11
1
051
1
11
123
11
1
解
3AB2A
31
11
124
211
1
1
11
051
11
1
0
5
8
11
1
2
13
22
30
5
6
211
1
2
17
'20
2
9
0
1
1
1
4
29
2
1
1
1
1
2
3
0
5
8
ATB
1
1
1
1
2
4
0
5
6
1
1
1
0
5
1
2
9
0
4计算下列乘积
4
3
1
7
（1）
1
2
3
2
5
7
0
1
4
3
1
7
47
3
211
35
解
1
2
3
2
17（
2）
231
6
5
7
0
1
57
7
201
49
3
（2）（123）2
1
3
解（123）2（132231）（10）
1
2
⑶
1
（1
2
）
3
2
2（
1）
2
2
解
1（
1
2）
1（
1）
1
2
3
3（
1）
3
2
1
3
1
（AX
2
1
4
0
0
1
2
（4）
1
1
3
4
1
3
1
4
0
2
1
3
1
解
2
14
0
0
1
2
6
78
解
1
13
4
1
3
1
20
56
4
0
2
aii
ai2
ai3
Xj
（5）（Xj
X2
X3）
ai2
a22
a23
X2
ai3
a23
a33
X3
（aiiXiai2X2ai3X3ai2Xia22X2a23X3ai3Xia23X2
anX2
a22X；2
a33X3
2a12X1X2
2ai3X1X32a23X2X3
5设A
12
13
B
10
12
问
ai1ai2ai3X1
（X1X2X3）ai2a22a23X2
ai3a23a33X3
Xja33X3）X2
X3
解
（1）ABBA吗？
解ABBA
因为AB46BAJ8所以ABBA
⑵（AB）2A22ABB2吗？
解（AB）2A22ABB2
因为AB22
A22ABB2
38
411
68101016
812341527
所以（AB）2A22ABB2
⑶（AB）（AB）A2B2吗？
解（AB）（AB）A2B2
A
B
0
0
2
1
22
0
2
0
6
25
0
1
0
9
1
0
2
8
3
4
1
7
因为AB25
（AB）（AB）而a2b238
故（AB）（AB）A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
（1）若A2
0则A0
解取A
01则A2
0
但A
0
⑵若A2
A则A0或A
E
解取A
11则A2
00则
A但A0
且AE
⑶若AX
AY且A0
则X
Y
解取
A
10X1
00X1
1
1
Y
11
01
则AXAY且A0但XY
7设A0求AAAk
解A101010
解A1121
A3
A2A
10
31
Ak
1k
0
1
10
8设A
0
1求Ak
0
0
解首先观察
餐o
3
o
X—
AAAa2a34a3a45
k（k1）k2
Ak
用数学归纳法证明
当k2时显然成立
假设k时成立，则k1时，
k1k（k1）
Ak1AkA
（k
1）k1
k1
1）k
（k
2
（k1）k1
k1
由数学归纳法原理知
k（k1）k2
Ak
2
kk1
k
9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵
证明因为ata所以
（BtAB）tBt（BtA）tbtatbbtab
从而btab是对称矩阵
10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA
证明充分性因为AABtB且ABBA所以
（AB）t（BA）tAtBtAB
即ab是对称矩阵
必要性因为ata
btb
且（AB）tab
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