2
④等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,
则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=180︒-∠A
2
等边三角形
1.等边三角形的性质:
等边三角形的每一个角都等于60°。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
○6零指数幂的概念:
a0=1(a≠0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.
1
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
○7负指数幂的概念:
a-p=ap(a≠0,p是正整数)
三角形中位线定理的作用:
位置关系:
可以证明两条直线平行。
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂,等于这个数的p指数幂
的倒数.
数量关系:
可以证明线段的倍分关系。
npmp
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
也可表示为:
mn
3、因式分解:
(m≠0,n≠0,p为正整数)
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
因式分解
一.回顾知识点
1、主要知识回顾:
○1幂的运算性质:
am·an=am+n(m、n为正整数)
○2同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
=amn(m、n为正整数)
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分
解.
熟练掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三部分:
①系数一各项系数的最大公约数;
②字母——各项含有的相同字母;
③指数——相同字母的最低次数;
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
○3幂的乘方,底数不变,指数相乘.ab
○4积的乘方等于各因式乘方的积.
aman=am-n
anbn(n为正整数)常用的公式:
①平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
②完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a≠0,m、n都是正整数,且m>n)
○5同底数幂相除,底数不变,指数相减.
3.十字相乘法
(a-b)2=a2-2ab+b2
分式
知识点一:
分式的定义
约分。
A步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子B叫做分式,A
为分子,B为分母。
知识点二:
与分式有关的条件
①分式有意义:
分母不为0(B≠0)
②分式无意义:
分母为0(B=0)
⎨
⎧A=0
B≠0
注意:
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
知识点四:
最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:
分式的通分
③分式值为0:
分子为0且分母不为0(⎩)①分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分
⎧A>0
⎨
④分式值为正或大于0:
分子分母同号(⎩B>0
⎧A>0
⎨
⑤分式值为负或小于0:
分子分母异号(⎩B<0
⑥分式值为1:
分子分母值相等(A=B)
⎧A<0
⎩
⎨B<0
或)
⎧A<0
⎩
⎨B>0
或)
式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数(A+B=0)
知识点三:
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
A=A∙CA=A÷C
字母表示:
BB∙C,BB÷C,其中A、B、C是整式,C≠0。
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
A=-A=--A=-A
B-BB-B
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
知识点四:
分式的约分
定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
a∙cbd
=a∙c
b∙d
公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
知识点八列分式方程
a÷cbd
=a∙d
bc
=a∙d
b∙c
⎛a⎫nan
ç⎪=
基本步骤
①找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程(组)。
④解—解出方程(组)。
注意检验
②分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
③分式的加减法则:
⎝b⎭bn⑤写答。
a
⑥3、比和比例:
⑦
(1)比
a
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
c
±b=
c
a±bc
:
两个数a与b(b≠0)相除,叫做a与b的比,记作a︰b或。
b
⑧其中,a叫做比的前项,b叫做比的后项。
⑨
(2)比例:
表示两个比相等的式子叫做比例式,简称比例。
a
⑩比例a:
b=c:
d可以写成b的形式,其中a与d叫做比例外项,b与c叫做比例
a±c
bd
=ad±bc
bd
内项。
(3)比例的基本性质:
整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作
是分母为1的分式,再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简
如果a:
b=c:
d,那么ad=bc(bd≠0),即:
比例的两内项之积等于两外项之积。
(4)连比:
一般地,如果第一个数与第二个数的比是a:
b,第二个数与第三个数的比是b:
c,那么可以将这三个数的比写成a:
b:
c,称a:
b:
c是三个数a,b,c的连比。
数据的分析
1、普查:
为了特定目的对全部考察对象进行的全面的调查叫做普查。
2、总体,个体,样本,样本容量:
被考察的对象的全体叫做总体,组成总体的每
一个被考察的对象叫做个体。
从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。
样本中个体的数量叫做样本容量。
3、抽样调查:
从总体中抽取部分个体,根据对这一部分个体的调查,估计被考察对象的整体情况,这种调查叫做抽样调查。
4、平均数:
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。
平均数反映一组数据的平均水平,平均数分为算术平均数和加权平均数。
用符号X表示,读做“x拔”
。
权的理解:
反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
算术平均数公式
平均数的性质:
如果数据x1,x2,……的平均数为x,则x1+a,x2+a,x3+a……的平均数为x+a,
kx1,kx2,k……的平均数为kx。
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;
(如图)
(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)
∴OC是角平分线几何表达式举例:
(1)∵MN是线段AB的垂直平分线
AB∴PA=PB
N
(2)∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
加权平均数公式:
5、中位数和众数
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数
6.方差
3.
关于轴对称的定理M
A
(1)关于某条直线对称的两个OF
C
图形是全等形;(如图)
B
N
(2)如果两个图形关于某条直
线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)
几何表达式举例:
E
(1)∵ΔABC、ΔEGF关于
MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
(2)∵ΔABC、ΔEGF关于
MN轴对称
∴OA=OEMN⊥AE
公式
方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。
4.
RtΔ斜边中线定理及逆定理:
A
(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图)
C
(2)如果三角形一边上的中线
是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
1
B
∴CD=2AB
(2)∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形
四边形
BC
1.常见图形中,
仅是轴对称图形的有:
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……
;仅是中心对称图形的有:
平行四边形……;
是双对称图形的有:
线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….
注意:
线段有两条对称轴.
2.三角形能否成立的条件是:
最长边<另两边之和.
3.如图,双垂图形中,有个重要的性质,即:
A
D
1
2
(2)∠1=∠B,∠2=∠A.CB
4.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
5.几何基本作图分为:
(1)作线段等于已知线段;
(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;
(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;
(6)过已知点作已知直线的平行线.
会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”
、“等腰直角三角形”的作图.6.作图
题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:
每步作图都应该是几何基本作图.
几何重要图形和辅助线
(1)选取和作辅助线的原则:
①构造特殊图形,使可用的定理增加;
○2聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)
(4)已知等腰三角形ABC
中,AB=AC
(5)其它
(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)
E
A
D
O
BC
多边形转化为三角形;
延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角
形;
A
BCD
若a∥b,AC,BC是角平分线,则∠C=90°.
Aa
C
b
B
Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericalandteachingposition,Iunderstandtheimportanceofcontinuouslearning,"lifeisdiligent,nothingcanbegained",onlycontinuouslearningcanachievebetterself.Onlybyconstantlylearningandmasteringthelatestrelevantknowledge,canemployeesfromallwalksoflifekeepupwiththepaceofenterprisedevelopmentandinnovatetomeettheneedsofthemarket.Thisdocumentisalsoeditedbymystudioprofessionals,theremaybeerrorsinthedocument,ifthereareerrors,pleasecorrect,thankyou!