高中数学课时跟踪检测六函数的极值与导数新人教A版选修.docx

高中数学课时跟踪检测六函数的极值与导数新人教A版选修.docx

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高中数学课时跟踪检测六函数的极值与导数新人教A版选修

2019-2020年高中数学课时跟踪检测六函数的极值与导数新人教A版选修

1．已知函数y＝f（x）在定义域内可导，则函数y＝f（x）在某点处的导数值为0是函数y＝f（x）在这点处取得极值的（　　）

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

解析：

选B　根据导数的性质可知，若函数y＝f（x）在这点处取得极值，则f′（x）＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f（x）＝x3在R上是增函数，f′（x）＝3x2，则f′（0）＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f（x）在某点处的导数值为0是函数y＝f（x）在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.

2．设函数f（x）＝＋lnx，则（　　）

A．x＝为f（x）的极大值点

B．x＝为f（x）的极小值点

C．x＝2为f（x）的极大值点

D．x＝2为f（x）的极小值点

解析：

选D　由f′（x）＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故x＝2为f（x）的极小值点．

3．已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（　　）

A．（2,3）B．（3，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－∞，3）

解析：

选B　因为函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′（x）＝6x2＋2ax＋36，所以f′

（2）＝0解得a＝－15.令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是（3，＋∞）．

4．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）

解析：

选C　由题意可得f′（－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＜0，此时xf′（x）＞0；排除B、D，当x∈（－2，＋∞）时，f′（x）＞0，此时若x∈（－2,0），xf′（x）＜0，若x∈（0，＋∞），xf′（x）＞0，所以函数y＝xf′（x）的图象可能是C.

5．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则f（x）的极大值、极小值分别为（　　）

A.，0B．0，

C．－，0D．0，－

解析：

选A　f′（x）＝3x2－2px－q，

由f′

（1）＝0，f

（1）＝0得，

解得∴f（x）＝x3－2x2＋x.

由f′（x）＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f（x）取极大值.当x＝1时f（x）取极小值0.

6．设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.

解析：

∵f′（x）＝＋2bx＋1，由题意得

∴a＝－.

答案：

－

7．函数f（x）＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．

解析：

f′（x）＝2ax＋b，∵函数f（x）在x＝处有极值，

∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2.

答案：

－2

8.已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′（x）的图象经过点（1,0），（2,0）．如图，则下列说法中不正确的是________．（填序号）

①当x＝时，函数f（x）取得最小值；

②f（x）有两个极值点；

③当x＝2时函数值取得极小值；

④当x＝1时函数取得极大值．

解析：

由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈（－∞，1）∪（2，＋∞）时，y＞0；x∈（1,2）时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．

答案：

①

9．设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单调区间与极值．

解：

由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f′（x）＝ex－2，x∈R.令f′（x）＝0，得x＝ln2.

于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，ln2）

ln2

（ln2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

单调递减↘

2（1－ln2＋a）

单调递增↗

故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是（ln2，＋∞）；

且f（x）在x＝ln2处取得极小值．

极小值为f（ln2）＝2（1－ln2＋a），无极大值．

10．已知f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f

（1）＝－1.

（1）试求常数a，b，c的值；

（2）试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．

解：

（1）由已知，f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，

且f′（－1）＝f′

（1）＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.

又f

（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1.

∴a＝，b＝0，c＝－.

（2）由

（1）知f（x）＝x3－x，

∴f′（x）＝x2－＝（x－1）（x＋1）．

当x<－1或x>1时，f′（x）>0；当－1

∴函数f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是增函数，在（－1,1）上为减函数．

∴当x＝－1时，函数取得极大值f（－1）＝1；

当x＝1时，函数取得极小值f

（1）＝－1.

层级二　应试能力达标

1．函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为（　　）

A．1，－3　　　　　　　　B．1,3

C．－1,3D．－1，－3

解析：

选A　∵f′（x）＝3ax2＋b，由题意知f′

（1）＝0，f

（1）＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.

2．已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是（　　）

A．（－1,2）B．（－3,6）

C．（－∞，－3）∪（6，＋∞）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

解析：

选C　f′（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，

∵f（x）有极大值与极小值，∴f′（x）＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12（a＋6）>0，∴a<－3或a>6.

3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则（　　）

A．a＜－1B．a＞－1

C．a＜－D．a＞－

解析：

选A　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln（－a）．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.

4．已知函数f（x）＝ex（sinx－cosx），x∈（0,2017π），则函数f（x）的极大值之和为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　f′（x）＝2exsinx，令f′（x）＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f（x）单调递增，当（2k－1）π

5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．

解析：

y′＝－3x2＋12x＝－3x（x－4）．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈（－∞，0）∪（4，＋∞）时，y′＜0；x∈（0,4）时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.

答案：

－19

6．若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1,1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．

解析：

由题意，f′（x）＝3x2＋2x－a，

则f′（－1）f′

（1）<0，即（1－a）（5－a）<0，解得1

答案：

[1,5）

7．已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

解：

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.

由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，

f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）.

令f′（x）＝0得，x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）>0；当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）<0.

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

8．已知f（x）＝2ln（x＋a）－x2－x在x＝0处取得极值．

（1）求实数a的值．

（2）若关于x的方程f（x）＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．

解：

（1）f′（x）＝－2x－1，当x＝0时，f（x）取得极值，

所以f′（0）＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．

（2）令g（x）＝f（x）＋b＝2ln（x＋2）－x2－x＋b，

则g′（x）＝－2x－1＝－（x＞－2）．

g（x），g′（x）在（－2，＋∞）上的变化状态如下表：

x

（－2,0）

0

（0，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

g（x）

2ln2＋b

由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln2＋b.

要使f（x）＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，

只需

即

所以－2ln2＜b≤2－2ln3.

故实数b的取值范围是（－2ln2,2－2ln3]．

2019-2020年高中数学课时跟踪检测六函数的概念新人教A版必修

1．函数y＝＋的定义域为（　　）

A．{x|x≤1}　　　　　　　　B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}

解析：

选D　由题意可知解得0≤x≤1.

2．若函数y＝f（x）的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

解析：

选B　A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．

3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）

A．y＝x－1和y＝

B．y＝x0和y＝1

C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2

D．f（x）＝和g（x）＝

解析：

选D　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.

4．设f（x）＝，则＝（　　）

A．1B．－1

C.D．－

解析：

选B　＝＝＝×＝－1.

5．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　）

A．y＝B．y＝

C．y＝D．y＝x2＋1

解析：

选B　y＝的值域为[0，＋∞），y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y＝x2＋1的值域为[1，＋∞）．

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

解析：

由题意知3a－1>a，则a>.

答案：

7．已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为________．

解析：

∵x＝1,2,3,4,5，

∴f（x）＝2x－3＝－1,1,3,5,7