北师大版中考数学难点攻克《16 平行四边形矩形菱形正方形》20分钟微卷附答案.docx

北师大版中考数学难点攻克《16 平行四边形矩形菱形正方形》20分钟微卷附答案.docx

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北师大版中考数学难点攻克《16平行四边形矩形菱形正方形》20分钟微卷附答案

北师大版中考数学专项突破系列

专题16平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一、选择题：

（共4个小题）

1．【2015资阳】若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形

【答案】D．

【解析】

【考点定位】中点四边形．

2．【2015南充】如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）

A．1：

2B．1：

3C．1：

D．1：

【答案】D．

【解析】

【考点定位】菱形的性质．

3．【2015内江】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．B．C．D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：

连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=．故所求最小值为．故选B．

【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．

4．【2015攀枝花】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．

其中正确的结论个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B．

【解析】

③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：

AE=DF：

DA=1：

3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：

BE=FP：

AE=1：

6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：

BG=FP：

BE=1：

6，即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由

（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．

【考点定位】四边形综合题．

二、填空题：

（共4个小题）

5．【2015成都】如图，在平行四边形ABCD中，AB=，AD=4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．

【答案】3．

【解析】

【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．平行四边形的性质．

6．【2015凉山州】菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．

【答案】（，）．

【解析】

试题分析：

连接ED，如图，

【考点定位】1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型．

7．【2015成都】已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．

【答案】（3n－1，0）．

【解析】

【考点定位】1．相似多边形的性质；2．菱形的性质；3．规律型．

8．【2015内江】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：

①GH⊥BE；②HOBG；③S正方形ABCD：

S正方形ECGF=1：

；④EM：

MG=1：

（），其中正确结论的序号为．

【答案】①②④．

【解析】

试题分析：

∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，在△BCE和△DCG中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG=90°，CE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴GH⊥BE，则故①正确；

在△BGH和△EGH中，∵∠EHG=∠BHG，HG=HG，∠EGH=∠BGH，∴△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HOBG，故②正确；

设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即，解得：

或（舍去），则，则S正方形ABCD：

S正方形ECGF==，故③错误；

∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴，∴，，∴===．故④正确．

故正确的是①②④．

故答案为：

①②④．

【考点定位】四边形综合题．

三、解答题：

（共2个小题）

9．【2015眉山】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：

四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：

△APB≌△EPC；

（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．

【答案】

（1）证明见试题解析；

（2）证明见试题解析；（3）．

【解析】

试题分析：

（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC⊥PB，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；

（2）∵△AEP为等边三角形，∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，∵∠PEC=∠BEC，∴∠PEC=∠BEC=60°，∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，∴∠BAP=∠BEQ，在△ABP和△EBC中，∵∠APB=∠EBC=90°，∠BAP=∠BEQ，AP=EB，∴△ABP≌△EBC（AAS），∵△EBC≌△EPC，∴△ABP≌△EPC；

（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，根据勾股定理得：

EC==5，∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ，∴BQ==，由折叠得：

BP=2BQ=，在Rt△ABP中，AB=6，BP=，根据勾股定理得：

AP==，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5，FC=AE=3，∴PF==，∵PM∥AD，∴，即，解得：

PM=，则S△PFC=FC•PM==．

【考点定位】1．四边形综合题；2．翻折变换（折叠问题）．

10．【2015甘孜州】已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：

①AF=DE；②AF⊥DE成立．

试探究下列问题：

（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）

（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在

（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

【答案】

（1）成立；

（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．

【解析】

（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．

试题解析：

（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：

∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：

∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

【考点定位】1．四边形综合题；2．存在型；3．探究型．