平稳时间序列模型及其特征Word格式文档下载.docx
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pB）Xt=£
记算子多项式©
（B）=（1-©
2B--©
pB）,则模型可以表示成
©
（B）X=£
t（2.1.3）
例如，二阶自回归模型X=0.7Xt「+0.3Xt-2+0.3Xt-3+£
t可写成
（1-0.7B-0.3B2）X=£
二、滑动平均模型（MA
有时，序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即
X=£
t-01£
t-1-02£
t-2--0q£
t-q（2.1.4）
此模型常称为序列X的滑动平均模型，记为MA（q）,其中q为滑动平均的阶数，01,02…0q为参滑动平均的权数。
相应的序列Xt称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成
Xt=（1-01B-02W-……-0q£
）qt=0（B）£
t（2.1.5）
三、自回归滑动平均模型
如果序列｛X｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：
Xt=1Xt-1+©
2X-2++©
pX-p+£
t-01£
t-q
（2.1.6）
简记为ARMA（p,q）。
利用滞后算子，此模型可写为
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性
首先介绍两个概念。
1序列的传递形式：
设｛Yt｝为随机序列，｛£
t｝为白噪声，若｛Yt｝可表示为：
Yt=£
t+G£
t-1+G£
t-2++G£
t-k+=G（B）£
且|Gk|，则称｛Y｝具有传递形式，此时｛Y｝是平稳的。
1
系数｛G｝称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
2序列的逆转形式：
若｛Y｝可表示为：
£
t=Yt-niYt-i-n2Yt-2--nkYt-k-=n（B）Yt
且|k，则称｛Y｝具有逆转形式（或可逆形式）。
一、MA模型
1.MA模型本身就是传递形式。
2.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（乂）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3.MA（q濮型的可逆性条件。
先以MA
（1）（Yt=£
t-i）为例进行分析。
MA
（1）的可逆性条件为：
I11。
如果引入滞后算子表示MA
（1）,则Yt=（1-0iB）£
t，可逆条件i1等价于B（B）=1-0iB=0的根全在单位圆外。
对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有:
Y=（1-0iB-02B--0qB）£
t=0（B）£
其可逆的充要条件是：
0（B）=0的根全在单位圆外（证明见
Box-Jenkins,P79）。
在可逆的情况下，服从MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的AR
模型：
-1
0（B）Yt二£
MA（q）的可逆域：
使0（B）=0的根全在单位圆之外的系数向量（0
1,02,,0q）所形成的集合。
例：
求MA
（2）的可逆域。
解：
由Ytt1t12t2,
其特征方程为：
（B）
2
1B2B0
该方程的两个根为：
.1242
22
V142
由一次方程根与系数的关系,
有
12
丄
7
当MA
（2）平稳时，根的模|1与2都必须大于1,因此必有:
由根与系数的关系，可以推出如下式子:
11
211（1—）（1—）
211
（1）
（1）
因此
1（1—）（1—）
AR模型
2.平稳性。
先以AR
（1）（Yt=1Yt-1+£
t）,进行分析
AR
（1）平稳的条件为|i1，它等价于（B）=1-iB=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下，AR
（1）有传递形式:
（1-iB）Yt=etYt
t
11B
般地，对于AR（P）模型：
（B）Yt二et，序列｛Yt｝平稳的充要
条件是：
（B）=0的根全在单位圆外。
此时，Yt有传递形式：
Yt=-1（B）
AR（P）的平稳域：
使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1,
练习：
求AR
（1）与AR
（2）的平稳域。
三、ARMA（p,q）模型
1、平稳性与传递形式
首先考察ARMA（1,1）的平稳性：
YtF1Yt-1=et-01et-1
Yt平稳mI©
1|<
1（与AR
（1）的平稳域相同）
此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关,而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR
（1）的平稳条件相同在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。
般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt平稳的充要条件是:
（B）=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下，Yt有传递形式Yt二
厂（B）0（B）et
2、可逆性
对于ARMA（1,1）,假定可逆形式为
t=n（B）Yt=（1—niB—n2B——nkBk）Yt
代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得
t=Yt-（©
1_01）Yt-1_01（©
1_01）Yt-2B1k-1（©
1-01）Yt-k-…
根据前面的定义（可逆性定义），应有丨©
1。
因此，ARMA（1,1）可逆的条件是|©
1,它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA
（1）的可逆条件相同。
一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt,其具有可逆性的条件是：
0（B）=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下，Yt的逆转形式为£
t=0-1（B）©
（B）Yt
3、传递性与可逆性的重要意义
第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数
、自相关函数
设｛Yt｝服从:
则｛Yt｝的s阶自协方差函数为:
Y=0j0s+j（T
j0
（s>
q）
Ps=y/y
征。
MA（q）的典型特征：
ps在q步截尾。
首先考察AR
（1）（Yt=©
iYt-i+£
t）的自相关函数的特征。
Yt的自协方差函数为:
Y=Cov（Yt,Yt+s）=©
1Y-1
从而Y=©
1Y-1=©
12uS-2二…=©
1sY
自相关函数（ACF）为：
ps=y/y=©
is
当I©
i|v1,ps—>
0,即自相关函数ps随s的增大而衰减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR（p）,序列的自相关函数的特征分析如下：
设Yt=©
1丫t-1+©
2丫t-2+…+©
pYt-p+£
t=©
（B）Yt+£
则自协方差函数：
Y=©
1Y-1+©
2Y-2+…+©
pY-P
这是一个关于｛s｝的线性差分方程。
上式两边同除Y,得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。
ps=©
1ps-1+©
2ps-2+…+©
pps-p
在AR（p）平稳的条件下，©
（B）=0有p个在单位圆外的根a1、a
2,…，ap。
根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF；
服从的线性差分方程©
（B）ps=0的通解为：
ps=C1a1-s+C2a2-s+.…+Cpap-s
由于Iaj|>
1,因此ps将按指数衰减（实根情形）或正弦振
荡衰减（复根情形）。
这种特性称为AR（p）的拖尾性。
AR（p）的典型特征是：
ps拖尾（衰减）
3、ARMA（p,q）的自相关函数
设ARMA（p,q）的形式为：
则Yt的s阶自协方差函数为：
Y=©
1Y-计©
pY-p+E（Yt£
t+s）_0lE（Yt£
t+S-1）-…-0qE（Yt£
t+S-q）
1当Ows<
q时，£
t+S,£
t+S-1，•…,£
t+S-q中有一部分位于t
时刻以前（t+s-iwtw0），Yt与这一部分外部冲击有关，从
而y除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。
2当s>
q时，s-q>
0,t+s-q>
t，从而£
t+S,£
t+S-1，•…,£
t+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此Y中后面的项全为零。
2y-2+…+©
pY-p
它只同自回归系数有关。
两边同除Y，得Ps=©
1Ps-计©
2Ps-2+…+©
pPs-p（s>
q）
即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在s>
q时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。
借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。
二、偏自相关函数
从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA
（p,q）共有的特征，尽管ARMA（p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与
ARMA（p,q），因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。
因此，还需寻找序列的其他统计特征。
这就是偏自相关函数的特征。
设｛Yt｝是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。
为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：
设｛Yt｝是一零均值平稳序列，我们设想用Yt-i,Yt-2，…，Yt-s的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型：
Yt=©
siYt-i+©
S2Yt-2+…+ssYt-s+et
其中et为误差项。
估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择©
si,©
S2,…，©
ss
使模型的残差方差Q=E（Yt-
Sj
j1
Yt-j）2=Eet2达到最小。
根据极
值条件应有：
Q/©
Sj=0
（j=1,
2,…，s）
据此，可推出©
S1,©
S2,
…，©
ss所满足的方程为
s1s11
s2s22
s1
s2
1ssss
其中Pk（k=1,…，s）为Yt的k阶自相关系数。
此方程组称
为Yule-Walker方程。
可以证明，©
ss是在给定Yt-1,Yt-2，…，Yt-s+1的条件，Yt和
Yt-s之间的条件相关系数，即偏相关系数。
｛©
ss｝就为｛Yt｝的偏相关函数。
则当且仅当
Sj=<
时，Q达到最小值。
上式表明，当s>
p时，©
ss=0,即©
pp=©
p是AR（p）模型偏
截尾是AR（p）的典型特征
对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转形式£
t=0-1（B）©
（B）Yt
这是一个无穷阶的AR模型，根据前面的讨论知，｛Yt｝的偏自相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。
（AR（p）是p阶截
尾的，AR（心）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减。
至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。
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