平稳时间序列模型及其特征Word格式文档下载.docx

1、 pB） Xt = 记算子多项式（ B） = （ 1- 2B- - pB）,则模型可以表 示成（ B） X= t （2.1.3）例如，二 阶自回归模型 X=0.7Xt+0.3Xt-2 +0.3Xt-3 + t可写成（1-0.7B-0.3B 2） X= 二、 滑动平均模型（MA有时，序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情 况下，X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X = t- 0 1 t-1 - 0 2 t-2 - - 0 q t-q （2.1.4）此模型常称为序列X的滑动平均模型，记为 MA（q）,其中q为滑动 平均的阶数，0 1, 0 20 q为参滑动平均的权数。相应的

2、序列Xt称为 滑动平均序列。使用滞后算子记号，（2.1.4 ）可写成Xt= （1- 0 1B- 0 2W-0 q） qt=0 （B） t （2.1.5）三、 自回归滑动平均模型如果序列 X的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：Xt= 1Xt-1 + 2X-2 + + pX-p + t - 0 1 t-q（2.1.6）简记为ARMA（p, q）。利用滞后算子，此模型可写为第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介

3、绍两个概念。1序列的传递形式：设 Yt为随机序列， t 为白噪声，若 Yt 可表示为：Yt= t+G t-1 +G t-2 + +G t-k + =G（B） 且|Gk| ，则称 Y具有传递形式，此时 Y是平稳的。1系数G称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆 性强度。2序列的逆转形式：若 Y 可表示为： t= Yt- n i Yt-i - n 2 Yt-2 - - n k Yt-k - = n （B） Y t且|k ，则称 Y 具有逆转形式（或可逆形式）。一、 MA模型1.MA模型本身就是传递形式。2.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（乂）在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。3

4、.MA（q濮型的可逆性条件。先以MA（ 1） （Yt= t-i）为例进行分析。MA（1）的可逆性条件为：I 1 1。如果引入滞后算子表示 MA（1）, 则Yt= （1- 0 iB） t，可逆条件i 1等价于B （B）=1- 0 iB=0的根全在 单位圆外。对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有:Y= （ 1- 0 iB- 0 2B- - 0 qB） t = 0 （B） 其可逆的充要条件是：0 （B） =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins , P79）。在可逆的情况下，服从 MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的 AR模型：-10 （B）Yt二 MA（q）的可逆域：使0 （B

5、） =0的根全在单位圆之外的系数向量（01 ,0 2, , 0 q）所形成的集合。例：求MA（2）的可逆域。解：由 Yt t 1 t 1 2 t 2 ,其特征方程为：（B）21B 2 B 0该方程的两个根为：.12 4 22 2V 1 4 2由一次方程根与系数的关系,有1 2丄7当MA（2）平稳时，根的模| 1与2都必须大于1,因此必有:由根与系数的关系，可以推出如下式子:1 12 1 1 （1 ）（1 ）2 1 1 （1 ）（1 ）因此1 （1 ）（1 ）AR模型2.平稳性。先以 AR（1）（ Yt= 1Yt-1 + t）,进行分析AR（1）平稳的条件为| i 1，它等价于（B）=1- iB

6、=0的根在单 位圆外。3、在平稳的情况下，AR（1）有传递形式:（1- iB）Yt= e t Ytt1 1B般地，对于 AR（P）模型：（B） Y t二e t，序列 Yt平稳的充要条件是：（B）=0的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Yt= -1（B）AR（P）的平稳域：使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1,练习：求AR（1）与AR（2）的平稳域。三、ARMA （p,q）模型1、 平稳性与传递形式首先考察 ARMA（1 , 1）的平稳性： Yt F 1Yt-1= e t -0 1 e t-1Yt平稳 m I 1 |q）P s= y/ y征。MA （q）的典型特征：p s在q步截尾

7、。首先考察AR （1） （Yt= iYt-i + t ）的自相关函数的特征。Yt的自协方差函数为:Y=Cov（ Yt, Y t+s） = 1 Y-1从而 Y= 1 Y-1= 12 u S-2二= 1s Y自相关函数（ACF）为：p s= y/ y= is当I i |v 1, p s0,即自相关函数p s随s的增大而衰 减至零。这种现象称为拖尾性。对于一般的AR （p）,序列的自相关函数的特征分析如下：设 Yt= 1丫t-1+ 2丫t-2 + + pY t-p+ t= （B） Yt+ 则自协方差函数：Y= 1 Y-1+ 2 Y-2+ + p Y-P这是一个关于 s 的线性差分方程。上式两边同除Y

8、,得关于自相关函数（ACF ）的线性差分方程。p s= 1 p s-1+ 2 p s-2+ + p p s-p在AR （p）平稳的条件下，（ B） =0有p个在单位圆外的根a 1、a2,，a p。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ ACF；服从的线性差分方程 （B） p s=0的通解为：p s=C1 a 1-s+ C2 a 2-s + .+ Cp a p-s由于Ia j | 1,因此p s将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。这种特性称为AR （p）的拖尾性。AR （p ）的典型特征是：p s拖尾（衰减）3、 ARMA （ p,q）的自相关函数设ARMA （p,q）的形式

9、为：则Yt的s阶自协方差函数为：Y = 1 Y-计 p Y-p+E（Yt t+s） _0 lE（Yt t+S-1）- 0 qE（Y t t+S-q）1当Ow sq 时，s-q0, t+s-q t，从而 t+S , t+S-1，, t+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此Y中后 面的项全为零。 2 y-2+ + p Y-p它只同自回归系数有关。两边同除 Y，得 P s= 1 P s-计 2 P s-2+ + p P s-p （s q）即ARMA （p,q）的自相关函数（ACF ）在sq时，与AR （p） 的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。借用前面关于AR （p）的自

10、相关函数特征的讨论可知，ARMA （p,q）的自相关函数（ACF ）在q以后随s的增长按指数衰减或以 正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。二、偏自相关函数从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是 MA （q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是 AR （ p）与ARMA（p,q）共有的特征，尽管 ARMA （p,q）的自相关函数在q阶后开 始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别 AR （ p ）与ARMA（ p,q），因为在实际应用中很难区分是否是从 q阶开始衰减的。 因此，还需寻找序列的其他统计特征。这就是偏自相关函数的特征。设Yt是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数

11、，是指扣出 中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。为了考察偏自相关 函数的特性，我们分析如下：设 Yt是一零均值平稳序列，我们设想用 Yt-i, Yt-2，Yt- s 的s阶自回归模型去拟和 Y t,即建立如下模型：Yt= siYt-i + S2Yt-2+ ssYt-s+ et其中et为误差项。估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择 si, S2,， ss使模型的残差方差Q=E （Yt- Sjj 1Yt- j ） 2=Eet2达到最小。根据极值条件应有：Q / Sj =0（j=1,2,，s）据此，可推出 S1, S2,，ss所满足的方程为s 1 s1 1s 2 s2 2s 1s

12、21 ss ss其中P k （k=1 ,，s）为Yt的k阶自相关系数。此方程组称为 Yule-Walker 方程。可以证明， ss是在给定Yt-1, Y t-2，Y t-s+1的条件，Yt和Yt- s之间的条件相关系数，即偏相关系数。 ss就为 Yt的偏相 关函数。则当且仅当 Sj=p时， ss=0,即 pp= p是AR （ p）模型偏截尾是AR （p）的典型特征对于AR （p）和ARMA （p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转 形式 t= 0 -1（B） （B） Yt这是一个无穷阶的AR模型，根据前面的讨论知，Yt的偏自 相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。 （AR（ p）是p阶截尾的，AR （心）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减 或正弦波衰减。至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。