欧几里德算法及其扩展Word下载.docx
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则
a=mc=（qx+y）dc,b=xdc,这时a,b的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
所以
n,m-qn一定互质）
贝Ugcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。
算法的实现：
最简单的方法就是应用递归算法，代码如下:
日巳
1intgcd（inta,intb）
2（
3if（b==0）
4returna;
5return
6gcd（b,a%b）;
7}
代码可优化如下：
3returnb?
gcd（b,a%b）:
a;
4}
当然你也可以用迭代形式：
日电
1intGcd（inta,intb）
4
{
5
intr=b;
6
b=a%b;
7
a=r;
8
}
9
returna;
10}
3
while（b!
=0）
扩展欧几里德算法
对丁不完全为0的非负整数a,b,gcd（a,b）表示a,b的最大公约数，必然存在整数对x,y,使得gcd（a,b）=ax+by。
证明：
设a>
b。
1,显然当b=0,gcd（a,b）=a。
此时x=1,y=0；
2,ab!
=0时
设ax1+by1=gcd（a,b）;
bx2+（amodb）y2=gcd（b,amodb）;
根据朴素的欧几里德原理有gcd（a,b）=gcd（b,amodb）;
则:
ax1+by1=bx2+（amodb）y2;
即:
ax1+by1=bx2+（a-（a/b）*b）y2=ay2+bx2-（a/b）*by2;
根据包等定理得：
x1=y2;
y1=x2-（a/b）*y2;
这样我们就得到了求解x1,y1的方法：
x1,y1的值基丁x2,y2.
扩展欧几里德的递归代码:
日由
Iintexgcd（inta,intb,int&
x,int&
y）
4（
5x=1;
6y=0;
7returna;
8}
9intr=exgcd（b,a%b,x,y）;
10intt=x;
IIx=y;
12y=t-a/b*y;
13returnr;
14}
扩展欧几里德非递归代码:
日晶
1intexgcd（intm,intn,int&
3intx1,y1,x0,y0;
x0=1;
y0=0;
x1=0;
y1=1;
x=0;
y=1;
intr=m%n;
intq=（m-r）/n;
while（r）
10
16
18}
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:
对丁不定整数方程pa+qb=c,若cmodGcd（p,q）=0,则该方程存在整数解，
否则不存在整数解。
上面已经歹0出找一个整数解的方法，在找到p*a+q*b=Gcd（p,q）的一组
解p0,q0后，p*a+q*b=Gcd（p,q）的其他整数解满足：
p=p0+b/Gcd（p,q）*t
q=q0-a/Gcd（p,q）*t（其中t为任意整数）
至丁pa+qb=c的整数解，只需将p*a+q*b=Gcd（p,q）的每个解乘上c/Gcd（p,q）即可。
在找到p*a+q*b=Gcd（a,b）的一组解p0,q0后，应该是得到p*a+q*b
=c的一组解pl=p0*（c/Gcd（a,b））,q1=q0*（c/Gcd（a,b））,
p*a+q*b=c的其他整数解满足：
p=pl+b/Gcd（a,b）*t
q=q1-a/Gcd（a,b）*t（其中t为任意整数）
p、q就是p*a+q*b=c的所有整数解。
相关证明可参考：
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下：
1boollinear_equation（inta,intb,intc,int&
2{
3intd=exgcd（a,b,x,y）;
4if（c%d）
5returnfalse;
6intk=c/d;
7x*=k;
y*=k;
//求得的只是其中一组解
8returntrue;
（2）用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程ax=b（modn）对丁未知数x有解，当且仅当gcd（a,n）|b。
且方程有解时，方程有gcd（a,n）个解。
求解方程ax=b（modn）相当丁求解方程ax+ny=b,（x,y为整数）
设d=gcd（a,n）,假如整数x和y,满足d=ax+ny（用扩展欧几里德得出）。
如果d|b,则方程
a*x0+n*y0=d,方程两边乘以b/d,（因为d|b，所以能够整除），得
到a*x0*b/d+n*y0*b/d=b。
所以x=x0*b/d,y=y0*b/d为ax+ny=b的一个解，所以x=x0*b/d为ax=b（modn）的解。
ax=b（modn）的一个解为x0=x*（b/d）modn，且方程的d个解分别
为xi=（x0+i*（n/d））modn{i=0...d-1}。
设ans=x*（b/d）,s=n/d;
方程ax=b（modn）的最小整数解为：
（ans%s+s）%s;
相关证明：
证明方程有一解是：
x0=x'
（b/d）modn;
由a*x0=a*x'
（b/d）（modn）
a*x0=d（b/d）（modn）（由于ax'
=d（modn））
=b（modn）
证明方程有d个解：
xi=x0+i*（n/d）（modn）;
由a*xi（modn）=a*（x0+i*（n/d））（modn）
=（a*x0+a*i*（n/d））（modn）
=a*x0（modn）（由于d|a）
=b
首先看一个简单的例子:
5x=4（mod3）
解得x=2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x=b（modn）;
a*（x+dx）=b（modn）;
两式相减，得到：
a*dx（modn）=0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a和n的公倍数.为了求出dx，我们应该求出a和n的最小公倍数，此时对应的dx是最小的.
设a和n的最大公约数为d,那么a和n的最小公倍数为（a*n）/d.
即a*dx=a*n/d;
所以dx=n/d.
因此解之间的间隔就求出来了
代码如下:
1boolmodular_linear_equation（inta,intb,intn）
3intx,y,x0,i;
4intd=exgcd（a,n,x,y）;
5if（b%d）
6returnfalse;
7x0=x*（b/d）%n;
//特解
8for（i=1;
i<
d;
i++）
9printf（"
%d\n"
（x0+i*（n/d））%n）;
10returntrue;
11}
（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax=b（modn）,如果gcd（a,n）==1,则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果b==1,同余方程就是ax=1（modn）,gcd（a,n）=1
这时称求出的x为a的对模n乘法的逆元。
对丁同余方程ax=1（modn）,gcd（a,n）=1的求解就是求解方程
ax+ny=1,x,y为整数。
这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的x。
Poj2115
X=（b-a）/c（mod2Ak）;
intmain（）
{]
__int64s,p,a,b,c,k,d,e;
while（scanf（"
%I64d%I64d%I64d%I64d"
&
a,&
b,&
c,&
k）!
=EOF&
&
!
（a==0&
b==0&
c==0&
k==0））
s=（int64）1<
<
k;
d=b-a;
e=exGcd（c,s,x,y）;
if（d%e==0）
x=（x*（d/e））%s;
//方程ax=b（modn）的最小解
x=（x%（s/e）+s/e）%（s/e）;
//方程ax=b（modn）的最整数小
解
cout<
x<
endl;
else
printf（"
FOREVER\n"
）;
return0;
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